Thermodynamique

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MP 2013/2014
Exercices : Thermodynamique
Approche différentielle des principes de la thermodynamique
TH060: moteur thermique avec changement d’état
Un moteur thermique fonctionne de façon réversible entre deux sources dont les températures
c
T
et
f
T
(
)
<
f c
T T
peuvent évoluer au cours du temps à cause des échanges thermiques avec la machine.
La source froide est constituée par une masse
100 kg
=M d'eau en totalité à l'état de glace fondante à la
température
0
273 K
=
f
T. La source chaude est constituée par une masse
2
M
d'eau liquide à la température
C0
T = 373 K
. On donne :
Capacité thermique massique de l'eau liquide
1 1
C = 4,18 kJ kg K
− −
⋅ ⋅
,
Chaleur latente massique de fusion de la glace à la température
0
273 K
=
f
T:
1
335,6 kJ kg
−
= ⋅L.
1- Déduire d'un bilan entropique effectué sur la machine, la température
C1
T
de la source chaude lorsque la
totalité de la glace de la source froide a fondu .
2- Calculer numériquement dans ce cas, le travail total
1
W
fourni par le moteur.
3- Le moteur s'arrête de fonctionner lorsque les deux sources sont à la même température
0
T
. Calculer
numériquement
0
T
.
4- Calculer le travail total
2
W
fourni par le moteur depuis le début de son fonctionnement jusqu'à ce qu'il
s'arrête.
5- Calculer le rendement thermique global
η
du moteur.
6- Calculer le rendement thermique
0
η
du moteur si l'on avait maintenu constantes les températures initiales de
chacune des deux sources.
TH064 : Pompe à chaleur
Le fluide d'une pompe à chaleur décrit de façon réversible un cycle de Carnot
composé :
• d'une compression isotherme AB au cours de laquelle le fluide échange une
quantité de chaleur algébrique SQc avec une source chaude constituée par
l'air d'une pièce de capacité thermique totale C que l'on désire chauffer et
dont la température à l'instant t est
(
)
c
T t
,
• d'une détente adiabatique BC qui ramène la température du fluide à la
température constante
0
T
de la source froide constitué par l'air extérieur à la
pièce,
• d'une détente isotherme CD au cours de laquelle le fluide
échange la quantité de chaleur algébrique
0
Q
δ
avec l'air extérieur à la pièce
à la température constante
0
T
• d'une compression adiabatique DA qui ramène la température
du fluide à la température
(
)
c
T t
de la source chaude,

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On peut considérer que la température
(
)
c
T t
de la source chaude reste constante au cours de la compression
isotherme AB et qu'elle augmente de
c
dT
à chaque cycle de durée dt. On désigne par
0
W
δ
>
le travail reçu par
le fluide au cours d'un cycle.
1) Exprimer l'efficacité thermique
(
)
t
η de la pompe à chaleur définie par le rapport :
( )
c
Q
t
W
δ
η
δ
= −
2) On suppose, dans un premier temps, que la pièce est thermiquement isolée de l'extérieur et que sa température
initiale est
(
)
0
0
c
T T
=
. On désigne par
W
P
dt
δ
= la puissance mécanique constante fournie au fluide. Exprimer
l'intervalle de temps
0
t
pendant lequel la pompe doit fonctionner pour que l'air de la pièce atteigne la
température
(
)
1 0
c
T T t
= .
3) La pompe à chaleur est arrêtée et la puissance P est fournie sous forme électrique à la résistance chauffante, de
capacité thermique négligeable, d'un radiateur électrique.
Calculer l'intervalle de temps
1
t
nécessaire pour que la pièce, initialement à la température
0
T
atteigne la
température
1
T
4) Calculer le gain de temps
1 0
t t t
∆ = −
que l'on obtient en utilisant une pompe à chaleur plutôt qu'un radiateur
électrique. On donne :
0
283
T K
= ,
1
T
= 291 K et le rapport
6 1
98.10 .
P
K s
C
− −
=
5) On suppose maintenant que la pièce présente une fuite thermique et que, lorsque sa température à l'instant t
est
(
)
c
T t
, elle échange avec l'extérieur, pendant l'intervalle de temps dt, une quantité de chaleur :
(
)
0c
Q kC T t T dt
δ = − − où k est une constante.
La pompe est arrêtée lorsque la température de la pièce vaut
c
T
= 288 K. Si
0
T
=
283 K, la température de la
pièce chute alors de 1 K au bout de 3 heures. Calculer k.
6) Montrer que la température limite
1
T
atteinte dans la pièce lorsque la pompe fonctionne et que le régime
permanent est établi, se déduit de la relation :
2 2
1 1 0
2 0
T AT T
− + =
. Déterminer A.
7) Exprimer la température limite
2
T
atteinte dans la pièce lorsque la pompe est remplacée par un radiateur
électrique recevant, sous forme électrique, la même puissance P que la pompe à chaleur.

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Thermodynamique des fluides en écoulement permanent – Systèmes ouverts
TH207 : Bilan entropique dans un échangeur thermique
Un liquide de capacité calorifique constante c
p
, initialement à la température T
e
s'échauffe en s'écoulant en
régime permanent avec un débit massique D
m
dans un thermostat échangeur de chaleur isobare idéal entièrement
à la température T
s
qui est aussi la température de sortie du fluide.
a) Quelle est la puissance thermique cédée au fluide ?
b) Calculer directement en utilisant la thermodynamique de première année la variation d'entropie massique du
liquide entre l'entrée et la sortie s
s
-s
e
.
c) En appliquant le deuxième principe des systèmes ouverts, calculer l'entropie créée massique s
c
ainsi que le taux
de création d'entropie
c
S
•
(ou entropie créée par unité de temps) dans le fluide. Étudier le signe du résultat et
commenter.
d) Qualitativement et sans aucun calcul, comment varierait ce résultat si le fluide passait de T
e
à T
s
grâce à deux
échangeurs, le premier à une température intermédiaire entre T
e
et T
s
, et le deuxième à T
s
?
TH208 :Tuyère calorifugée
Une tuyère éjecte des gaz à vitesse c élevée, ceux-ci entrant avec une vitesse négligeable. Les notations sont
précisées sur le schéma. On donne :
T
e
= 1600 K, P
e
= 52 bar, T
s
= 550 K, P
s
= 1 bar, c
p
=1,0 kJ.kg
-1
.K
-1
, r = 290 J.kg
-1
.K
-1
a) En précisant les hypothèses, calculer la vitesse c d'éjection des gaz.
b) La détente est-elle adiabatique réversible ?
c) Calculer l'entropie massique créée (entropie créée par unité de masse de fluide traversant la tuyère).
TH209 : Compression adiabatique d’un mélange diphasé – Diagramme de Mollier de
l’eau
Un compresseur adiabatique spécialement conçu comprime un brouillard de vapeur d'eau humide titrant x
e
= 76 %
en masse de vapeur de la pression d'entrée P
e
= 1 bar à la pression de sortie P
s
= 20 bar . Son débit massique est
D
m
= 3,8 kg/s .
On donne un extrait du diagramme de Mollier de l'eau pure. Les isobares sont représentées en trait plein, les
isothermes de la vapeur sèche sont représentées en pointillé, et les isotitres du mélange diphasé sont représentées
en pointillé alterné.
a) Quelle est la température à l'entrée du compresseur ? Représenter le point A correspondant sur le diagramme.
b) La compression est réversible. Tracer sur le diagramme la courbe d'évolution du fluide et le point B
correspondant à l'état de sortie. Décrire précisément le fluide en sortie, en particulier son titre massique en vapeur
x
s
et sa température de sortie T
s
.
Quel sont les travaux massiques de transvasement w
t
et indiqué de compression w
i
du fluide de P
e
à P
s
? Quelle
est la puissance indiquée P
i
du compresseur ?
c) La compression, toujours de P
e
à P
s
est irréversible, et la création d'entropie massique du fluide pour le
compresseur réel vaut s
c
= 0,20 kJ.kg
-1
.K
-1
.
Quelle est la température de sortie ?
Représenter la nouvelle courbe d'évolution du fluide sur le diagramme et le point B' de sortie ; donner son titre
massique en vapeur x’
s
et sa température de sortie T’
s
. Quels sont les travaux indiqués de compression w'
i
et la
puissance indiquée P’
i
?
Définir et calculer le rendement r du compresseur réel par rapport à l'isentropique.

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Que devient la puissance supplémentaire délivrée par le compresseur par rapport au cas idéal du b) ?
TH210 : Détente d’une vapeur d’eau dans une turbine adiabatique
Une turbine adiabatique, conçue pour travailler sans liquide, détend une vapeur d'eau sèche issue d'un surchauffeur
à la température T
e
= 380 °C et à la pression P
e
=10 bar jusqu'à la pression P
s
= 1 bar .
On donne un extrait du diagramme (T,s) de l'eau pure. Les isobares sont représentées en trait plein, les
isenthalpes sont représentées en larges pointillé, et les isotitres du mélange diphasé sont représentées en pointillé
alterné.
a) Que représente la courbe en gras ?
b) Représenter le point e représentant la vapeur à l'entrée. La vapeur est-elle sèche ou saturante ?
c) La détente est réversible.
α) Tracer sur le diagramme la courbe d'évolution du fluide et le point b correspondant à l'état de sortie.
β) La vapeur en sortie est-elle sèche ? Quelle est sa température de sortie T
s
? Quel est le travail indiqué de
détente w
i
? Jusqu'à quelle pression pourrait-on détendre isentropiquement la vapeur sans faire apparaître de
liquide ?
γ) Tracer le point d'intersection a de l'isenthalpe h = h
e
et de l'isobare P = P
s
.
Donner l'expression de la variation h
b
— h
e
en la calculant sur le chemin isobare (ab).
En déduire une représentation graphique sous forme d'une aire A du travail indiqué w
i
. En évaluant cette aire par
linéarisation, retrouver la valeur numérique de w
i
.
d) La détente est maintenant irréversible.
Les pressions d'entrée et de sortie sont identiques à celles de la partie précédente, mais la température de sortie
réelle est mesurée à : T
S
' =150 °C .
α) Tracer sur le diagramme la courbe d'évolution du fluide et le point b' correspondant à l'état de sortie. Mesurer
l'entropie créée massique.
β) La vapeur en sortie est-elle sèche ? Quel est le travail indiqué de détente w
i
' ?
Commenter le résultat, définir et calculer le rendement isentropique de la turbine.
γ) En procédant de la même manière que dans la question c), interpréter w
i
' par une aire A' (à préciser) et donner
une interprétation du rendement isentropique.

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TH213 : Compresseurs adiabatique et isotherme - Intercooler
Un gaz parfait, de constante massique r = R/M , et de rapport des chaleurs massiques γ est comprimé par une
machine idéale réversible d'une pression d'entrée P
e
à une pression de sortie P
s
. La température d'entrée est T
e
.
Dans ces conditions, le travail de compression massique est le travail de transvasement massique dont on
rappellera l'expression.
a) Le compresseur est isotherme. Calculer le travail de compression massique w
iso
en
fonction de r, T
e
, et x = P
s
/P
e
b) Le compresseur est adiabatique. Calculer le travail de compression massique w
ad
en fonction des mêmes
grandeurs et de γ.
c) Calculer la différence w
ad
- w
iso
et montrer qu'elle est toujours positive. Conclure.
d) Il n'est pas envisageable en pratique de construire un compresseur isotherme, les échanges de chaleur étant trop
lents. Pour minimiser le travail à fournir pour comprimer le gaz, on peut par contre imaginer de faire une
compression refroidie, modélisée par une compression en trois étapes (système intercooler effectivement utilisé) :
– première étape de compression adiabatique de P
e
,T
e
à une pression intermédiaire P
i
.
– deuxième étape de refroidissement isobare pour ramener le gaz à la température T
e
.
- troisième étape de compression adiabatique de P
i
,T
e
à la pression finale P
s
.
Calculer dans cette procédure le travail de compression massique total à fournir au fluide.
Montrer qu'il existe une pression intermédiaire optimale P
i0
pour minimiser le travail de compression total.
e) Représenter les trois procédures de compression envisagées (isotherme, adiabatique, intercooler) sur un
diagramme de Clapeyron (P,v) et conclure graphiquement.
TH218 : Mesure de l'efficacité d'une pompe à chaleur
Pour mesurer l'efficacité réelle d'une pompe à chaleur en régime permanent, on se place dans une pièce à
température ambiante égale à la température extérieure T
0
=12 °C où toutes les fenêtres sont ouvertes. Puis on
branche la pompe à chaleur qui réchauffe la pièce, et après dix minutes environ, on ferme les fenêtres et on
déclenche le chronomètre (t = 0). On relève alors la courbe de température T de la pièce en fonction du temps t,
et on mesure grâce à un wattmètre la puissance électrique P
elec
= 510 W (sensiblement constante) consommée par
l'appareil. Au bout d'un temps assez long pour considérer le régime permanent atteint (environ 12 heures), on
arrête la pompe à chaleur. On obtient la première courbe.
On reprend la même expérience dans la même pièce, exactement dans les mêmes conditions, mais avec un
chauffage électrique classique de puissance P
ch
=1000 W .
On obtient la deuxième courbe.