Imagerie par résonance magnétique

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XULC-2011
Imagerie par résonance magnétique
I- Production de champs magnétiques intense et homogène.
I-1) La densité de courant doit vérifier :  pour toute symétrie par
rapport à un plan contenant l’axe  ,ce qui donne pour le plan  :
 . On en déduit :
  ce qui donne  . La distribution de
courant vérifie :
I-2) Pour toute symétrie par rapport à un plan contenant l’axe  on aura 
 ; si on prend le plan  on en déduit   , 
appartient à ce plan donc   et    . De plus il y a invariance
par rotation d’axe , donc  ne dépend pas de  ce qui donne :
I-3-a) Si la longueur L du solénoïde est très grande devant , on peut assimiler ce solénoïde
à un solénoïde infini. Il y a donc invariance de la distribution de courant par translation par
rapport à  ce qui donne  . De plus le plan  est un plan
de symétrie de la distribution de courant, donc  ce qui donne:    .
Pour montrer que le champ est uniforme à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde, on applique
le théorème d’Ampère à une courbe  rectangulaire, fermée et orientée.
   puisqu’il n’y a aucun courant enlacé. On en déduit :
.   est uniforme en dehors de la distribution de courant.
I-3-b) A l’extérieur le dispositif est un solénoïde infini, donc  .
I-3-c) Pour     : on applique le théorème d’Ampère à la même courbe que
précédemment mais avec  à l’extérieur du solénoïde et  à l’intérieur de la distribution
de courant :  .
  ; ce qui donne  
Pour    : on applique le théorème d’Ampère à la même courbe que précédemment mais
avec  à l’extérieur du solénoïde et   à l’intérieur du solénoïde : 
 avec    ; ce qui donne  
𝑧
𝑟
𝑟

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Récapitulatif :
    : 
Pour    : 
I-4) La puissance d’un radiateur électrique ordinaire est d’environ . Le dispositif
magnétif dissipe par effet Joule une puissance non négligeable.
I-5) Si on réalise l’enroulement avec un fil, l’enroulement est une hélice. La distribution de
courant a une composante sur . Pour ce rapprocher le plus du modèle, il faut prendre le fil le
plus fin possible. Si  est le diamètre du fil il faut   .
I-6) Lorsque  et  sont du même ordre de grandeur, on a toujours 
. De plus si  appartient à l’axe des , tout plan contenat  étant un plan
d’antisymétrie,   appartient à l’axe  et on a     .
On a toujours    et le champ est plus intense au centre de la bobine ce qui donne
le schéma suivant :
Pour pallier à ce défaut il suffit de faire un bobinage plus important sur les bords du
solénoïde :
I-7) On calcule le flux du champ magnétique à travers un cylindre d’axe , de rayon  et de
longueur .
On a vu que    .
On a :

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Or   donc 
De même 
 étant pratiquement indépendant de entre  et , on a 
On a donc 
Comme  est un vecteur à flux conservatif, on a :   .
On en déduit qu’au voisinage de l’axe,   d’où au voisinage de l’axe : 
II-Utilisation de supraconducteurs
II-1) Dans un réf galiléen, l’électron n’est soumis qu’à la force électrique (le poids de
l’électron est négligeable devant la force électrique).
On applique la loi de la quantité de mouvement :
II-2) L’expression du vecteur densité de courant pour des électrons de vitesse , de densité
volumique  et de charge  est   En se servant de la question II-1) on a 
soit  d’après l’énoncé ce qui donne :   soit :
.
II-3) L’équation de Maxwell-Faraday est :    ce qui donne en dérivant par rapport
au temps :  .
On prend le rotationnel de cette expression :  ; or d’après
l’équation de Maxwell-Faraday : 
. On obtient :  .
Les variables d’espace et de temps sont des variables indépendantes. On peut écrire :
avec   
 .
II-4)    .
II-5) On a  ce qui donne  . Or
 . Le champ magnétique vérifie l’équation :  . On admet que dans le
milieu supraconducteur, 
. L’équation projeté sur la direction  est :
  soit   .
La solution de cette équation est :  
On suppose que le champ magnétique reste borné donc   .     ce qui donne
  . On a dans le milieu supraconducteur : 
. L’effet Meissner est

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bien expliqué. Il n’y a quasiment aucun champ dans le milieu supraconducteur,  étant de
l’ordre de 
II-6) D’après l’équation de Maxwell-Ampère :   ce qui donne
 soit : 
 .
III-Moments magnétiques
III-1) L’énergie d’interaction d’un dipôle magnétique dans un champ uniforme est :
Application numérique :     
III-2) L’expression du couple exercé par le champ magnétique 
 sur le dipôle magnétique 
est 
III-3) On applique le théorème du moment cinétique au proton :
, ce qui donne 
  .
Si on projette sur la direction  on trouve : 
  ; la composante  est une constante.
Si on projette dans le plan , on a : 
   et    .
On pose  .  vérifie l’équation différentielle, obtenue en sommant 
 :
   soit   ; comme les axes  et  sont arbitraires, on
choisit  tel que     et     ce qui donne  .
On en déduit :  et  
Récapitulatif :
On a bien un mouvement de précession de vitesse angulaire 
Pour on a 
III-4) Un proton dans un champ magnétique 
 subit la force de Lorentz :  .
On applique la loi de la quantité de mouvement : 
. Comme la vitesse
est initialement perpendiculaire au champ magnétique, on en déduit que   et que le
mouvement est plan.
Dans la question précédente, on avait l’équation : 
   et une vitesse angulaire
.
Dans cette question on a 
, ; on peut en déduire tout de suite que la vitesse
angulaire est 
.

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Pour  on a   . Les deux vitesses angulaires sont du même
ordre de grandeur.
IV-Résonance magnétique
IV-1) On a vu à la question III-3 que le mouvement du moment magnétique dans un champ
magnétique extérieur s’exprimait :  . Comme l’aimantation est proportionnelle au
moment magnétique, on en déduit que le vecteur M vérifie :  .
Or 
, ce qui donne 
D’où l’équation demandée : 
avec 
 et 
IV-2-a) Le référentiel  est en rotation par rapport au référentiel  avec une vitesse
angulaire . On en déduit : 
.
IV-2-b) On a 
 .
 .
Ce qui donne :
.
On a vu que  .
Donc :  .
IV-3) Dans  le mouvement de l’aimantation est donnée par :
.
Si 
 on peut écrire : 
.  décrit un mouvement de
précession autour de l’axe des  à la vitesse angulaire  . Initialement l’aimantation
est égale à   avec 
 , comme    , on a au
temps   une faible composante de l’aimantation dans le plan  par rapport à la
composante suivant . Dans le mouvement de précession, la composante suivant  reste
constante ainsi que la norme de la composante dans le plan . On peut donc supposer que
les composantes de l’aimantation perpendiculaires à  sont petites pour tout    sauf si 
est très proche de .
IV-4) A la résonance,  . Le mouvement de M est défini par  avec
. Dans le référentiel R’,   et  . On a un