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Devoir surveillé 22/11/2016
Durée de l’épreuve : 2h
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de CINQ exercices indépendants.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
La feuille annexe est à remettre avec votre copie.
Exercice n°1 [5 points]
ABCD est un rectangle tel que
AB=1 et AD=2
. I est le milieu de [AB].
Pour tout point M du segment [AD], on pose
AM =x
Pour tout
x∈[0;2]
on pose
f(x)=MI2+MC2
.
1) Montrer que
∀x∈[0;2] f(x)=2x2−4x+21
4
2) Dresser le tableau de la fonction f sur son ensemble de définition.
3) On se propose de déterminer les valeurs de x pour lesquelles le
triangle IMC est rectangle en M.
a) Montrer que IMC est rectangle en M si, et seulement si,
f(x)= 17
4
.
b) Déterminer les valeurs de x pour lesquelles le triangle IMC est rectangle en M.
Exercice n°2 [2,75 points]
Soient
⃗u et ⃗v
deux vecteurs tels que
(
⃗
u ;⃗ v ) =−3π
4[2π]
.
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
( 2⃗u ;3⃗v ) ; ( −⃗v ; 2⃗u ) et ( 5⃗u ;−7⃗v )
Exercice n°3 [3,5 points]
On considère la figure ci-contre où les vecteurs
⃗
AB et
⃗
DE
sont colinéaires et de même sens.
1) Démontrer que
(
⃗
BA ;
⃗
BC ) + (
⃗
BC ;
⃗
DC ) + (
⃗
DC ;
⃗
DE ) =π[2π]
2) On suppose également que
(
⃗
BA ;
⃗
BC ) =3π
4[2π ] et que
(
⃗
CB;
⃗
CD ) =−π
3[2π]
a) Donner une mesure de l’angle
(
⃗
DC ;
⃗
DE )
.
b) Sachant que les 4 segments [AB], [BC], [CD] et [DE] ont la même longueur, déterminer une mesure de l’angle
(
⃗
CE;
⃗
CA )
.
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Exercice n°4 [5 points]
1) On considère les angles orientés
α et β
avec
α=19 π
6[2π] et β=−8π 7[2π]
.
a)
19 π
6−2π
est-il la mesure principale de
α
?
b)
19 π
6−4π
est-il la mesure principale de
α
?
c)
−8π
7+2π
est-il la mesure principale de
β
?
2) L’algorithme sur la feuille annexe permet d’afficher la mesure principale d’un angle orienté dont on connaît
une mesure en radian. Complétez le !
3) Soient a un entier relatif et b un entier naturel non nul. On considère un angle
γ
dont une mesure en radian
est donnée par
γ= aπ
b[2π]
. Démontrer l’équivalence :
aπ
b
est la mesure principale de
γ⇔−b<a≤b
4) En pratique l’algorithme de la question 2 n’est pas facile à utiliser car on connaît en général la mesure d’un
angle orienté sous la forme
aπ
b
.
Modifier cet algorithme pour qu’il demande à l’utilisateur les deux nombres a et b et qu’il affiche les nombres
a’ et b’ tels que
a ' π
b '
soit la mesure principale. Vous écrirez votre nouvel algorithme sur votre copie.
x On pourra se servir des deux égalités suivantes :
aπ
b+2π=(a+2b)π b et aπ b−2π=(a−2b)π b
Exercice n°5 Question à choix multiples [3,75 points]
Vous indiquerez sur votre copie, pour chaque numéro de colonne, la ligne choisie ainsi qu’une justification.
I Une réponse non justifiée ne rapportera aucun point.
1 2 3 4 5
L’ensemble des solutions
de l’inéquation
−3
√
x<−3x
est :
L’ensemble des solutions de
l’inéquation
| x+3 | >0
est :
L’ensemble des
solutions de
l’équation
| x+3 | =−3
est
:
L’ensemble des
solutions de
l’équation
| x−1 | =5
est :
L’ensemble des
solutions de
l’équation
| x+3 | = | x−5 |
est
:
a
S=ℝ∗
S=ℝ
S= { 0 }
S= { 6 }
S= { 1 }
b
S=]0;1[
S=∅
S= { 0;3 }
S= { 4;6 }
S=
{
−1
2;2
}
c
S=[0;1]
S= ] −∞ ;3 [ ∪ ] 3;+∞ [
S= { −3;3 }
S= { −4;6 }
S= { −1;1 }
d
S=]1;+∞ [
S= ] −∞;0 [ ∪ ] 0;+∞ [
S= { −3;0 }
S=[−4;6]
S= { −4;2 }
e
S=[1;+∞ [
S= ] −∞;−3 [ ∪ ] −3;+∞ [
S=∅
S=[−4;6]
S=
{
1
2;4
}
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ANNEXE à remettre avec votre copie
NOM : ………………………………….. / PRÉNOM : ………………………………..
Exercice n°4
Variable x est un nombre
Début de l’algorithme
Demander x
Si
x>π
Tant que ……….
x prend la valeur ……….
Fin Tant que
Fin Si
Si
x≤−π
Tant que ……….
x prend la valeur ……….
Fin Tant que
Fin Si
Afficher x
Fin de l’algorithme
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