CH4 : Dynamique des fluides

BTS électrotechnique 1ère année - Sciences physiques appliquées
CH4 : Dynamique des fluides
Enjeu :
On veut diminuer le coût énergétique d’une usine à papier située dans les Vosges, à proximité de la
matière première (forêt).
Problématique :
L’usine se situe à une altitude de 300 m à proximité d’un
cours d’eau. On envisage l’installation d’une mini-centrale
hydraulique au fil de l’eau. L’installation d’une conduite
permettrait de dévier une partie de l’eau de la rivière pour
l’amener à une turbine avant de la restituer au lit de la
rivière un peu plus bas.
Il faut dans un premier temps déterminer la rentabilité
d’une telle installation. Dans cette optique, comment évaluer
la puissance hydraulique qui sera disponible à la turbine ?
Rapport au programme :
A.3 Solide et fluide en mouvement :
A.3.4. dynamique des fluides :
Objectifs :
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
A l’issue de la leçon, l’étudiant doit :
Savoir calculer le débit d’un fluide connaissant le volume (ou la masse) qui s’écoule
et inversement.
Savoir calculer la vitesse d’un fluide connaissant son débit et inversement
Connaître les conséquences du régime stationnaire (régime permanent) sur le débit
et la vitesse d’un fluide incompressible parfait
Savoir utiliser la relation de Bernoulli pour calculer une pression, une vitesse, une
puissance, …
Savoir convertir en pascal des pertes en charges exprimées en mètre de hauteur
Travail à effectuer :
 Lire attentivement l’annexe (en essayant de le comprendre).
 Répondre à la problématique au travers des questions suivantes (au brouillon) :
Les grandeurs caractéristiques de la centrale hydraulique que l’on envisage d’installer seraient :
Altitude de prise d’eau : zP=360 m (conduite
ouverte à l’air libre)
Masse volumique de l’eau : 1000 kg.m-3
Altitude de restitution de l’eau : zR=248 m
(conduite ouverte à l’air libre)
Débit : 0,3 m3.s-1
Accélération de pesanteur : 9.81 m.s-2
Conduite : diamètre constant
Perte en charge : Δh=1,1m
1. Y-a-t-il échange d’énergie entre le fluide et le milieu extérieur dans le cadre d’une centrale
hydraulique ? Ecrire la relation de Bernoulli correspondante en l’adaptant aux notations de l’énoncé.
2. Que peut-on dire des pressions pP et pR à la prise et restitution de l’eau ? Que devient le terme en
pression de la relation de Bernoulli ?
3. Que peut-on dire de la vitesse dans la conduite au régime permanent ? Que devient le terme en
vitesse de la relation de Bernoulli ?
4. Simplifier la relation de Bernoulli en tenant compte des 2 questions précédentes.
5. En déduire l’expression de la puissance hydraulique disponible P en fonction de
𝑞𝑣 , 𝜌 , 𝑔 , 𝑧𝑃 ,
𝑧𝑅 𝑒𝑡 𝛥𝑝
6. Convertir les pertes en charge en pascal.
7. En déduire la valeur de la puissance hydraulique P qui sera disponible si on implante la minicentrale.
8. Que signifie le signe de la puissance ?
 En utilisant l’annexe, réaliser la fiche résumée du chapitre. Pour cela, réécrire les différents
objectifs et indiquer pour chacun la relation, la définition ou la méthode permettant de
l’atteindre.
BTS Electrotechnique 1ère année - Sciences physiques appliquées
Annexe : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
1. Qu’est-ce que la dynamique des fluides ?
Les fluides étudiés ne sont plus au repos, mais au contraire en mouvement, en écoulement.
Deux nouvelles grandeurs physiques vont intervenir par rapport à la statique des fluides :
 Le débit
 La vitesse
2. Qu’est-ce qu’un fluide parfait (non visqueux) ?
En dynamiques des fluides, il faut distinguer le cas où le fluide est visqueux du cas où le fluide est
parfait (non visqueux)
Un fluide est dit visqueux lorsque, en mouvement, il y a frottement entre les différentes couches qui le
composent (dissipation d’une partie de l’énergie du fluide sous forme de chaleur).
3. Qu’est-ce que le débit ?
C’est la quantité de fluide qui s’écoule par unité de temps. Cette quantité peut être exprimée de
manière massique ou volumique :

Débit masse :
𝒒𝒎 =
-1
[kg.s ]


Débit volume :
𝒎
𝜟𝒕
[kg]
[s]
3
𝑽 [m ]
𝒒𝑽 =
𝜟𝒕 [s]
3 -1
[m .s ]
Relation entre qm et qv :
m étant la masse de fluide traversant une section droite
d’une conduite pendant une durée Δt.
V étant le volume de fluide traversant une section droite
d’une conduite pendant une durée Δt.
𝒎
𝒒𝒎 𝜟𝒕 𝒎 𝜟𝒕 𝒎
=
=
×
= =𝝆
𝑽
𝒒𝑽
𝜟𝒕 𝑽
𝑽
𝜟𝒕
𝒒𝒎 = 𝝆 × 𝒒 𝑽
(ρ en kg.m-3)
4. Quelle est la relation entre le débit et la vitesse ?
La vitesse moyenne de déplacement d’un fluide en une section droite de canalisation est définie par :
𝒒𝑽
𝒗=
𝑺
[m.s-1]
[m3.s-1]
[m2]
Avec : qV : Débit volumique du fluide
S : surface de la section de la canalisation
v : vitesse moyenne de déplacement d’un fluide
5. Qu’est-ce que le régime permanent de l’écoulement d’un fluide (régime stationnaire) ?
L’écoulement d’un fluide peut-être représenté par la figure ci-dessous :
Quelques définitions :



Lignes de courant : ce sont les trajectoires suivies par les molécules d’un fluide en mouvement.
Tube de courant : volume enfermant un certain nombre de lignes de courant matérialisé le plus
souvent par une canalisation.
Filet de courant : tube de courant de très petite section
Régime stationnaire (ou permanent) : Un écoulement est dit stationnaire lorsque les lignes de
courant ne varient pas au cours du temps. Ainsi, en un point de la conduite, toutes les molécules du
fluide qui passent par celui-ci le font à la même vitesse.
6. Quelles sont les conséquences d’un régime stationnaire sur le débit ?
En régime stationnaire, le débit masse est le même à travers toutes les sections droites : qm=Cte
Si en plus le fluide est incompressible, alors le débit volume est également constant : qV=Cte
𝑞
En effet, si le liquide est incompressible, ρ=cte. Donc si qm=cte, alors qV = 𝜌𝑚 est aussi constant.
Au régime stationnaire (permanent), le débit d’un fluide incompressible parfait est
constant en tout point des conduites.
7. Quelles sont les conséquences d’un régime stationnaire sur la vitesse ?
Du fait de la valeur constante du débit et de la relation liant la vitesse au débit, les conséquences sont
les suivantes :
 Si la canalisation est de section droite (S=Cte) : alors v est constante tout le long de la
canalisation.
 Si la canalisation s’élargit (S augmente) alors v diminue.
 Si la canalisation se rétrécit (S diminue) alors v augmente.
8. Qu’est-ce que la relation de Bernoulli ?
C’est une relation qui permet de déterminer la pression ou la vitesse en un point d’écoulement d’un fluide
parfait incompressible.
Deux cas de figures sont à distinguer :
1er cas : le fluide s’écoule sans échange d’énergie avec l’extérieur :
Si le fluide est parfait et qu’il n’y a pas d’échange d’énergie avec l’extérieur (ni frottements sur les
parois, ni pompes ou ni turbines), on montre par application de la conservation de l’énergie totale que :
𝒗𝟐
𝒑 + 𝝆𝒈𝒛 + 𝝆
= 𝑪𝒕𝒆
𝟐
Les différents termes de cette équation correspondent à :
 p : pression statique
 ρgz : pression de pesanteur
 𝜌
Entre deux points M1 et M2 d’une canalisation, on a donc :
𝑣2
2
: pression cinétique
𝒗𝟐 𝟐
𝒗𝟏 𝟐
𝒑𝟐 + 𝝆𝒈𝒛𝟐 + 𝝆
= 𝒑𝟏 + 𝝆𝒈𝒛𝟏 + 𝝆
𝟐
𝟐
Ce qui donne la relation de Bernoulli pour un écoulement sans échange de puissance :
𝟏
(𝒑𝟐 − 𝒑𝟏) + 𝝆𝒈(𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 ) + 𝝆(𝒗𝟐 𝟐 − 𝒗𝟏 𝟐 ) = 𝟎
𝟐
[m]
[Pa]
[m.s-1]
2eme cas : le fluide s’écoule avec échange d’énergie avec l’extérieur :
Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique (turbine, pompe, …), il échange de l’énergie avec
celle-ci sous forme de travail W (énergie mécanique).
Rappel : la puissance échangée est alors
𝑷=
𝑾
𝜟𝒕
.
Il peut y avoir également perte d’énergie sous forme de chaleur par frottement du fluide sur les
parois (on parle alors de pertes en charges). Elles sont désignées par la baisse de pression Δp qui en
découle.
La relation de Bernoulli pour un écoulement avec échange de puissance s’écrit alors :
𝟏
𝑷 [W]
𝟐
𝟐
(𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 ) + 𝝆𝒈(𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 ) + 𝝆(𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 ) =
− 𝜟𝒑
𝟐
𝒒𝒗
[m3.s-1]
[Pa]
p2 doit être la pression en un point aval de l’écoulement et p1 en un point amont.
P est la puissance reçue par le fluide : P>0 lorsque le fluide reçoit de la puissance
(pompe) et P<0 lorsque le fluide fournit de la puissance (turbine).
9. Comment convertir en pascal des pertes en charge exprimées en mètre de hauteur ?
Les pertes en charge font diminuer la profondeur à laquelle une pompe peut puiser de l’eau. C’est
pourquoi les pertes en charges sont souvent exprimées en mètre de hauteur (hauteur de pompage
perdue) plutôt qu’en pascal (pression perdue)
Pour passer des pertes en charges Δh (en terme de hauteur) aux pertes en charge Δp (en terme
de pression), on utilise la relation :
𝜟𝒑 = 𝝆𝒈𝜟𝒉
[Pa]
[m]