Exercices supplémentaires sur les nombres algébriques et

MAT 2050
Douzi` eme s´ erie d’exercices
Quelques exercices suppl´ ementaires sur les nombres alg´ ebriques et transcendants
D´efinition. On dit qu’un nombre r´ eel ou complexe est alg´ ebrique si il
existe un polynˆ ome
P(x) = anxn+··· +a1x+a0, ai∈Z, a0, an6=0
tel que P(α) = 0.
1. Soit α=p
q∈Q. Montrer que αest alg´
ebrique.
2. Soit αun nombre alg´ ebrique. Montrer que √αest alg´ ebrique.
3. Soit αun nombre alg´ ebrique non nul. Montrer que 1
αest alg´
ebrique.
4. Montrer que √2(3+5√6)est alg´ ebrique.
5. Soit a, b ∈Z. Montrer que a+ib est alg´ ebrique.
6. (Plus difficile !) Montrer que
∞
X
n=1
1
10nn
est transcendant.
1