Exercices supplémentaires sur les nombres algébriques et

MAT 2050
Douzième série d’exercices
Quelques exercices supplémentaires sur les nombres algébriques et transcendants
Définition. On dit qu’un nombre réel ou complexe est algébrique si il
existe un polynôme
P(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 ,
ai ∈ Z, a0 , an 6= 0
tel que P(α) = 0.
1. Soit α =
p
q
∈ Q. Montrer que α est algébrique.
2. Soit α un nombre algébrique. Montrer que
√
α est algébrique.
3. Soit α un nombre algébrique non nul. Montrer que
4. Montrer que
√
√
2(3 + 5 6) est algébrique.
5. Soit a, b ∈ Z. Montrer que a + ib est algébrique.
6. (Plus difficile !) Montrer que
∞
X
1
nn
10
n=1
est transcendant.
1
1
α
est algébrique.