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La lettre AOC N°7
Le coin des thèses
Problèmes de couverture en
nombres entiers:
génération de colonnes,
heuristiques
d'approximation garantie et
schémas hybrides.
Applications en transport
ferroviaire et en
planification de production.
Jalila Sadki Fenzar
mercredi 6 juillet à 14h en B311
Jury :
Pr. Laurent Alfandari, ESSEC
Business School (Co-encadrant)
Pr. Yves Crama, HEC Management
School, Université de Liège (Rap)
Pr. Dominique Feillet, Ecole des
Mines de Saint-Etienne (Rapporteur)
Pr. Olivier Hudry, Télécom
ParisTech (Examinateur)
Pr. émérite Gérard Plateau,
Université Paris 13 (Examinateur)
Dr. Agnès Plateau, Conservatoire
National des Arts et Métiers (Co-
encadrante)
Pr. Anass Nagih, Université de Metz
(Directeur de thèse)
Pr. Roberto Wolfer Calvo, Université
Paris 13 (Examinateur)
Dr. David De Almeida, Direction de
l'Innovation et de la Recherche de la
SNCF (Invité)
Les programmes de couverture en
nombres entiers (CIP) modélisent de
nombreux problèmes industriels
réels. Dans le cadre de cette thèse,
nous nous intéressons aux CIP de
grande taille, programmes qui
apparaissent souvent comme
problèmes maîtres issus d'une
décomposition de type Dantzig-
Wolfe. Les approches de résolution
de problèmes de grande taille, et
plus spécifiquement, la méthode de
génération de colonnes, connaissent
un intérêt grandissant ces dernières
années. Nous présentons dans un
premier temps un tour d'horizon
autour de la méthode de génération
de colonnes, et des approches de
résolution entière (exactes ou
approchées) basées sur cette
méthode. Nous étudions ensuite les
heuristiques d'approximation
dédiées aux CIP, puis nous
proposons une adaptation de
l'heuristique gloutonne de Dobson
aux CIP de grande taille, engendrant
la résolution d'un sous-problème
fractionnaire. Nous revisitons à
l'issue de cette étude la preuve du
rapport d'approximation de
l'heuristique de Dobson à l'aide
d'une reformulation originale
permettant d'étendre cette preuve à
de nouvelles variantes. A l'issue des
deux études précé-
dentes, nous propo-
sons de nouvelles
approches de réso-
lution approchée
pour les CIP de
grande taille qui
font coopérer l'heu-
ristique d'approxi-
mation gloutonne et la méthode de
génération de colonnes. Des
coopérations séquentielles et
hybrides sont alors mises en oeuvre
et évaluées sur des instances de
problèmes réels. Les résultats
obtenus montrent que l'heuristique
gloutonne constitue un générateur
efficace de colonnes et de solutions
diversifiées permettant d'améliorer
différents aspects du schéma de
génération de colonnes: d'une part,
en diminuant le nombre d'itérations
ainsi que le temps de résolution, et
d'autre part, en améliorant la valeur
du majorant (les CIP étant des
problèmes de minimisation) dans
un schéma de résolution en
nombres entiers. La validation
expérimentale de l'ensemble des
approches proposées est finalement
réalisée sur deux applications types
issues des domaines du transport
ferroviaire et de la production
agricole.
Laboratoire LIPN : http://www-lipn.univ-paris13.fr/
Equipe AOC : http://www-lipn.univ-paris13.fr/AOC/
Séminaire : http://lipn.fr/actualites/tag/séminaire AOC
Parus ou acceptés
• Nicolas Lermé, Lucas Létocart, François Malgouyres,
"Reduced graphs for min-cut/max-flow approaches in
image segmentation", LAGOS'11 : VI Latin-American
Algorithms, Graphs, and Optimization Symposium,
Bariloche, Argentina, mars 2011, à paraître dans
Electronic Notes in Discrete Mathematics, 6 pages.
du problème en exploitant une contrainte, soit du type (1)
∑j=1,...,najxj≤b, soit du type (2) ∑j=1,...,najxj≥b. Via la
contrainte (1), le calcul du plus grand nombre de plus
petits coefficients aj dont la somme ne dépasse pas le
second membre b fournit un majorant ksup ; à l'inverse,
via la contrainte (2), le calcul du plus petit nombre de
plus grands coefficients aj dont la somme dépasse le
second membre b fournit un minorant kinf. Dans ces deux
cas, l'ensemble T est l'ensemble des aj et la relation
d'ordre R est soit ≤, soit ≥. Le dénombrement des
éléments de Best est ici remplacé par une addition de
coefficients aj ce qui ne change en rien la complexité de
l'algorithme (e.g. "card (T1) > k" est remplacé par "∑j dans Best
U T1aj > b").
-l'application la plus subtile a trait à la résolution du
programme linéaire (PL) associé au problème du sac à
dos en variables 0-1 (K) formulé comme suit :
max ∑j=1,...,ncjxj
∑j=1,...,najxj≤b, xj dans {0,1}.
Elle consiste à trouver le plus grand nombre de plus
grands rapports cj/aj dont la somme associée des aj
(notée Sigma) ne dépasse pas b. Lorsque b est atteint
exactement, (K) est résolu (tous les objets correspondants
sont mis dans le sac, les autres sont exclus). Dans le cas
contraire (i.e. Sigma<b), la solution de (PL) se déduit de la
précédente très simplement en ajoutant à Sigma la
fraction du premier objet exclu permettant de remplir le
sac à "ras bord". L'ensemble T est ici celui des couples
(cj,aj) muni du préordre R défini par : (ci,ai) R (cj,aj) <=>
ci/ai≥cj/aj. Comme précédemment, les calculs de
cardinalités sont remplacés par des additions de
coefficients aj (ici k représente le nombre de variables à 1
dans la solution optimale).
Découvert à la fin des années 70, ce principe
permettant de "s'affranchir du logn" est désormais
couramment utilisé dans plusieurs variantes du
problème du sac à dos, sous-problème (souvent résolu en
cascade) de nombreux problèmes d'optimisation
complexes. Puisse ce billet ouvrir des perspectives
d'autres applications en AOC...
Gérard Plateau
* R n'est pas antisymétrique : on peut avoir ti R tj & tj R ti