Projet 1

Régimes transitoires d’un circuit RC série Le but de ce premier projet Python est de modéliser numériquement la charge et la décharge d’un condensateur dans un circuit RC série, que nous avons étudié dans le chapitre E3 du cours de physique. 1. Etude analytique On étudie la réponse d’un circuit RC série à un créneau de tension, en établissant à tout instant la tension 𝑢! 𝑡 aux bornes du condensateur. 1.1. Etude de la charge du condensateur Dans cette partie, on étudie la réponse du circuit RC à un échelon de tension, c’est-­‐à-­‐dire pour : 𝑇
0 ≤ 𝑡 ≤ 2
1.1) Déterminer les conditions initiales du circuit. 1.2) Déterminer l’équation différentielle régissant l’évolution de la tension 𝑢! 𝑡 aux bornes du condensateur et en déduire la constante de temps 𝜏 caractéristique d’un circuit 𝑅𝐶 série. 1.3) Déterminer l’expression de la tension 𝑢! 𝑡 aux bornes du condensateur. 1.4) Quelle est la valeur de 𝑢! 𝑡 pour 𝑡 = 𝜏 ? 𝑡 = 5𝜏 ? Commenter les résultats. 1.5) Tracer l’allure de la tension 𝑢! 𝑡 aux bornes du condensateur pour 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇/2. On fera apparaître la constante de temps 𝜏 sur le graphique. 1.2. Etude de la décharge du condensateur Dans cette partie, on étudie la réponse du circuit RC en régime libre, c’est-­‐à-­‐dire pour : 𝑇
≤ 𝑡 ≤ 𝑇 2
1.6) Déterminer les conditions initiales du circuit. 1.7) Déterminer l’équation différentielle régissant l’évolution de la tension 𝑢! 𝑡 aux bornes du condensateur. 1.8) Déterminer l’expression de la tension 𝑢! 𝑡 aux bornes du condensateur 𝑇 /2 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇. 1.9) Tracer l’allure de la tension 𝑢! 𝑡 aux bornes du condensateur. On fera apparaître la constante de temps 𝜏 sur le graphique. 2 Projet Python 1 : Régime transitoire d’un circuit RC série 1.3. Charges et décharges successives Pour visualiser les charges et décharges successives du condensateur, on alimente le circuit RC avec un GBF délivrant une tension créneau de fréquence 𝑓 . 1.10) A quelle condition sur les valeurs de 𝑓, 𝑅 et 𝐶 visualisera-­‐t-­‐on les charges et décharges complètes du condensateur ? 1.11) Tracer sur un même graphique, l’allure de la tension créneau 𝑒(𝑡) de fréquence 𝑓 et de la tension 𝑢! 𝑡 aux bornes du condensateur lorsque la condition précédente est vérifiée. 2. Modélisation numérique On souhaite ici modéliser numériquement les charges et décharges successives d’un circuit 𝑅𝐶 série, alimenté par une tension créneau de fréquence 𝑓 . Pour les modélisations, on prendra les valeurs numériques suivantes : • 𝑅 = 1 kΩ • 𝐶 = 100 n𝐹 • 𝑓 = 500 Hz • 𝐸 = 5 V 2.1) Dans l’éditeur, importer les modules scientifiques nécessaires pour le problème : -­‐ numpy -­‐ matplotlib.pyplot -­‐ scipy.integrate (pour la résolution des équations différentielles du premier ordre). 2.2) Déclarer et affecter les variables suivantes : -­‐ résistance (notée R) et capacité (notée C) du circuit -­‐ fréquence (notée f) et amplitude (notée E) de la tension créneau -­‐ condition initiale pour la tension aux bornes du condensateur en charge (notée u1_0) -­‐ condition initiale pour la tension aux bornes du condensateur en décharge (notée u2_0) 2.1. Modélisation numérique de la charge du condensateur 2.3) Définir un vecteur (noté t1) contenant 1000 points et dont les valeurs sont comprises entre 𝑇 = 0 et 𝑡 = 𝑇/2. 2.4) Définir une fonction (appelée charge) définissant l’équation différentielle régissant la charge du condensateur. 2.5) Résoudre l’équation différentielle régissant la charge du condensateur. On notera u1 le vecteur résultant. 2.6) Tracer l’évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours de la charge. 2.2. Modélisation numérique de la décharge du condensateur 2.7) A la suite du programme précédent, définir un nouveau vecteur (noté t2) contenant 1000 points et dont les valeurs sont comprises entre 𝑇 = 𝑇/2 et 𝑡 = 𝑇. 2.8) Définir une fonction (appelée decharge) définissant l’équation différentielle régissant la décharge du condensateur. 2.9) Résoudre l’équation différentielle régissant la décharge du condensateur. On notera u2 le vecteur résultant. 2.10) Tracer l’évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours de la décharge. Projet Python 1 : Régime transitoire d’un circuit RC série 3 2.3. Charge et décharge successives 2.11) En utilisant la fonction np.concatenate (dont on cherchera la fonction et le principe d’utilisation sur le site de Numpy), définir un nouveau vecteur (noté t) qui concatène les vecteurs t1 et t2. 2.12) En utilisant la fonction np.concatenate, définir un nouveau vecteur (noté u) qui concatène les vecteurs u1 et u2. 2.13) Tracer l’évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours de la séquence charge-­‐décharge. 2.14) Question bonus : sur le graphique précédent, superposer à la tension aux bornes du condensateur, la tension d’alimentation créneau.