corrigé

1/7
Bac Blanc Terminale L - Février 2015
Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)
Exercice 1 (5 points)
Question 1 :
La population d'une ville baisse de 1 % tous les ans pendant 10 ans.
Elle est donc multipliée par (1 1,100) 0,99 tous les ans et par 0,9910 0,9044 avec 0,9044 1 9,56
100
donc, elle a diminuée d’environ 9,56 % en 10 ans.
Question 2 :
Soit ( ) un une suite géométrique de raison 2. On sait de plus que u0u1u2... u95115.
On a donc : u0 1 210
1 2 5115 u01023 5115 u0 5115
1023 donc u0 est égal à 5.
Question 3 :
Soit le tableau de variation de la fonction f définie sur [ 2 6] :
x
2 0 3 6
variations de f
3 4
2 2
Sur l’intervalle [ 2 3], f admet pour maximum f(0) 3 donc l’équation f(x) 3 possède pour solution 0
dans l’intervalle [ 2 3].
Sur l’intervalle [3 6], f est continue et strictement croissante avec f(3) 3 f(6) donc, d’après le
théorème des valeurs intermédiaires, f(x) 3 possède une solution unique dans l’intervalle [3 6].
L’équation f(x) 3 possède donc deux solutions d ans [ 2 6] : 0 et .
Question 4 :
On considère la fonction f définie sur par f(x) 2x312x24x5.
f est dérivable sur et on a f ′(x) 6x224x4.
f ′ est dérivable sur et on a : f ″(x) 12x24.
De plus : 12x24 0 pour x2 et 12x24 0 x2
On en déduit que f ″ s’annule en 2 en changeant de signe donc la courbe Cf de la fonction f admet comme
point d'inflexion le point d’abscisse 2 et donc de coordonnées (2 29).
Question 5 :
On connait à 2 nombres près la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
valeurs
i
x
5
10
15
20
probabilités
i
p
0,10
0,20
0,30
0,40
On a : p1p2p3p41 d’où : p41 (0,10 0,20 0,30) 0,4
On sait de plus que l'espérance E de X est égale à 15 donc :
5 0,10 10 0,20 x30,30 20 0,40 15 0,3 x34,5 x3 4,5
0,3
La valeur x3 manquante est donc 15.

2/7
Exercice 2 (5 points)
Un magazine, uniquement vendu par abonnement, comptait 8000 abonnés en 2005.
Le directeur désirant alors avoir une estimation du nombre d’abonnés pour les années suivantes, avait
commandé une étude de marché qui avait prévu 1800 nouveaux abonnés chaque année mais 15 % des
abonnés qui ne renouvelleraient pas leur abonnement d’une année sur l’autre.
Partie A
On note un le nombre, en milliers, d’abonnés l’année 2005 n.
 1. En 2005, le nombre d’abonnés était de 8 milliers donc : u08.
 2. 15 % des abonnés de 2005 ne renouvellent pas leur abonnement en 2006 donc 85 % le renouvellent
soit 0,85 u0 abonnés et on compte 1800 nouveaux abonnés donc u10,85 u01,8 soit u18,6.
De même : u20,85 u11,8, soit u29,11.
 3. En raisonnant comme dans la question précédente, on trouve : un10,85 un1,8.
 4. Parmi les 3 algorithmes proposés ci-dessous, seul l’algorithme 2 permet de déterminer les prévisions
du nombre d’abonnés pour les années 2005 à 2005 n.
Algorithme 1
Algorithme 2
Algorithme 3
Variables
n, i entiers naturels,
u nombre réel
Début algorithme
Lire n
u prend la valeur 8
Pour i allant de 1 à n
Afficher u
u prend la valeur 0,85*u +1,8
Fin Pour
Fin algorithme
Variables
n, i entiers naturels,
u nombre réel
Début algorithme
Lire n
u prend la valeur 8
Pour i allant de 1 à n
Afficher u
u prend la valeur 0,85*u +1,8
Fin Pour
Afficher u
Fin algorithme
Variables
n, i entiers naturels,
u nombre réel
Début algorithme
Lire n
u prend la valeur 8
Pour i allant de 1 à n
u prend la valeur 0,85*u +1,8
Fin Pour
Afficher u
Fin algorithme
L’algorithme 1 ne convient pas car pour i n, il affiche u (qui a pris la valeur un1 dans la boucle
précédente) avant de calculer sa nouvelle valeur un.
L’algorithme 1 affiche donc u0, u1, ..., un1 mais pas un.
L’algorithme 3 ne convient pas non plus car pour i allant de 1 à n, il calcule ui sans l’afficher, puis les
boucles étant traitées, il affiche la dernière valeur de u calculée c’est-à-dire un.
L’algorithme 2 affiche donc uniquement un.
 5. En programmant cet algorithme sur la calculatrice et en donnant à n la valeur 5 ( 2005 5 2010),
on obtient comme affichages successifs :
le dernier affichage étant u5, soit une prévision de 10 225 abonnés pour 2010.
Remarque : On peut également utiliser la calculatrice pour calculer directement le terme u5 de la suite
( )
un.

3/7
Partie B
On considère la suite ( ) vn définie par vnun12 pour tout entier naturel n.
 1. vn1u(n1) 12 0,85 un1,8 12 0,85 un10,2 0,85 un 10,2
8,5 0,85( )
un12 .
On a donc vn10,85 vn, ce qui prouve que la suite ( ) vn est géométrique de raison q0,85 et de
premier terme v0u012, soit v04.
 2. D’après la question précédente, on a : vn4 0,85n avec 0 0,85 1 d’où lim
n0,85n0.
On en déduit que lim
nvn0.
De plus : vnun12 unvn12 d’où : lim
nun12.
Cette limite indique que le nombre d’abonnés va se rapprocher de 12 000 d’année en année.
Partie C
En 2010, le nombre d’abonnés était, d’après la partie A, d’environ 10 225. Suite à la concurrence de la
« presse numérique », ce magazine voit ses résultats chuter à partir de 2010, le taux de renouvellement
n’étant plus que de 80 % avec seulement 1500 nouveaux abonnés chaque année.
Soit wn le nombre d’abonnés en 2010 n.
En raisonnant comme dans la partie A, on a : wn10,8 1,5
Sachant que l’édition de ce magazine n’est rentable que si le nombre d’abonnés est supérieur à 8000, on
cherche donc n tel que wn8.
Avec l’algorithme suivant :
Variables
n entier naturel,
w nombre réel
Début algorithme
w prend la valeur 10,225
n prend la valeur 0
Tant que w8
w prend la valeur 0,8*w +1,5
n prend la valeur n1
Fin Pour
Afficher n
Fin algorithme
on obtient n8, ce qui signifie que la parution de ce magazine devrait s’arrêter en 2018 ( 2010 8 ).

4/7
Exercice 3 (5 points)
Dans un garage automobile, on vend des voitures B1 en 2 versions (Classique ou Sport) et 3
motorisations (Essence, Diesel ou Hybride) .
 1. Un client achète une B1. On considère les événements suivants :
C « la voiture achetée est une B1 Classique »,
S « la voiture achetée est une B1 Sport »,
E « la voiture achetée est une B1 Essence »,
D « la voiture achetée est une B1 Diesel »,
H « la voiture achetée est une B1 Hybride ».
a) On sait :
- que 70 % des voitures B1 vendues sont en version Classique donc p(C) 0,70
- qu’une B1 sur 20 vendues est une Classique Essence donc p(C E) 1
20 0,05
- que 25 % des B1 vendues sont des versions Classique Hybride donc p(C H) 0,25
- que 50 % des B1 version Sport vendues sont des versions Diesel pS(D) 0,50
-que 2 B1 version Essence sur 3 vendues sont des versions Sport donc pE(S) 2
3 .
b) 2 B1 version Essence sur 3 vendues sont des versions Sport donc on a deux fois plus de version
Essence Sport que de versions Classique Sport d ‘où : p(S E) 2 p(C E), soit p(S E) 0,10.
Les événements C et S sont des événements contraires donc p(S) 1 p(C) 0 0,70 0,30
et on a : p(S D)pS(D)p(S) 0,50 0,30 soit p(S D) 0,15.
c) On place les résultats correspondant à p(C H), p(S), p(S E) et p(S D) dans le tableau.
E
D
H
Total
C
5 %
25 %
70 %
S
10 %
15 %
30 %
Total
100 %
C et S formant une partition de l’univers des voitures B1, on a : p(E)p(E C)p(E S) 0,15.
E, D et H formant une autre partition de l’univers des voitures B1, on a :
p(S)p(S E)p(S D)p(S H), soit 0,30 0,10 0,15 p(S H) d’où : p(S H) 0,05
et p(C)p(C E)p(C D)p(C H), soit 0,70 0,05 p(C D) 0,25 d’où : p(C D) 0,40
d’où :
E
D
H
Total
C
5 %
40 %
25 %
70 %
S
10 %
15 %
5 %
30 %
Total
15 %
100 %
Et enfin, avec C et S formant une partition de l’univers des voitures B1 :
p(D)p(D C)p(D S) 0,40 0,15 0,55
et p(H)p(H C)p(H S) 0,25 0,05 0,30
E
D
H
Total
C
5 %
40 %
25 %
70 %
S
10 %
15 %
5 %
30 %
Total
15 %
55 %
30 %
100 %

5/7
d) Un client achète un modèle Sport.
La probabilité que la voiture ait une motorisation hybride est pS(H) p(S H)
p(S) avec, d’après le tableau :
p(S H) 0,05 et p(S) 0,30 d’où 0,05
0,30 , soit pS(H) 1 6 .
 2. Le prix d'une B1 classique essence ou diesel est de 15000 euros. Le modèle classique hybride est à
17000 euros. Il faut rajouter 3000 euros pour les modèles version Sport.
Soit X la variable aléatoire associée au prix en euros d’une B1 achetée par un client choisi au hasard.
a) p(X17000) p(C H) 0,25
p(X20000) p(S H) 0,05
p(X18000) p(S E)p(S D) 0,10 0,15 0,25
donc la loi probabilité de X est donnée par :
Prix
i
x
15000
17000
18000
20000
Probabilités
i
p
0,45
0,25
0,25
0,05
b) E(X) 15000 0,45 17000 0,25 18000 0,25 20000 0,05 soit E(X) 16500.
Donc l'espérance mathématique de X est égale à 16500.
 3. Au garage , Monsieur Clément est chargé de la vente des B1. Au mois de janvier 2015, 30 clients
l'ont contacté de manière indépendante pour acheter une B1. On sait de plus que quand un client le
contacte, il vend une B1 une fois sur cinq.
Soit Y la variable aléatoire associée au nombre de B1 vendues par Mr Clément au mois de janvier 2015.
a) On a une succession de n30 épreuves indépendantes et identiques à 2 issues possibles :
- la réussite (le client achète une B1) avec une probabilité p0,20
- l’échec (le client n'achète pas une B1) avec une probabilité 1p0,80
Y suit donc la loi binomiale de paramètres n30 et p0,20.
b) D’après le cours : p(Y7) 
30
70,2070,8030 7 , soit p(Y7) 0,154
c) Y suivant la loi binomiale de paramètres n30 et p0,2 donc E(Y)n p 30 0,20 soit E(Y) 6.
d) Le salaire mensuel de Mr Clément est en 2 parties : un fixe de 1200 euros auquel s’ajoute 1 % du
montant des ventes des B1.
E(X) représente le prix moyen d’une voiture B1 vendue et E(Y) le nombre de voitures que peut espérer
vendre Mr Clément en janvier 2015, donc E(X)E(Y) représente le montant des ventes qu’il peut
espérer en janvier 2015, d’où :
1200 1
100 E(X)E(Y) 1200 0,01 16500 6 2190
Une estimation de son salaire en janvier 2015 est donc de 2190 euros.