Devoir maison n°3

623
Devoir maison n°3
Exercice 103 et 104 p 153
Exercice facultatif
Dans tout l’exercice  et  désignent deux entiers naturels avec  non nul.
On appelle terminaison à  chiffres d’un nombre entier  (ayant au moins  chiffres) le
nombre formé par les  derniers chiffres de .
Exemple : 52 est la terminaison à 2 chiffres de 35 752. L’objectif de l’exercice est d’étudier
quelques cas où les nombres  et  ont la même terminaison.
1) Quels sont les nombres entiers naturels égaux à leur propre carré ?
2) Terminaison à un chiffre.
On suppose dans cette question que  et  ont la même terminaison à un chiffre. Quelles
sont les valeurs possibles pour ce chiffre ?
3) Terminaison à deux chiffres ( a au moins deux chiffres).
a. Montrer que tout produit de deux nombres admettant 25 pour terminaison
admet également 25 pour terminaison.
b. On suppose dans cette question que  et  ont la même terminaison à deux
chiffres. Trouver toutes les valeurs possibles pour cette terminaison.
4) Terminaison à trois chiffres ( a au moins trois chiffres).
a. Déterminer tous les chiffres , tels que les nombres 100+25 et 
100+25
aient la même terminaison à trois chiffres.
b. Donner un exemple d’un nombre  à quatre chiffres tel que  et  aient la
même terminaison à trois chiffres.
c. On suppose que  et  ont la même terminaison à trois chiffres. Trouver
toutes les terminaisons à trois chiffres de .
5) Et plus. . . ( a au moins cinq chiffres).
Trouver une terminaison à cinq chiffres (autre que 00000 et 00001) telle que  et  aient
la même terminaison à cinq chiffres.
6) Au cube ( a au moins trois chiffres).
Trouver toutes les terminaisons à trois chiffres telles que le nombre  et son cube  aient
la même terminaison à trois chiffres.

623
Devoir maison n°3
Exercice 103 et 104 p 153
Exercice facultatif
Dans tout l’exercice  et  désignent deux entiers naturels avec  non nul.
On appelle terminaison à  chiffres d’un nombre entier  (ayant au moins  chiffres) le
nombre formé par les  derniers chiffres de .
Exemple : 52 est la terminaison à 2 chiffres de 35 752. L’objectif de l’exercice est d’étudier
quelques cas où les nombres  et  ont la même terminaison.
1) Quels sont les nombres entiers naturels égaux à leur propre carré ?
2) Terminaison à un chiffre.
On suppose dans cette question que  et  ont la même terminaison à un chiffre. Quelles
sont les valeurs possibles pour ce chiffre ?
3) Terminaison à deux chiffres ( a au moins deux chiffres).
a. Montrer que tout produit de deux nombres admettant 25 pour terminaison
admet également 25 pour terminaison.
b. On suppose dans cette question que  et  ont la même terminaison à deux
chiffres. Trouver toutes les valeurs possibles pour cette terminaison.
4) Terminaison à trois chiffres ( a au moins trois chiffres).
a. Déterminer tous les chiffres , tels que les nombres 100+25 et 
100+25
aient la même terminaison à trois chiffres.
b. Donner un exemple d’un nombre  à quatre chiffres tel que  et  aient la
même terminaison à trois chiffres.
c. On suppose que  et  ont la même terminaison à trois chiffres. Trouver
toutes les terminaisons à trois chiffres de .
5) Et plus. . . ( a au moins cinq chiffres).
Trouver une terminaison à cinq chiffres (autre que 00000 et 00001) telle que  et  aient
la même terminaison à cinq chiffres.
6) Au cube ( a au moins trois chiffres).
Trouver toutes les terminaisons à trois chiffres telles que le nombre  et son cube  aient
la même terminaison à trois chiffres.

Correction devoir maison n°3
Exercice 103p153
1) 2) 3) 4) Voir la figure
5) Pour démontrer que  est un parallélogramme, on va démontrer que  =  ou encore
− = 0 or
− =  + − + +
 en introduisant les points correspondants à l’énoncé ( avec les points
=− +2
+
+ + −  et  et  avec le point )
= − +2 + +2 −3
2
+ −3
2
+
On a donc bien  et donc  est un parallélogramme.
Exercice 104p153
1)  car  est le milieu de !".
2) 
a. #  # $ %  
b. Comme  est un rectangle, c’est également un parallélogramme et alors on a 
donc # .
c. On en déduit que # et  sont colinéaires et donc  et # sont alignés.
3)
a. Comme & est le symétrique de  par rapport à #, cela signifie que # est le milieu de !&" et donc
&  # . On a donc &
b. Comme  , on a &
4) '  ' car  est un rectangle donc  et ' est le milieu de !"
5) &
 & $ %  '
Ceci montre que & et ' sont colinéaires et donc que & et ' sont alignés.
A
B
C M
N P

Exercice facultatif
1) ( = ( si et seulement si x = 0 ou x = 1.
2) Terminaisons à un chiffre :  et  ont la même terminaison à un chiffre. Il suffit de tester tous les chiffres
Terminaison de
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Terminaison de
0
1
4
9
6
5
6
9
4
1
Conclusion : Terminaisons à un chiffre : 0 ; 1 ; 5 ; 6.
3) Terminaisons à deux chiffres :
a. On considère deux nombres finissant par 25 : 100)+25 et 100*+25 avec a et b deux entiers naturels.
100)+25100*+25= 10000)*+2500)+2500*+625 = 100100)*+25) +25*+6+25
donc le produit finit par 25.
b. Remarque : Le chiffre des unités est à chercher parmi les chiffres donnés dans la question 2).
 = 100a+b avec a entier naturel et b entier à deux chiffres
= 10000) +200)*+*
− = 10000) +200)*+* −100)−* = 100100) +2)*−)+* −*
 et  ont la même terminaison à deux chiffres si et seulement si  − est un multiple de 100 ; or
* −* = ** −1 est un multiple de 100 c’est-à-dire de la forme  ×4 ×25 =  ×2 ×5 .
On cherche alors b et *−1 tels que le produit donne un multiple de 100.
On a donc : b = 00
Ou *−1 = 00, soit : b = 01
b = 25 et *−1 = 24
b = 76 et *−1 = 75.
Conclusion :
N et  ont la même terminaison à deux chiffres pour les nombres N se terminant par 00, 01, 25, 76.
Remarque : on pouvait aussi tester tous les nombres finissant par 00;10;20;…;90 puis par 01;11;21;…;91
puis par 05;15;25;…;95 et enfin par 06;16;26;…;96.
4) Terminaisons à trois chiffres :
a. 100+25 = 10000 +5000+625 = 100010 +5+625 donc le produit finit par 625
et donc k = 6.
b. Par exemple 4625 = 21 390 625.
c. Le produit de deux nombres finissant par 000 finit lui aussi par 000.
En utilisant la question 3b., on obtient comme seules autres terminaisons possibles : k01 et k76.
100+76
= 10000 +15200+5776 = 100010 +15+5+1002+7+76
Le chiffre des centaines est donné par le chiffre des unités du nombre 2k + 7.
Tableau de valeurs (calculatrice) : on teste pour k variant de 0 à 9, le chiffre des unités du nombre 2k + 7 pour qu’il
soit égal à k.
Seule réponse possible : k = 3.
100+01
= 10000 +200 +1 = 1000×10+100×2 +1 puis meme raisonnement que pour 76.
Conclusion : seules terminaisons possibles : 000, 001, 625, 376.
5) Exemples de terminaisons à 5 chiffres possibles : 90625 ou 09376.
Si on poursuit l’opération à partir des terminaisons précédentes, on obtient des « nombres ». . . .
90625 et . . . 09376 qui ne sont pas des réels mais des nombres décadiques.
6) Cube
On peut déjà affirmer que ceux se terminant par 000, 001, 625 et 376 ont un cube finissant par 000, 001, 625 et 376.
On raisonne de proche en proche comme pour les carrés.
Les terminaisons possibles : 000, 001, 501, 251, 751, 624, 125, 625, 375, 875, 376, 249, 749, 499 et 999.