08-14

Chapitre 8– Exercice 14
Électrostriction
1. Les transferts d’énergie s’écrivent respectivement, pour une évolution réversible élémentaire :
dQ = T d S
dWm = −p d V
dWe = f d q
et
d q étant la variation infinitésimale de la charge de l’armature supérieure et f la tension aux bornes du condensateur. Comme il y a trois types de transfert d’énergie, l’état thermodynamique du système dépend de trois variables
indépendantes que l’on choisit intensives pour des raisons de commodité expérimentale : T , p et f .
2. La fonction d’état G(T, p, f) adaptée aux variables T , p , f est : G = U + pV − TS − fq . Sa
différentielle s’écrit :
dG = dU + pdV + V dp − T dS − SdT − fdq − qdf
Comme d U = dQ + dWm + dWe = T d S − p d V + f d q , il vient : d G = −S d T + V d p − q d f . La chaleur
reçue, au cours d’une évolution réversible élémentaire du système, peut se mettre sous la forme :
dQ = T d S = Cp d T + kp d p + kf d f
les coefficients Cp , kp et kf étant fonctions de T, p et f : le premier Cp permet d’exprimer la chaleur reçue
par le système à pression et tension constantes et le deuxième kp , celle reçue à température et tension constantes ;
quant au troisième kf qui représente la chaleur reçue à température et pression constantes, il est lié à la seule
évolution de la charge du condensateur.
En exprimant que d G est une différentielle (totale exacte), on trouve les relations de Maxwell de ce système
à trois variables indépendantes (cf. annexe 1) :
−
∂S ∂p
T,f
=
∂V ∂V ∂T
∂f
p,f
=−
T,p
∂q ∂S ∂p
∂f
T,f
T,p
=
∂q ∂T
p,f
La première de ces relations ne contient pas de variables électriques. Elle décrit donc simplement le comportement
thermodynamique du système indépendamment de la présence du générateur et de l’échange d’énergie électrique ;
elle permet de trouver l’expression du coefficient k = −T(∂V/∂T)p,f .
3. La deuxième relation de Maxwell montre que, si une variation de pression, à température et tension
constantes, entraîne une variation de la charge du condensateur, une variation de tension à température et pression constantes doit nécessairement modifier le volume du système.
L’interprétation est la suivante : lorsqu’on augmente la pression du diélectrique à T et f constants, la diminution de volume qui en résulte provoque une augmentation de la polarisation volumique du système et par
conséquent une augmentation de εr . Comme la capacité augmente alors, la charge q aussi puisque la tension est
constante. On a donc :
∂q ∂V > 0 ce qui donne
<0
∂p T,f
∂f T,p
Il en résulte qu’une élévation isotherme et isobare de la tension f aux bornes du condensateur ( d f > 0 ) produit une diminution de volume ( d V < 0 ) et par conséquent une contraction du diélectrique. Ce phénomène est
l’électrostriction. En tenant compte de la relation q = Cf = εr C0 f , il vient :
∂V ∂f
=−
∂q ∂p
T,p
= −C0 f
T,f
∂ε r
∂p
T,f
La variation infinitésimale isobare et isotherme du volume, produite par une variation élémentaire f de la tension
est alors donnée par la différentielle :
(d V)T,p = −C0 f
∂ε ∂ε ∂p
∂p
r
1
d f = − C0
2
T,f
r
T,f
d(f2 )
ii
Solutions des exercices
Notons que d V ne dépend pas du signe de la tension f car (∂εr /∂p)T,f est un coefficient positif. Ainsi, le
diélectrique se contracte toujours quand le condensateur se charge. Lorsque la tension varie de 0 à f0 , cette
contraction vaut :
1
∂εr
C0 f20
−DV =
2
∂p T,f
On en déduit la variation relative de volume en remplaçant C0 par ε0 S/e et V par Se , S étant la section
commune des armatures et e la distance qui les sépare :
DV
ε0
=−
V
2
2 f0
e
∂εr
∂p
T,f
Il est instructif aussi de calculer le rapport entre le travail mécanique −pDV reçu par l’intermédiaire du piston et
l’énergie électrostatique Cf20 /2 emmagasinée par le condensateur :
−pDV
p
=
εr
Cf20 /2
Pour du pétrole, on trouve :
DV
≈ −10−4
V
∂ε r
∂p
T,f
−pDV
≈ 10−4
Cf20 /2
et
4. Au cours de la charge réversible d’un condensateur à p et T constants, la chaleur élémentaire reçue est :
∂S dQ = T(d S)T,p = T
∂f
df = T
∂q ∂T
T,p
d f = C0 T
∂ε r
∂T
p,f
fdf
p,f
d’après la troisième relation de Maxwell et l’équation q = εr C0 f . Lorsque le condensateur se charge de 0 à
q0 = εr C0 f0 , la chaleur reçue s’obtient en intégrant :
Q=
1
C0 T
2
∂εr
∂T
f20
p,f
puisque εr ne dépend pas de f . Cette quantité est perdue par le condensateur puisque une augmentation de la
température, à pression et tension constantes, entraîne une dilatation du fluide et donc une diminution de εr :
∂εr
∂T
<0
p,f
Comparons la chaleur −Q perdue par le condensateur à son énergie électrostatique Ee = Cf20 /2 emmagasinée
au cours de la charge :
T ∂εr
−Q
=−
Ee
εr ∂T p,f
Pour du pétrole à T = 300 K , on trouve : −Q/Ee = 0, 3 . La chaleur perdue au cours de la charge isotherme et
isobare réversible représente donc 30% de l’énergie électrique emmagasinée.
5. Au cours d’une charge élémentaire isentropique et isobare, la température varie de d T tel que :
(d S)p =
∂S ∂T
dT +
p,f
∂S ∂f
∂S ∂T
dT = −
d’où
p,T
En tenant compte des expressions :
Cp = T
df = 0
∂q et
∂T
p,f
p,f
=
∂S ∂f
= C0 f
T
C0
Cp
∂ε r
∂T
p,f
∂ε p,T
la variation élémentaire de température s’écrit :
dT = −
(∂S/∂f)p,T
df
(∂S/∂T)p,f
f d f > 0 puisque
r
∂T
∂ε r
∂T
p,f
<0
Ainsi, une charge isentropique et isobare du condensateur se traduit par une élévation de la température du diélectrique.