08-14

Chapitre 8– Exercice 14
Électrostriction
1. Les transferts d’énergie s’écrivent respectivement, pour une évolution réversible élémentaire :
dQ=TdSdWm=−pdVet dWe=fdq
dqétant la variation infinitésimale de la charge de l’armature supérieure et fla tension aux bornes du condensa-
teur. Comme il y a trois types de transfert d’énergie, l’état thermodynamique du système dépend de trois variables
indépendantes que l’on choisit intensives pour des raisons de commodité expérimentale : T,pet f.
2. La fonction d’état G(T,p,f)adaptée aux variables T,p,fest : G=U+pV −TS −fq.Sa
différentielle s’écrit :
dG=dU+pdV+Vdp−TdS−SdT−fdq−qdf
Comme d U=dQ+dWm+dWe=TdS−pdV+fdq,ilvient: dG=−SdT+Vdp−qdf. La chaleur
reçue, au cours d’une évolution réversible élémentaire du système, peut se mettre sous la forme :
dQ=TdS=CpdT+kpdp+kfdf
les coefficients Cp,kpet kfétant fonctions de T,pet f:lepremier Cppermet d’exprimer la chaleur reçue
par le système à pression et tension constantes et le deuxième kp, celle reçue à température et tension constantes ;
quant au troisième kfqui représente la chaleur reçue à température et pression constantes, il est lié à la seule
évolution de la charge du condensateur.
En exprimant que d Gest une différentielle (totale exacte), on trouve les relations de Maxwell de ce système
à trois variables indépendantes (cf. annexe 1) :
−∂S
∂pT,f
=∂V
∂Tp,f
∂V
∂fT,p
=−∂q
∂pT,f
∂S
∂fT,p
=∂q
∂Tp,f
La première de ces relations ne contient pas de variables électriques. Elle décrit donc simplement le comportement
thermodynamique du système indépendamment de la présence du générateur et de l’échange d’énergie électrique ;
elle permet de trouver l’expression du coefficient k=−T(∂V/∂T)p,f.
3. La deuxième relation de Maxwell montre que, si une variation de pression, à température et tension
constantes, entraîne une variation de la charge du condensateur, une variation de tension à température et pres-
sion constantes doit nécessairement modifier le volume du système.
L’interprétation est la suivante : lorsqu’on augmente la pression du diélectrique à Tet fconstants, la di-
minution de volume qui en résulte provoque une augmentation de la polarisation volumique du système et par
conséquent une augmentation de εr. Comme la capacité augmente alors, la charge qaussi puisque la tension est
constante. On a donc : ∂q
∂pT,f
>0 ce qui donne ∂V
∂fT,p
<0
Il en résulte qu’une élévation isotherme et isobare de la tension faux bornes du condensateur ( d f>0 ) pro-
duit une diminution de volume ( d V<0 ) et par conséquent une contraction du diélectrique. Ce phénomène est
l’électrostriction. En tenant compte de la relation q=Cf=εrC0f,ilvient:
∂V
∂fT,p
=−∂q
∂pT,f
=−C0f∂εr
∂pT,f
La variation infinitésimale isobare et isotherme du volume, produite par une variation élémentaire fde la tension
est alors donnée par la différentielle :
(dV)T,p=−C0f∂εr
∂pT,f
df=−1
2C0
∂εr
∂pT,f
d(f2)

ii Solutions des exercices
Notons que d Vne dépend pas du signe de la tension fcar (∂εr/∂p)T,fest un coefficient positif. Ainsi, le
diélectrique se contracte toujours quand le condensateur se charge. Lorsque la tension varie de 0 à f0, cette
contraction vaut :
−DV=1
2C0f2
0
∂εr
∂pT,f
On en déduit la variation relative de volume en remplaçant C0par ε0S/eet Vpar Se ,Sétant la section
commune des armatures et ela distance qui les sépare :
DV
V=−ε0 2
f0
e
2∂εr
∂pT,f
Il est instructif aussi de calculer le rapport entre le travail mécanique −pDVreçu par l’intermédiaire du piston et
l’énergie électrostatique Cf2
0/2 emmagasinée par le condensateur :
−pDV
Cf2
0/2=p
εr
∂εr
∂pT,f
Pour du pétrole, on trouve :
DV
V≈−10−4et −pDV
Cf2
0/2≈10−4
4. Au cours de la charge réversible d’un condensateur à pet Tconstants, la chaleur élémentaire reçue est :
dQ=T(dS)T,p=T∂S
∂fT,p
df=T∂q
∂Tp,f
df=C0T∂εr
∂Tp,f
fdf
d’après la troisième relation de Maxwell et l’équation q=εrC0f. Lorsque le condensateur se charge de 0 à
q0=εrC0f0, la chaleur reçue s’obtient en intégrant :
Q=1
2C0T∂εr ∂Tp,f
f2
0
puisque εrne dépend pas de f. Cette quantité est perdue par le condensateur puisque une augmentation de la
température, à pression et tension constantes, entraîne une dilatation du fluide et donc une diminution de εr:
∂εr
∂Tp,f
<0
Comparons la chaleur −Qperdue par le condensateur à son énergie électrostatique Ee=Cf2
0/2 emmagasinée
aucoursdelacharge:
−Q
Ee
=−T
εr
∂εr
∂Tp,f
Pour du pétrole à T=300 K , on trouve : −Q/Ee=0,3 . La chaleur perdue au cours de la charge isotherme et
isobare réversible représente donc 30%de l’énergie électrique emmagasinée.
5. Au cours d’une charge élémentaire isentropique et isobare, la température varie de d Ttel que :
(dS)p=∂S
∂Tp,f
dT+∂S
∂fp,T
df=0d’oùdT=−(∂S/∂f)p,T
(∂S/∂T)p,f
df
En tenant compte des expressions :
Cp=T∂S
∂Tp,f
et ∂q
∂Tp,f
=∂S
∂fp,T
=C0f∂εr
∂Tp,f
la variation élémentaire de température s’écrit :
dT=−T
Cp
C0
∂εr
∂Tp,f
fdf>0 puisque ∂εr
∂T<0
Ainsi, une charge isentropique et isobare du condensateur se traduit par une élévation de la température du diélec-
trique.