ELEMENTS DE LOGIQUE 1. Introduction

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ELEMENTS DE LOGIQUE
1. Introduction
Ce cours est une approche sur
le problème général de la représentation des connaissances
et sur les théories qui ont été développées pour cela,
en particulier la logique
Problème fondamental : Comment représenter sous forme logique
- le contenu des phrases du langage naturel ?
- des raisonnements ?
Les informaticiens s'intéressent au problème
de la représentation et du traitement de l'information
On voudrait un ordinateur intelligent. Mais :
• l’ordinateur sait résoudre des problèmes qu'on peut décomposer en opérations
simples
• l’ordinateur ne sait pas résoudre d'autres problèmes bien plus difficiles:
comprendre, apprendre, reconnaître, communiquer, interpréter, juger, planifier,
décider, etc.
L'inférence est l'élément de base de toute description de la connaissance et du
raisonnement
Le langage prend un aspect mathématique lorsqu'on s'efforce :
• de donner aux mots un sens strictement défini comme s'il s'agissait de symboles
mathématiques
• de systématiser les différentes inférences qu'on peut en tirer
D’où le rôle de la logique, qui se place à un niveau supérieur aux mots :
la logique se place au niveau du raisonnement

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2. Codage et traitement des informations
Codage des informations
Ex : nombres, chaînes de caractères, graphiques, images, ...
On a souvent le problème du passage du continu au discret : on choisit un maillage
plus ou moins fin pour représenter les données
Par exemple, pour la représentation du temps :
"hier à 14h25", " hier après-midi", "l'an dernier", “au 2e siècle", ...
Traitement des données
• On sait rechercher une information dans un ensemble d'informations en
mémoire.
Ex : recherche séquentielle, dichotomique, interrogation de bases de données
• Requêtes exprimées dans des langages assez proches du langage naturel
Ex : dans une base de données géographique :
SELECT nom FROM capitales WHERE population > 1 000 000
Les opérations complexes peuvent être décomposées en opérations simples.
On autorise les recherches sur critères multiples, les mises à jour sélectives, etc.
Connaissance et information
On aimerait prendre un peu de hauteur,
et arriver à concevoir des systèmes informatiques intelligents,
qui sachent raisonner à la manière d'un humain.
-> développement de l'IA
-> on cherche
- non plus à coder de l'information et développer des algos pour la traiter,
- mais plus généralement à représenter des connaissances de façon à ce
qu'elles se comportent comme guide des raisonnements qui vont les utiliser.
Les codes sont passifs
Les connaissances ont un rôle actif

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Différentes natures de connaissances
La tradition philosophique distingue entre propriétés
• nécessaires
- “la somme des angles d'un triangle vaut 180°”
- "les chiens sont des animaux à quatre pattes"
• contingentes :
- “en 1999, Chirac était le Président de la République Française”
- “en 2000 Paris est la capitale de la France”
• Les théorèmes sont relatifs à un système d'axiomes.
Depuis longtemps et encore à l'heure actuelle, des travaux tentent d'organiser de
façon raisonnée l'ensemble de nos connaissances :
-> description de propriétés nécessaires (souvent des propriétés définitoires)
-> élaboration de taxinomies : ensemble de classes
organisé par inclusion et partitionnement de classes.
Exemple : mollusques
gastéropodes cephalopodes bivalves
escargots limaces ••• pieuvres nautiles ••• moules huitres •••
Quelques raffinements dans la catégorisation de connaissances :
- connaissances de définition : “un quadrilatère est un polygone à 4 côtés”
- connaissances évolutives : “Chirac est le Président de la République Française”
- connaissances incertaines : “Clovis est né vers 465 ap.J.C.”
- connaissances vagues : “les jeunes enfants sont turbulents”
- connaissances typiques : “en général, les mollusques ont une coquille”
- connaissances sous-déterminées : “les employés ayant 3 enfants ont droit à une
réduction”.
De façon générale, si le langage tolère autant d'ambiguïtés, c'est parce que
nous avons fréquemment besoin d'exprimer des connaissances sous-
déterminées.
En fait, la catégorie dépend du point de vue (échelle, précision) choisi.

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3. Notion de représentation
Une représentation est toujours une approximation.
Il n'existe pas de représentation qui soit uniformément "meilleure" qu'une
autre.
Ex : cartes routières : plus grande est l'échelle de la carte, mieux elle représente la
réalité, mais plus elle est difficile à manipuler.
Une représentation n'a pas de valeur indépendamment d'une classe d'utilisations, et
on ne peut pas séparer :
- l'étude des techniques de représentation,
- de l'étude des techniques inférentielles qui vont exploiter cette représentation.
Représentation et modèle
La connaissance que nous voulons représenter porte sur le monde que nous
observons.
-> nous construisons un modèle -approximatif- du monde.
Ces représentations sont “composites” :
Dans tous les langages artificiels, on utilise le principe de compositionalité:
si une structure X est égale à f(a1,... an), où les ai sont des objets,
l'interprétation de X, notée Int(X), est définie par Int(f) [ Int(a1)... Int(an) ]
Ex : L'expression x = (y + 3) / z , représentation mathématique d'une relation
•!• Tous les langages ne sont pas toujours compositionnels : le langage naturel
contient des expressions figées comme "pomme de terre", "tout-à-l'heure", etc.
Langage de représentation
Un langage est formé de séquences de symboles obéissant à des règles de formation
structurelle. Un langage formel L est défini par :
• un alphabet fini A de terminaux (symboles, « briques » du langage)
• un alphabet Aux de non-terminaux dont un élément S est l'axiome de L.
• des règles de réécriture.
L'ensemble des éléments du langage est l'ensemble des suites de symboles de A
obtenues, à partir de l'axiome S, en appliquant toutes les règles de réécriture
possibles.

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4. Représentation dans un modèle
L'adjectif “logique” : qualifie dans le langage courant, un comportement qui semble
guidé par des principes explicitables et communément admis (comportement « de
bon sens »).
Le substantif “logique” désigne :
- une discipline qui étudie ces principes et leurs conséquences ;
- différentes techniques (les logiques) qui mettent en oeuvre, concrètement, ces
principes.
La pluralité de ces techniques montre en fait que :
Aucun ensemble de principes n'est suffisamment riche pour couvrir de façon
complète les comportements qu'on aimerait qualifier de logiques.
L'élément essentiel qui réunit ces systèmes est leur utilisation d'une notion de
modèle.
Chacune de ces techniques (chaque logique) comporte 2 volets :
- La syntaxe : un langage défini au moyen de réécritures.
- La sémantique : des règles de valuation qui permettent de calculer, dans un
modèle, une valeur ("valeur de vérité") pour toute formule du langage.
La logique classique est le support des mathématiques.
Elle comporte 2 grandes parties :
• la logique propositionnelle
• la logique du premier ordre
C'est à partir de la logique classique que les autres logiques ont été construites.