Devoir à la maison no 4 2003 - 2004 Exercice 1 √ 2 et l’algorithme de Babylone √ Partie A Où l’on montre que√ 2 n’est pas rationnel... On se propose de démontrer que 2 est un nombre irrationnel en utilisant un raisonnement par l’absurde. √ Hypothèse formulée : 2 est un nombre rationnel. √ p 1. Soit p et q deux entiers naturels non nuls tels que soit l’écriture sous forme irréductible de 2. q Vérifier que p2 est pair. 2. Montrer que si p est impair alors p2 est impair. Que peut-on en déduire concernant p ? 3. On pose alors p = 2n (n ∈ N). Montrer que q est pair puis conclure. √ Partie B Où l’on cherche des valeurs approchées rationnelles de 2... 8 <u 0 = 2 Soit (un ) la suite définie sur N par : 1 2 :un+1 = (un + ) ∀n ∈ N 2 un √ √ (un − 2)2 1. Montrer que : ∀n ∈ N un+1 − 2 = 2un √ 2. En déduire que (un ) est minorée par 2. 3. Etudier les variations puis la convergence de (un ). 4. Une suite convergente de nombres rationnels a-t-elle toujours une limite rationnelle ? 2 5. Soit (yn ) la suite définie sur N par : ∀n ∈ N yn = un √ a) Montrer que (yn ) est majorée par 2 puis étudier ses variations. √ √ 2 + 1 6 u n + yn 6 2 + 2 b) Prouver que : ∀n ∈ N (un − yn )2 (un − yn )2 6 2(un + yn ) 4 Ą Ń2n −1 1 d) En déduire que : ∀n ∈ N 0 6 un − yn 6 4 e) Que peut-on dire des suites (un ) et (yn ) ? √ 6. En déduire une valeur approchée rationnelle de 2 à 10−9 près. √ 7. Comment qualifieriez-vous la convergence de (un ) vers 2 ? Justifier. c) Etablir que : ∀n ∈ N Exercice 2 0 6 un+1 − yn+1 = Soit f la fonction définie sur R − ę π 2 ľ + kπ (k ∈ Z) par f (x) = tan(x). Ť Ť 1. Montrer que f est impaire et π - périodique. Dans la suite, on étudie f sur I = 0; π2 . 1 = 1 + (f (x))2 cos2 (x) 3. Etudier les variations de f sur I puis dresser son tableau de variations complet sur cet intervalle. tan(x) − 1 4. A l’aide des questions précédentes, déterminer : limπ x→ 4 x − π4 2. Justifier la dérivabilité de f sur I puis établir que : ∀x ∈ I f 0 (x) = TS1