Optimisation combinatoire : théorie et algorithmes

Bernhard Korte
Jens
Vygen
Optimisation
combinatoire
Théorie
et
algorithmes
Traduit
de
l'anglais
par
Jean
Fonlupt
et
Alexandre Skoda
TECHN1SCHE
INFORMATIONSBIBLIOTHEK
UNIVERSITÂTSBIBLIOTHEK
HANKOVER/
^
Springer

Sommaire
Préface
vii
Avant-propos
à
la
quatrième
édition
originale
ix
Sommaire
xi
1
Introduction 1
1.1
Énumération
2
1.2
Temps
d'exécution des
algorithmes
5
1.3 Problèmes
d'optimisation
linéaire
8
1.4 Tri 9
Exercices
H
Références
12
2
Graphes
13
2.1
Définitions
fondamentales 13
2.2
Arbres, cycles,
coupes
17
2.3 Connexité 25
2.4
Graphes
eulériens
et
bipartis
32
2.5 Planarité
34
2.6 Dualité
planaire
42
Exercices
45
Références
49
3
Programmation
linéaire 51
3.1
Polyèdres
53
3.2
Algorithme
du
simplexe
56
3.3
Implémentation
de
l'algorithme
du
simplexe
59
3.4 Dualité
63
3.5
Enveloppes
convexes
et
polytopes
67
Exercices
68
Références
71

xii
Optimisation
combinatoire
-
Théorie
et
algorithmes
4
Algorithmes
de
programmation
linéaire
73
4.1 Taille des
sommets et
des faces
74
4.2 Fractions continues
76
4.3 Méthode d'élimination de Gauss
79
4.4
Méthode des
ellipsoïdes
83
4.5 Théorème de
Khachiyan
88
4.6
Séparation
et
optimisation
90
Exercices
97
Références
99
5
Programmation
en
nombres entiers 101
5.1
Enveloppe
entière d'un
polyèdre
103
5.2 Transformations unimodulaires
107
5.3
Totale
duale-intégralité
109
5.4 Matrices
totalement unimodulaires 112
5.5
Plans
coupants
117
5.6
Relaxation
lagrangienne
122
Exercices
124
Références
128
6 Arbres
couvrants et
arborescences
131
6.1 Arbre
couvrant
de
poids
minimum
132
6.2
Arborescence
de
poids
minimum
138
6.3
Descriptions polyédrales
142
6.4
Empilements
d'arbres
et
d'arborescences
145
Exercices
148
Références
152
7
Plus courts chemins
155
7.1 Plus
courts
chemins à
partir
d'une
source
156
7.2 Plus
courts
chemins
entre
toutes
les
paires
de
sommets
161
7.3 Circuit
moyen
minimum
163
Exercices
165
Références
167
8
Flots dans
les
réseaux
171
8.1
Théorème
flot-max/coupe-min
172
8.2
Théorème
de
Menger
176
8.3
Algorithme
d'Edmonds-Karp
178
8.4
Flots
bloquants
et
algorithme
de
Fujishige
180
8.5
Algorithme
de
Goldberg-Tarjan
182
8.6
Arbres de
Gomory-Hu
187
8.7
Capacité
d'une coupe dans
un
graphe
non
orienté
193
Exercices
195
Références
201

Sommaire
xiii
9
Flots de coût minimum
205
9.1 Formulation
du
problème
205
9.2 Un critère
d'optimalité
207
9.3
Algorithme
par élimination du
circuit
moyen
minimum
210
9.4
Algorithme
par
plus
courts
chemins
successifs
213
9.5
Algorithme
d'Orlin
217
9.6
Algorithme
network
simplex
221
9.7 Flots
dynamiques
225
Exercices 227
Références 231
10
Couplage
maximum 235
10.1
Couplage
dans les
graphes bipartis
236
10.2 Matrice de Tutte
238
10.3 Théorème de Tutte
240
10.4
Décompositions
en
oreilles des
graphes facteur-critiques
243
10.5
Algorithme
du
couplage
d'Edmonds
249
Exercices
259
Références
262
11
Couplage
avec
poids
267
11.1 Problème d'affectation
268
11.2
Aperçu
de
l'algorithme
du
couplage
avec
poids
269
11.3
Implémentation
de
l'algorithme
du
couplage
avec
poids
272
11.4
Postoptimalité
286
11.5
Polytope
du
couplage
287
Exercices
291
Références
293
12
5-couplages
et
T-joints
295
12.1
6-couplages
295
12.2
T-joints
de
poids
minimum 299
12.3
T-joints
et
T-coupes
303
12.4 Théorème de
Padberg-Rao
306
Exercices 310
Références 313
13 Matroïdes 315
13.1
Systèmes d'indépendance
et
matroïdes 315
13.2 Autres axiomes 320
13.3 Dualité 324
13.4
Algorithme glouton
329
13.5 Intersection de matroïdes 334
13.6 Partition de matroïdes 339
13.7 Intersection de matroïdes
avec
poids
341
Exercices 345
Références 348

xiv
Optimisation
combinatoire
-
Théorie
et
algorithmes
14
Généralisations des matroïdes
351
14.1 Greedoïdes
351
14.2
Polymatroïdes
355
14.3 Minimisation
de
fonctions sous-modulaires
360
14.4
Algorithme
de
Schrijver
362
14.5 Fonctions sous-modulaires
symétriques
366
Exercices
368
Références
371
15
NP-complétude
375
15.1
Machines
deTuring
376
15.2 Thèse de Church 378
15.3 P&tNP 383
15.4 Théorème de Cook 388
15.5
Quelques problèmes iVP-complets
de base 392
15.6 Classe coNP 400
15.7 Problèmes iVF-difficiles
402
Exercices
406
Références
410
16
Algorithmes
d'approximation
413
16.1
Couverture
par
des ensembles 414
16.2 Problème
de la
coupe-max 420
16.3
Coloration
426
16.4 Schémas
d'approximation
434
16.5 Satisfaisabilité maximum 437
16.6 Théorème PCP 442
16.7 L-réductions 447
Exercices 453
Références 457
17 Le
problème
du
sac
à
dos 463
17.1 Sac à dos fractionnaire
et
problème
du médian
pondéré
463
17.2
Un
algorithme pseudo-polynomial
466
17.3 Un schéma
d'approximation
entièrement
polynomial
468
Exercices
471
Références
472
18 Le
problème
du
bin-packing
475
18.1
Heuristiques gloutonnes
476
18.2 Un schéma
d'approximation
asymptotique
481
18.3
Algorithme
de
Karmarkar-Karp
486
Exercices
489
Références
491