1er TD supra

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London et longueur de pénétration
L’objectif de ce TD est de travailler sur le modèle de London. Ce modèle permet de décrire
les propriétés électrodynamiques d’un supraconducteur, mais n’en explique pas l’origine.
Modèle de London - généralités
Dans un supraconducteur, la relation Ej
r
r
σ = n’a plus de sens. London introduit deux
nouvelles relations :
Aj
L
r
r
2
0
1
λµ
−= , et
t
j
E
L
∂
∂
=
r
r
2
0
λµ , avec
2**
0
*
qn
m
L
µ
λ
=,
où
*
n est la densité volumique de paires de Cooper dans le supraconducteur,
*
m leur masse,
*
q leur charge électrique, et
A
r
le potentiel vecteur du champ magnétique.
On fait de plus les approximation suivantes :
- on néglige les propriétés magnétiques et diélectriques de la matière ( 0
r
v
=P , 0
r
r
=M ) ;
- on considère 0=
libre
ρ
- on admet la relation suivante :
t
E
jlibre ∂
∂
>>
r
r
0
ε
.
1) Discutez les hypothèses proposées.
2) À partir de l’équation de conservation de la charge, démontrez que 0div =A
r
(Jauge de
London).
3) Écrivez les relations de Maxwell valables dans un supraconducteurs, et retrouvez les
relations différentielles qui lient
B
r
∆
et
B
r
, j
r
∆ et j
r
,
E
r
∆
et
E
r
.
Rappel : pour n’importe quel champ vectoriel C
r
, on a la relation suivante
CCC
r
r
r
∆−= divgradrotrot .
4) Quelle est la dimension de
L
λ ?

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Modèle de London - géométrie semi-infinie
On se replace dans la géométrie suivante : le supraconducteur est un plan semi-infini,
perpendiculaire à la direction (O x ). Un champ magnétique est appliqué parallèlement au plan,
selon (O z ).
B
x
zVide Supraconducteur
1) Déterminez le champ magnétique et la densité de courant superfluide dans la
géométrie semi-infinie. Commentez le sens de
*
j
r
.
2) Que vaut le champ électrique dans le supraconducteur ? Que se passe-t-il si on
considère un champ magnétique variant en
t
ω
cos
?
3) On se replace dans un champ magnétique constant. En intégrant
*
j
r
sur l’épaisseur du
supraconducteur, donnez la valeur du courant de surface
libres
j
,
r
. Comparez avec les relations
de passages.
Modèle de London - autres géométries
1) On considère les géométries suivantes. Sans faire de calculs, représentez les
supercourants à la surface de l’objet, ainsi que l’allure des lignes de champs.

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On se place désormais dans la géométrie suivante :
B
x
zVide
Supraconducteur
B
Vide
-l l0
2) Même question qu’au 1), en discutant les cas l
L
< λ et l
L
> λ .
3) Commentez l’affirmation suivante « Le supraconducteur est un matériau
diamagnétique parfait ».
4) Vérifiez que le champ magnétique suivant est bien la solution exacte du problème à
l’intérieur du supraconducteur :
z
L
L
u
l
x
BB r
r
=
λ
λ
cosh
cosh
0
.
5) Calculez la valeur de
B
r
au centre de la plaque en donnant les valeurs limites pour
l
L
< λ et pour l
L
> λ .
Indication : Dans l’hypothèse où l
L
> λ , donnez une expression approchée de
B
r
en utilisant
le développement limité
)(
2
1cosh
2
2
x
x
xo ++= .
6) Comment définiriez-vous l’aimantation effective
eff
M
r
de la plaque supraconductrice ?

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Rappel : les équations de Maxwell
ATTENTION : ces définitions ne sont valables que dans le système international d’unités
(MKSA). D’autres définitions de ces quantités existent, et sont encore très souvent utilisées.
Hypothèses : on se place dans un milieu magnétique où les propriétés diélectriques sont
négligeables (pas de dipôles électriques, 0=P
r
).
dipôles magnétiques : définitions :
V
m
M
δ
δ
r
r
= ; )(
0
MHB
r
r
r
+= µ .
équations de Maxwell relations de passage
0
libre
div
ε
ρ
=E
r
12
0
libre
12
nEE
NN
r
rr
ε
Σ
=−
t
B
E∂
∂
−=
r
r
rot 0
12
r
r
r
=−
TT
EE
0div =B
r
0
12
=−
NN
BB
r
r
t
E
jH ∂
∂
+=
r
r
r
0libre
rot ε
12libre,12
njHH
sTT
r
r
r
r
∧=−
Vous devez connaître les définitions et les unités de
E
r
,
B
r
,
libre
ρ ,
libre
j
r
,
libre
Σ,
12
n
r
,
libres
j
,
r
.

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Essayez de répondre aux questions suivantes :
− Quel est le résultat principal de cet article ?
− Quel est le principe de l’expérience ?
− Comment varie la densité superfluide en fonction de la température dans un
supraconducteur ?
− A quoi servent les mesures sur PbSn ?
− Quelle est la différence entre les mesures sur PbSn et YBCO ?
− a, b, et c sont les axes cristallographiques de l’échantillons. Que peuvent être
a
λ et
c
λ
sachant que YBCO est un matériau anisotrope ?
− Quelle est l’énergie associée à la supraconductivité dans PbSn ? Quelle est la
fréquence associée ? Comparez avec la fréquence de travail du résonateur.