PROBABILITÉ CONDITIONNELLE RÉGULIÈRE (B1, B4, D1) (i) Soit

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PROBABILITÉ CONDITIONNELLE RÉGULIÈRE (B1, B4, D1)
(i) Soit (W , T, P) un espace probabilisé et R et S deux sous-tribus de T.
On appelle probabilité conditionnelle régulière, ou version régulière d'une probabilité, sur R sachant (ou pr à, ou étant donné, ou si) S toute fonction PS : W x R a R vérifiant les trois
propriétés suivantes :
(a) pour tout w Î W , l'application R a PS (w, R) est une mesure de probabilité sur R ;
(b) pour tout R Î R, l'application w a PS (w, R) est S-mesurable ;
(c) pour tout (R, S) Î R x S on a :
(1)
òS PS (w, R) dP (w) = P (R Ç S).
(ii) Une probabilité conditionnelle régulière est donc une probabilité de transition.
(iii) On appelle probabilité conditionnelle régulière (au sens de J.L. DOOB) une fonction PS qui vérifie les propriétés {(a),(c)} ainsi que la suivante :
(d) si P / S désigne la restriction de P à S, l'application w a PS (w, R) est P / S-presque surement S-mesurable, " R Î R.
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