Nombres complexes 2

Test 3 : Nombres complexes Corrig´e PM18
1. R´esoudre dans Cl’´equation z6=−4√2+4i√2.
2. R´esoudre dans Cl’´equation z2+ (6 −3i)z+ 12 −4i= 0.
1. On met Z=−4√2+4i√2 sous forme exponentielle :
|Z|=√16 ×2 + 16 ×2 = √64 = 8. On cherche alors un argument θ∈Rtel que :
cos θ=−4√2
8=−√2 2et sin θ=√2 2. On prend alors θ=3π 4.
Ainsi Z= 8ei3π
4, et on cherche r, α ∈Rtels que reiα6= 8ei3π 4. Ce qui donne le syst`eme
r6= 8
6α=3π
4+k2πsoit encore r=6
√8 = 6
√23=√2
α=π
8+kπ 3
.
Ce qui donne 6 solutions, S=√2eiπ
8;√2ei11π 24 ;√2ei19π 24 ;√2ei9π 8;√2ei35π 24 ;√2ei43π 24 .
2. On calcule le discriminant
∆ = (6 −3i)2−4×(12 −4i)
= 36 −9−36i−48 + 16i
=−21 −20i
On cherche alors a, b ∈Rtels que (a+ib)2= ∆, ce qui donne le syst`eme
a2−b2=−21
2ab =−20
a2+b2= 29
On obtient alors 2a2= 8, d’o`u a= 2, et b=−5. Les solutions sont donc :
z1=−(6 −3i)−(2 −5i)
2
=−8+8i
2
=−4+4i
et
z2=−(6 −3i) + (2 −5i)
2
=−4−2i
2
=−2−i.
UTBM 8 octobre 2008