Nombres complexes 2

Test 3 : Nombres complexes
Corrigé
PM18
√
√
1. Résoudre dans C l’équation z 6 = −4 2 + 4i 2.
2. Résoudre dans C l’équation z 2 + (6 − 3i)z + 12 − 4i = 0.
√
√
1. On met
√ Z = −4 2 + 4i 2√sous forme exponentielle :
× 2 = 64 = 8.
|Z| = 16 ×
√ 2 + 16√
√ On cherche alors un argument θ ∈ R tel que :
4 2
2
2
3π
cos θ = −
=−
et sin θ =
. On prend alors θ =
.
8 3π
2
2
4 3π
6
Ainsi Z = 8ei 4 , et on cherche r, α ∈ R tels que reiα = 8ei 4 . Ce qui donne le système
√
6
√
√
6
r = 8
r = 6 8 = 23 = 2
.
soit encore
6α = 3π
α = π8 + k π3
4 + k2π
√ i π √ i 11π √ i 19π √ i 9π √ i 35π √ i 43π Ce qui donne 6 solutions, S =
2e 8 ; 2e 24 ; 2e 24 ; 2e 8 ; 2e 24 ; 2e 24 .
2. On calcule le discriminant
∆ = (6 − 3i)2 − 4 × (12 − 4i)
= 36 − 9 − 36i − 48 + 16i
= −21 − 20i
On
alors a, b ∈ R tels que (a + ib)2 = ∆, ce qui donne le système
 cherche
2
2
 a − b = −21
2ab = −20
 2
a + b2 =
29
On obtient alors 2a2 = 8, d’où a = 2, et b = −5. Les solutions sont donc :
−(6 − 3i) + (2 − 5i)
−(6 − 3i) − (2 − 5i)
z2 =
z1 =
2
2
−8 + 8i
−4 − 2i
et
=
=
2
2
= −4 + 4i
= −2 − i.
UTBM
8 octobre 2008