newton trajectoire -limites

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l0enseignement supérieur et de la recherche scienti…que
Université Hadj Lakhdar-Batna-
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Thèse
Présentée en vue de l’obtention du Diplôme de
DOCTORAT EN SCIENCES
Option : Mathématiques appliquées
Par
El Amir DJEFFAL
Thème
ETUDE DE QUELQUES ALGORITHMES DE POINTS INTERIEURS POUR
LA PROGRAMMATION CONVEXE
Soutenue le : 10 septembre 2013
Devant le jury d’examen :
Président : Rachid Benacer Pr. Université Hadj Lakhdar. Batna
Rapporteur : Lakhdar Dje¤al M.C.A. Université Hadj Lakhdar. Batna
Examinateurs : Abdelhamid Ayadi Pr. Université Larbi ben M’hidi. O.E.B
Khaled Melkemi Pr. Université Mohamed Kheidar. Biskra
Nacer Adjeroud M.C.A. Université Abbas Laghror. Khenchela
Nacer Khelil M.C.A. Université Mohamed Kheidar. Biskra

A Thesis
Presented to
The Academic Faculty
by
In Partial Ful…llment
of the Requirements for the Degree
Georgia Institute of Technology
October 2013

Approved by:
Date Approved

Table des matières
LIST OF TABLES ............................... vi
LIST OF FIGURES .............................. vii
Introduction ................................... 1
I PRÉLIMINAIRES ET NOTIONS FONDAMENTALES ..... 5
1.1 Eléments d’analyse convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Notions de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Convexité et Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Programmation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Classi…cation des problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Quali…cation des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Résolution d’un programme mathématique . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Existence & Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Conditions d’optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Méthode de Newton pour résoudre un système non linéaire . 12
1.3.4 Les méthodes de directions admissibles . . . . . . . . . . . . 14
1.3.5 Méthodes de résolution d’un programme mathématique . . . 14
II MÉTHODES DE POINTS INTÉRIEURS DE TYPE NEWTO-
NIENNE POUR RÉSOUDRE UN PROGRAMME QUADRATIQUE
CONVEXE (CQP )............................. 17
2.1 Méthode de la trajectoire centrale non réalisable pour la (CQP ) . . 18
2.1.1 Présentation et principe de la méthode . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Algorithme ( Méthode de la trajectoire centrale non réalisable) 21
2.1.3 Convergence de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Tests Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Méthode de la trajectoire centrale réalisable pour (CQP )...... 26
2.2.1 Déscription et principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Algorithme ( Méthode de la trajectoire centrale réalisable ) . . . 29
iii

2.3 Méthode de la trajectoire centrale réalisable améliorée pour (CQP ). 30
2.3.1 Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Algorithme ( Méthode de la trajectoire centrale réalisable amélio-
rée ) ............................... 31
2.3.3 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.4 Tests Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III ALGORITHMES DE RÉSOLUTION D’UN PROBLÈME DE COM-
PLÉMENTARITÉ LINÉAIRE (LCP )................. 49
3.1 Méthode de Karmarkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Extension de la méthode de karmarkar . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 Introduction ........................... 53
3.2.2 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.3 Préparation de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.4 Algorithme (Extension d’une méthode projective pour résoudre
(LCP )).............................. 57
3.2.5 Convergence de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.6 Tests Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Algorithme à petit pas pour (LCP ).................. 62
3.3.1 Introduction ........................... 62
3.3.2 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.3 Direction de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.4 Algorithme ( Méthode de la trajectoire centrale à petit pas pour
résoudre LCP ).......................... 66
3.3.5 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.6 Tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
IV ALGORITHME DE POINTS INTÉRIEURS POUR UN PROBLÈME
D’OPTIMISATION SEMI DÉFINI (SDO)BASÉ SUR UNE NOU-
VELLE FONCTION NOYAU ...................... 79
iv