Chapter 1 Primitives et Intégrales 1 Part I Primitives 2 Part II Intégration 3 1.1 Notion d’intégrale d’une fonction ! ! ! ! ! ! Le plan étant muni d’un repère orthogonal O; i ; j , on dé…nit les points I, J et K par OI = i ; OJ = j , = et OIKJ est un rectangle. L’aire du rectangle OIKJ dé…nit alors l’unité d’aire (u.a.). 1.1.1 Aire et intégrale d’une fonction positive 1.1.1.1 Dé…nition Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] et C sa courbe représentative dans le repère Z b ! ! O; i ; j : L’intégrale de a à b de f est le réel noté f (x)dx , égal à l’aire, exprimée en unités d’aire, du a domaine D délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b. Remarque a et b sont les bornes de l’intégrale et x est une variable muette : elle n’intervient pas dans le Z b Z b Z b f (u)du: f (t)dt = résultat. On peut la remplacer par les lettres t ou u, ainsi : f (x)dx = a a a Z 0 Z 3 Exemples : a) 3dx = 6: b) xdx = 2 (3+1) = 4: 2 2 1 1.1.2 Valeur moyenne 1.1.2.1 Dé…nition Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] avec a < b. La valeur moyenne de f sur [a; b] Z b 1 est le réel = b a f (x)dx: a Z b Z b 1 Remarque : = b a f (x)dx () (b a) = f (x)dx: a a Donc la valeur moyenne de f sur [a; b] est donc le réel tel que le rectangle de dimensions et b a soit de même aire que le domaine D délimité par la courbe représentant f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b: 4 1.2 Intégrale et primitive 1.2.1 Intégrale d’une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle [a; b] 1.2.1.1 Théorème Soit f une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle I = [a; b] . On note C, sa courbe représentative dans le plan muni d’un repèreZ orthogonal. x On dé…nit sur [a; b] la fonction A : x 7 ! f (t)dt et on …xe xo dans [a; b] . a Cette fonction A est dérivable sur I et sa dérivée est f: Preuve On …xe xo dans [a; b]: L’aire de la surface coloriée est A (xo ) : (…gure 4). On a hf (xo ) A(xo + h) A(xo ) hf (xo + h), puisque f est croissante sur I: Selon que h > 0 ou h < 0 , on a : f (xo ) A(xo +h)h A(xo ) f (xo + h) ou f (xo + h) A(xo +h)h A(xo ) f (xo ): Comme f est continue sur I, donc lim f (xo + h) = f (xo ) , et d’après le théorème des gendarmes, il en résulte h!0 A(xo +h) A(xo ) h h!0 lim = f (xo ): Donc A est dérivable en a et A0 (xo ) = f (xo ); pour tout xo 2 I. 1.2.2 Primitive d’une fonction continue 1.2.2.1 Théorème admis Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b]: Alors la fonction dé…nie sur [a ; b] par (x) = Z est l’unique primitive de f sur [a; b] qui s’annule en a: Remarques La fonction , dé…nie dans le théorème, est donc dérivable sur [a; b] , de dérivée f: Ce résultat montre que toute fonction continue sur [a; b] admet une, donc des primitives sur [a; b]: Plus généralement, toute fonction continue sur un intervalle I quelconque admet des primitives. Z b f (t)dt = F (b) F (a): Soit F une primitive quelconque de f sur [a; b], alors x f (t)dt a a En e¤et, il existe une constante k telle que pour tout x de [a; b], F (x) = (x) + k. Alors : Z b f (t)dt puisque (a) = 0. F (b) F (a) = (b) + k (a) k = (b) (a) = (b) = a 1.2.3 Généralisation de l’intégrale à l’aide d’une primitive 1.2.3.1 Propriété et dé…nition Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive quelconque de f sur I. Pour tous réels a et b de I, la di¤érence F (b) F (a) ne dépend pas de la primitive de f choisie. Z b On dé…nit alors l’intégrale de a à b de f par f (t)dt = F (b) F (a): a Z b On écrit aussi : f (t)dt = [F (x)]ba = F (b) F (a) : a Exemple Z 1 h 2 (x x3 ) dx = x2 2 x4 4 i1 = 2 12 2 1.3 1.3.1 1ère propriété ( 2)2 2 14 4 ( 2)4 4 : = ::: = 49 : Propriétés de l’intégrale Z a f (t)dt = 0 a 5 1.3.2 Relation de Chasles Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c de I, on a : Z b f (t)dt + a : Preuve Z Z b Z c f (t)dt = b Z c f (t)dt a c f (t)dt + f (t)dt = F (b) F (a) + F (c) a b Z a Z b f (t)dt = f (t)dt: Conséquence : a F (b) = F (c) F (a) = Z c f (t)dt: a b 1.3.3 Linéarité Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel. Pour tous réels a et b de I, on a : Z b Z b Z b Z b Z b (f + g) (t)dt = f (t)dt + g(t)dt et (kf ) (t)dt = k f (t)dt a a a a a Preuve : Si F et G sont des primitives de f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g, et kF une primitive de kf sur I: etc:::: 1.3.4 Intégrales et inégalités Soit f une fonction dé…nie et continue sur unZintervalle I de R, et a, b deux réels appartenant à I. b i) Si a b et f 0 sur l’intervalle I, alors f (t)dt 0: Za b ii) Si a b et f 0 sur l’intervalle I, alors f (t)dt 0: a Z b f (t)dt 0: iii) Si a b et f 0 sur l’intervalle I, alors a Z b iv) Si a b et f 0 sur l’intervalle I, alors f (t)dt 0: a 1.3.5 Conservation de l’ordre Soit f et g deux fonctions continues sur [a; b]. Si f Z b Z b f (x) g(x) , alors f (x)dx g(x)dx: a g sur [a; b], c’est-à-dire si, pour tout réel x de [a; b], a Preuve : Si f g sur [a; b] , alors, pour tout réel x de [a; b] , g(x) continue sur [a; b]: Z b D’après la propriété de positivité, on obtient (g(x) f (x)) dx a Z b Z b Z b f (x)dx 0: Donc g(x)dx f (x)dx: a a f (x) 0 . D’autre part, g 0: Puis par linéarité : Z f est b g(x)dx a a 1.3.6 Inégalités de la moyenne Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de I. i) Si a b et s’il existe deux réels m et M tels que m f (x) M , pour tout réel x de [a; b] , alors Z b m(b a) f (x)dx M (b a): a Z b ii) S’il existe un réel M positif tel que jf j M sur I, alors f (x)dx M jb aj: a Preuve : i) Pour tout réel x de [a; b] , on a : m Z b Z b Z b mdx f (x)dx M dx; c’est à dire m(b a a a ii) Il su¢ t de prendre m = M , dans i). f (x) a) Z M , donc, par conservation de l’ordre, on obtient : b f (x)dx M (b a): a 6 1.4 Intégrale d’une fonction continue et négative sur [ a , b ] f est une fonction continue et négative sur [a; b] . C est sa courbe représentative dans un repère orthogonal. D est le domaine compris entre C , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b . Dans ce cas, Z on convient que l’intégrale de a à b de f est l’opposée de l’aire de D: b On note : f (x)dx = aire de D: Z b On dit parfois que f (x)dx est l’aire algébrique du domaine compris entre C , l’axe des abscisses et les a a droites d’équations x = a et x = b pour indiquer qu’elle est positive si f est positive sur [a; b], négative si f est négative sur [a; b]. 1.5 Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque sur [a ; b] Pour une fonction continue et de signe quelconque sur [a; b] , on convient que l’intégrale de a à b de f est la somme des aires algébriques des domaines dé…nis à partir des intervalles sur lesquels f (x) garde un signe constant. Exemple : f est la fonction dé…nie sur [a; b] par la courbe ci-contre. Z b f (x)dx = aire de (D1 ) aire de (D2 ) + aire de (D3 ) aire de (D4 ): a 1.6 Aire d’un domaine compris entre deux courbes Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que a b. Lorsque f g sur [a; b] , l’aire en u.a. du domaine limité par les courbes Cf et Cg sur [a; b] (en bleuté sur Z b (g(x) f (x)) dx: la …gure) est calculée par : aire de (D) = a Le domaine D peut être décrit, si besoin est, comme l’ensemble des points M (x; y) tels que : a f (x) y g(x): 1.7 x b et Intégration par parties 1.7.1 Propriété Soit u et v deux fonctions dérivables sur l’intervalle I telles que u0 et v 0 soient continues sur I. Pour tous réels a et b de I, on a : Z b 0 u (x)v(x)dx = a Z a b [u(x)v(x)]ba u(x)v 0 (x)dx = [u(x)v(x)]ba Z 1 u(x)v 0 (x)dx a Z b u0 (x)v(x)dx a Exemples Z 1 Z 1 x x 1 xe dx = [xe ]0 ex dx = (e 0) [ex ]10 = e (e 1) = 1: 0Z Z0 e Z e e e 1 ln xdx = [x ln x]1 x x dx = (e ln e 1 ln 1) dx = e 1 b 1 0 (e 1) = 1: 1 7 8 9