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Statistiques à deux variables
2.1 Approche des séries statistiques à deux variables
2.1.1 Nuage de points
Sur une classe de BTSA, le professeur a relevé les moyennes de 10 élèves en mathématiques et en
agronomie. Les notes sont consignées dans le tableau donné ci-dessous.
Élèves Moyenne en Moyenne en
mathématiques : xiagronomie : yi
Anselme 12 11
Cédric 8 10
David 11 10
Kelvin 9 14
Lætitia 15 13
Mohamed 10 12
Pietro 7 8
Richie 13 11
Stéphanie 10,5 15
Tatiana 6 9
Le professeur décide de faire une représentation graphique pour mieux visualiser les moyennes en rem-
plaçant chaque élève par le point Mide coordonnées (xi;yi),xiétant la moyenne en mathématiques et yi
la moyenne en agronomie.
L’ensemble des points ainsi obtenu est appelé nuage de points.
1. Faire la représentation graphique du nuage de points.
2. Calculer la moyenne xdes notes de mathématiques et la moyenne ydes notes en agronomie.
3. Placer sur le graphique précédent le point G de coordonnées (x;y).
2.1.2 Nuages de points et lien entre les variables
Les graphiques ci-contre représentent des nuages de points de séries statistiques à deux variables.
Pour chacune des séries à deux variables représentées par les nuages de points, on cherche à étudier
s’il existe un lien entre les deux variables, c’est-à-dire si on peut exprimer yen fonction de xà l’aide d’une
fonction mathématique connue. Lorsqu’il est possible de trouver une telle fonction, on dit qu’on effectue un
ajustement du nuage.
1. Pour chacun des graphiques, construire, lorsque cela est possible, une courbe qui passe le plus près
possible des points.
2. Quels sont les graphiques où la courbe la plus adaptée semble être une droite ?

BTSA 13 Cours
0
1
2
3
4
5
0 10 20 30 40 50 60 70
FIGURE 2.1 – Nuage 1
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
FIGURE 2.2 – Nuage 2
0
2
-2
-4
-6
-8
-10
1.5 3.0 4.5 6.0
FIGURE 2.3 – Nuage 3
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14
FIGURE 2.4 – Nuage 4
0
1
2
3
4
0123456789
FIGURE 2.5 – Nuage 5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
FIGURE 2.6 – Nuage 6
Dans le cas où la courbe qui approche le mieux les points est une droite, on dit qu’on effectue un ajuste-
ment affine du nuage.
2.1.3 Droites d’ajustement (où l’on compare plusieurs droites qui approchent un
nuage)
On considère la série statistique à deux variables xet ysuivante : xi4 5 7 11 13
yi4 7 8 7 9
On note Mile point de coordonnées (xi;yi).
1. Placer les points M1, M2, M3, M4et M5dans le repère ci-dessous.

Cours 14 BTSA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2. (a) Calculer les moyennes xet y.
(b) Placer sur le graphique le point G(x;y).
3. On considère les droites D1,D2et D3d’équations respectives : y=1
2x+3, y=0,35x+4, 2 et
y=0,45x+4.
(a) Tracer les trois droites sur la figure précédente.
(b) Peut-on dire que ces trois droites approchent le nuage ?
(c) Le point G est-il un point de chacune des trois droites ?
On cherche une méthode permettant de savoir quelle droite approche le mieux le nuage, c’est-à-dire celle
qui passe le plus près des points.
Considérons pour commencer la droite D1d’équation y=1
2x+3.
On appelle Pile point de la droite D1d’abscisse xi, c’est-à-dire de même abscisse que le point Mi; par
exemple P1est le point de D1d’abscisse 4. On peut alors en déduire que P1a pour coordonnées (4 ; 5)(en
effet : 4
2+3=5).
1. Construire les points Pisur le graphique suivant.
M1
M2
M3
M4
M5
D1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2. On cherche à « mesurer » le fait que la droite D1passe plus ou moins près des points Mi. Pour cela on
calcule le résidu PiMi=yMi−yPi=yi−1
2xi+3. Le calculer pour i=1, puis pour i=2, 3, . . . 5.
3. On veut calculer ensuite la somme S1=P1M1
2+P2M2 2+P3M3 2+P4M4 2+P5M5 2. Cette somme s’appelle
somme des carrés des résidus.

BTSA 15 Cours
On cherche à rendre cette somme la plus petite possible.
Comparons avec les deux autres droites D2et D3et regardons laquelle des trois rend la somme des carrés
des résidus la plus petite.
1. On considère maintenant la droite D2d’équation y=0,35x+4, 2 et on appelle Qiles points de D2
d’abscisses xi. Calculer la somme S2=Q1M1
2+Q2M2 2+Q3M3 2+Q4M4 2+Q5M5 2.
M1
M2
M3
M4
M5
D2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2. On considère maintenant la droite D3d’équation y=0, 45x+4 et on appelle Riles points de D3
d’abscisses xi. Calculer la somme S3=R1M1
2+R2M2 2+R3M3 2+R4M4 2+R5M5 2.
M1
M2
M3
M4
M5
D3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Comparer les sommes S1, S2et S3. Quelle est la plus petite ?
Quelle est, pour vous, la droite qui approche le mieux les points du nuage ?
2.2 Série statistique à deux variables
On considère une population et on se propose d’étudier conjointement deux caractères ou variables X et
Y. Pour cela, on associe à chaque individu de la population un couple (xi;yi)correspondant aux valeurs
respectives des variables X et Y prises par l’individu.

Cours 16 BTSA
On étudiera uniquement des variables X et Y quantitatives.
Définition
On appelle série statistique double (X ; Y)l’ensemble des couples (xi;yi)associés à chaque individu de
la population.
Exemple : On peut relever à des dates différentes sur un bébé son âge et son poids.
2.2.1 Présentation des données
Les résultats sont présentés généralement sous forme de tableaux.
Exemple : Un chef d’entreprise a fait un relevé sur cinq années de l’évolution du pourcentage d’emplois
à temps partiel dans son entreprise :
Année 2001 2002 2003 2004 2005
Rang xi1 2 3 4 5
Pourcentages d’emplois partiels yi6,5 12,5 16,9 20,6 23,5
Une série est dite chronologique lorsque la variable X est fonction du temps. On remplace souvent la
valeur de l’année par son rang.
2.2.2 Nuage de points
Le plan Pest muni d’un repère orthogonal O;~ı,~ . À chaque couple (xi;yi), on associe le point
Mi(xi;yi).
Définition
L’ensemble des points Mi(xi;yi)est appelé nuage de points associé à la série statistique double.
Définition
Le point moyen d’un nuage est le point G de coordonnées (x;y).
Exemple : voir approche 2.1.1
En général, on fait figurer le point moyen sur le graphique représentant le nuage de points.
2.3 Ajustement affine
On cherche s’il existe un lien entre les deux variables, c’est-à-dire s’il est possible d’écrire yen fonction
de x.
Définition
Effectuer un ajustement d’un nuage de points consiste à trouver une fonction dont la courbe représentative
« approche » le nuage, c’est-à-dire dont la courbe passe au plus près des points du nuage.
Quand le nuage présente une forme rectiligne, la courbe cherchée est une droite. Dans ce cas la fonction
est une fonction affine du type x7→ ax +b.
Exemple : voir approche 3.1.2
Définition
Une droite d’ajustement affine est une droite qui passe au plus près des points du nuage. On admettra que,
pour que l’ajustement soit le meilleur possible, il faut que la droite d’ajustement affine passe par le point
moyen G du nuage.
Diverses méthodes existent pour trouver une droite d’ajustement affine.