Algèbre - Jean Alain Monfort

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ALGÈBRE (STRUCTURE ALGÉBRIQUE) (A3)
Deux sens usuels sont attachés à ce terme.
(i) Notion « algébrique ».
Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. On appelle algèbre sur K, ou K-algèbre, ou simplement algèbre, le couple (E, b), où b : E2 a E est une application bilinéaire (cf
application multilinéaire). On note b (x , y) = x . y (ou simplement xy) la multiplication interne ainsi définie, et (E, b) est aussi notée (E , .). De plus, cette opération doit vérifier," (x, y, z) Î E3, les
propriétés suivantes :
(a) x (y + z) = x y + x z ;
(b) (x + y) z = x z + y z ;
(c) (a x).(b y) = a b (x . y), " (a , b ) Î K2.
E est appelée algèbre unitaire ssi la multiplication interne b admet un élément unité e (qui en fait un anneau pour les deux lois internes).
Une algèbre E sur K (= R ou C) est appelée algèbre normée ssi :
(a) E est associative, ie x . (y . z) = (x . y) . z = x . y . z, " (x, y, z) Î E3 ;
(b) en tant qu'espace vectoriel sur K, E est muni d'une norme ||.|| tq ||x.y|| £ ||x|| . ||y||, " (x , y) Î E2.
On dit que E est une algèbre normée unitaire ssi ||e|| = 1 (où e est l'élément unité de E pour la multiplication interne).
Une algèbre de S. BANACH est une algèbre normée complète pour la norme ||.|| (ie l'espace vectoriel E est un espace de BANACH ).
(ii) Notion de théorie de la mesure.
Soit E un ensemble quelconque et A Î P(E) (famille des parties de E) :
(a) on dit que A est une algèbre de parties de E, ou simplement une algèbre sur E, ssi les éléments de A vérifient les deux propriétés suivantes :
A Î A Þ Ac Î A (stabilité par complémentation),
(1)
Ai Î A, " i Î Nn* Þ
È i=1n Ai Î A (stabilité par réunion finie).
(b) on dit que A est une sigma-algèbre de parties de E, ou simplement une sigma-algèbre sur E (ce qui s’écrit aussi s -algèbre), ssi les éléments de A vérifient les deux propriétés
suivantes :
A Î A Þ Ac Î A (stabilité par complémentation),
(2)
An Î A, " n Î N* Þ
È n Î N* Ai Î A (stabilité par réunion dénombrable).
Par suite, si A est une algèbre (resp une s -algèbre), alors Æ Î A et E Î A.
Ces notions d’algèbre ou de s-algèbre se rencontrent ainsi en théorie de la mesure : convolution des mesures, va intégrables, etc.
En Statistique, elles interviennent aussi dans diverses questions : indépendance, convolution des lois, etc
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