Calcul du second membre de la formule d`Atiyah-Singer

Séminaire Henri Cartan
H ENRI C ARTAN
Calcul du second membre de la formule d’Atiyah-Singer dans
quelques cas importants : exposé introductif
Séminaire Henri Cartan, tome 16, no 2 (1963-1964), exp. no 18, p. 1-14
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Séminaire
18-01
année, 1963/64,
16e
n° 18
23
mars
1964
CALCUL DU SECOND MEMBRE DE LA FORMULE D’ATIYAH-SINGER
DANS QUELQUES CAS IMPORTANTS :
EXPOSÉ
INTRODUCTIF
par Henri CARTAN
Tous les fibres vectoriels considérés sont localement
triviaux,
à base para-
compacte.
1.
Classes de Chem et classes de Pontrjagin.
Envisageons les trois situations que voiéi :
(a). -
complexe V on a associé un
c’est-à-dire le
élément a(V) e
Q) (on note H** le produit des
complété de la somme directe H* ; t X.. désignera toujours l’espace de base du
fibre V ) ~ et cela de façon fonctorielle : pour tout morphisme strict V -~ V ~
Q) qu’il définit envoie a(V) en a(V) .
l’homomorphisme
Cas
On suppose
qu’à chaque fibre
vectoriel
’H~(X~, ;
Cas
(b). -
On suppose
élément 03B2(V)
un
Cas
cié
un
(c) * -
On suppose
y (V)
élément
Dans le
(a)~
cas
par rapport
e
aux
e
on
qu’à chaque fibre vectoriel réel orienté
Q) , de façon fonctorielle.
V
qu’à chaque fibre réel V (orientable
Q) ~ de façon fonctorielle.
non)
ou
on a
associé
on a asso-
H~(X~ ;
peut
conclure que
classes de Chern
a(V)
... ,
c
s’exprime
par
du fibre
V
une
série formelle
(n désignant
la
complexe de V ) ; cette série fertile est, bien entendu, à coefficiehts
rationnels, et il s’agit des classes de Chern rationnelles, c’est-à-dire des imadans
gesdes c.
(X.- ~Q~) ~ images qu’on notera encore ci par
abus de langage. Les coefficients de la série en question sont indépendants de V ,
pour une dimension n donnée ; mais, a priori, il n’y a pas de relation entre les
dimension
séries relatives à des dimensions
Toutes
ces
n
différentes.
assertions résultent aussitôt du fait que les classes de fibres
vec-
complexes de .dimension n et de base X donnée (paracompacte) correspondent bijectivement aux classes d’homotopie d’applications continues de X dans
l’espace classifiant BU(n) , noté aussi G (C) (grassmannienne des sous-espaces
vectoriels complexes de dimension n de C°° ). Il suffit alors de savoir que
l’algèbre de cohomologie H* (G (C) ; Z) est l’ algèbre des polynômes (à coefficients
toriels
entiers) en les classes de Chern
... ~
c du fibre universel note )((n)
dans l’exposé 5 ~ nous le noterons ici E (C) . De là résulte que H (G (C) ; Q)
n "~
n ~ 2014
est l’algèbre des polynômes à coefficients rationnels en
... y on .
.
(c)y resp. (b), est de même justiciable du calcul de l’algèbre de cohomologie H (G (R) ; Q) . resp. H (Gn (R) ; Q) .en notant G (R) la grassmannienLe
ne
cas
(réels) de
(grassmannienne des
des sous-espaces vectoriels
revêtement d’ordre 2
).
Avant de
rappeler la structure
Pontrjagin p.(V) 6 H
des classes de
supposé orientée
ni même
On. notera aussi
p.
Q) .
§ 7)
de
polynômes engendrées
V ~
sont fonctorielles
et
de
par
d’un fibre vectoriel réel
complexifié
le
C
cohomologie
en
donnons la définition
algèbres,
deux
ces
dans la
algèbre s H*(G2n(R) ; Q)
les classes
les
de
Pontrjagin
(cf.
Q)
sont des
fibré universel
É R
peu moins
~n
1),
et
dans le
simple
de
cas
une
on
montre que
et les classes de
Pontrjagin p1 ,
prop.
algèbre s
de
base
induit
un
:
dont le carré n’est autre que la
dice,
pose
Appendice,
de
~
un
on
dd fibre uni-
Pn
... ,
E- (R) de base G2n(R) , resp. du fibre universel E2n+1 (R)
G2n+1(R) . De plus, l’application de revêtement 2n+ 1(R) G2n+ 1(R)
La situation est
(non
V
à coefficients rationnels
V . On démontre
H*(G2n+1 (R) ;
V ;
versel
isomorphisme d ’ al gèbre s
son
n’-sous-espaces vectoriels orientés de
Soit
p.
et Gpn(R)
de
n
2014~
(X.. ; Z)
orientable).
l’image
p.(V)
Les
de
dimension
de la
grassmannienne
classe d’Euler
2n
(R) ;
le
Z
~n ~ H2n(2n(R) ;
fibré, (cf. Appenclasse
de
Pontrj
agin
l’algèbre des polynômes
(2n(R) ; Q)
de
H*
ce
est
en
ce
... , pn-1 de
fibré universel. Autrement
dit , l’ homomorphisme d ’ alèbre s
est
une
injection qui identifie
engendrée
par les
Ceci étant
orienté
V
classes de
il est clair que, dans le
à fibres de dimension
Pontrjagin p~ ~
un
... ,
fibre orienté
à la
sous-algèbre
le carré
générateurs
rappelée
de V . Et pour
première algèbre
la
cas
pn
~b~ f ~3 ~ït~ ~
du
de la seconde
générateur ~n .
pour
un
fibre
1 , s’exprime par une série formelle en les
pn de V , à coefficients rationnels indépendants
2n
V
+
à fibres de dimension
s’exprime
en
série formelle
une
par
la classe d’Euler
Dans le
prime
x n ~V) ~
2.
Pontrjagin
dont le carré est
pour
série formelle
en
à coefficients rationnels
fibré V
les classes de
~c) ~ y (V) ,
cas
une
par
en
fibre
un
les classes de
indépendants
à fibres de dimension
Pontrjagin
V ; et il
de
et
p n ~V) .
à fibres de dimension
V
V
de
... ,
en
2n
... ,
est
encore
+
pn
2~
s’ex-
de
V ,
ainsi pour
un
2n.
Fonctions multiplicatives.
On va maintenant
(a) , (b) , (c)
imposer
une
condition multiplicative dans chacun des trois
ci-dessus. Dans le
ta) ~
cas
ici, V ~ V’ désigne, conformément
externe, qui a pour base le produit
cup-produit externe, élément de
gue la condition multiplicative (M)
à
et
x
H~‘~‘ ~
Donnons tout de suite des
Exemple
(rappelons
priété (M)
page
1
(cas (a)). -
que
est
On
pose la condition
conventions
nos
X.-
on
cas
au
M ~~ .
dans chacun des
générales,
la
somme
second membre il
directe
s’agit
du
On formule de manière
cas
(b)
et
(c) .
exemples.
prend
pour
a(V)
la classe totale de Chern
c . (V) = 0 si i > n ~ n = dimension des fibres de V ) . La prola propriété multiplicative de c (V)
(Exposé 4, théorème 4.2,
4-09)*
du fibre
Exemple 2 (cas {a) ) . - On prend pour a {V) la classe de
complexe V (cf. Exposé 6, page 6 .. 07) 9 ~ sa "série génératrice" est x( ~ _ e"x ) ~~ .
Rappelons (cf. Exposé 6, Appendice) que la classe de Todd 1: (V) est l’unique fonction multiplicative 03B1 (V) qui, lorsque V est le iibr4 tangent à l’espace projectif
P2n (g) , prend la valeur 1 sur la classe fondamentale d’homologie de
(orienté
par la structure
Exemple 3 (cas (b) ). cients
rationnels)
sont de dimension
ou
d tordre
On
prend
et ceci pour tout entier
pour p(V)
du fibre réel orienté
impaire (car alors
2).
Exposé 4, 2.3, (b) ) .
nulle
complexe) ,
La
la classe d’Euler
X (V)
(à
coeffi-
elle est nulle si les fibres de
V
la classe d’Euler à coefficients entiers est
propriété x (V
Exemple 4 (cas (c)). - On prend
V ;
n ~ 0 .
©
pour
X (V’)
classe
de
est bien vraie
Todd
C)
(cf.
du
complexifié
(voir § 5 ci-àessous).
de V
3. Calcul des fonctions multiplicatives dans le
Définit ion. - Soit
donné,
tif. On appelle série
qu’on obtient
(de
en
génératrice
Chern x , laquelle
x
est de
procédé
degré
qui
a
(V)
fonctoriel et
1. - Dans le
a(V)
un
cas
la série formelle
a
pour le fibre universel
générateur
do
(a),
V =
l’algèbre
de
noté
sa
classe
polynômes
on
exprime
le
complexe V ,
génératrice A(x)
n ~ par le
de dimension
produit
aux
fonctions
symétriques élémentaires
de
~h ~
donne
une
série
... ,
en) :
c’ e st l’élément cherché de
alors les classes de Chern du fibre
Démonstration. - Il suffit de prouver la formule lorsque
versel
E (C)
plaires
du fibre
qui,
en
cohomologie,
des
n
~~~
~~ ~~n~~~
en
E. (C),
à l’aide de
la connaissance de la série
pour tout fibré vectoriel
c~ ~ ... ~ cn désignant
.
multiplica-
(cf. Exposé 5, proposition 2. ~. ~~ .
2
suivant :
*’~ ~
ce
est
série formelle par rapport
comice
un
à fibres de dimension
de
détermine
~a) ~
cas
de
a(V)
calculant
base
THÉORÈME
dans le
(a).
cas
Dans
Considérons la
somme
il définit
de base
exemplaires
désignant
G (C).
de base
envoie les classes de Chern de
Gi (C) .
de
’~~~
la
On
a
déjà
des
vu
x. i
de la
V.
V
est le fibré uni-
directe externe de
une
G
(C)
dans celles du
n -
(Exposé 4) que ceci
symétriques
du
n
exem-
application
identifie
en
produit
l’algè° ° ° ’
~n ’
i-ième espace facteur
générateur
cohomologie
l’homomorphisme des algèbres de cohomologie (à
par
le
a (V) ,
coefficients
rationnels,
cette
a(E (Ç) )
fois) !
facteurs, puisque
trement dit a (E
par
va
dans le
hypothèse
(f) )
va
a
dans le
relatifs aux n espaces
produit des
possède la propriété multiplicative (~1) . Auproduit A (xl) A (x )
A(xn) , et ceci prouve
...
le théorème.
Remarque. - Inversement, étant donnée
rationnels,
elle définit
a (V)
un
série arbitraire
une
A(x) ,
à coefficients
multiplicatif.
cas , (b) et (c).
4. Calcul des fonctions multiplicatives dans le s
grassmanniennes réelles et les grassmanniennes complexes. Si dans le fibre complexe
E (C) on oublie la structure complexe,
on obtient un fibre réel à fibres orientées de dimension
2n ; d’où une application
abord de comparer les
Il convient
d’ailleurs facile à expliciter
(1~ ~
Si
on
on
géométriquement.
Par
composition
avec
l’application
,obtient
cohomologie, (3) définit
passe à la
l’algèbre
Pontrjagin
des
polynômes
p.
dans la
un
... ~
homomorphisme de
cet homomorphisme
H*(2n(R) ; Z)
dans
envoie la classe de
i-ième fonction symétrique élémentaire de
(x1)2 ,..., (xn)2
produit x.... x (cf. Appendice~ § 6 cidessous). Si on passe à la cohomologie rationnelle, on voit que (3) identifie
H
(R) ; Q) à la sous-algèbre formée des polynômes symétriques de x1 , ... , xn
%
En
comice
particulier,
polynômes en les (xi)2 et en x1 ... xn
qui s’expriment
la classe de Pontrjagin pi du fibre réel sous-jacent à
(de base
est le carré x de la classe de Chern x de E. (C) .
et envoie la classe d’Euler dans le
*
Définition. - Soit
que la condition
donnée
dans le
cas
(b)~
un
i
fonctoriel ; et supposons
multiplicative
lorsque V et V ’ sont des fibres vectoriels orientés à fibres
dimension paire. On appelle alors série génératrice de 03B2 le. série formelle
soit vérifiée
à coefficients rationnels
bn ,
obtenue
en
calculant
pour le fibré réel
de
orienté sous-jacent à
E. (C) ,
à l’aide de la classe de Chern
E, (C) .
de
x
THEOREME 2.
(i)
On suppose que la condition
des fibres
B(x)
à fibres de
paire (i.
e.
fibre oriente
V
est soit
Pour
un
B(x)
suit : si
rapport
B(xl)
aux
...
(x~) ~
est
classes
B(x)
les fonctions
(ii)
Si
en
chaque fois que V et V sont
dimension paire. Alors la série génératrice
B(x) )~ soit impaire (i. e. B(-y)= - B(x) ).
en
est
une
p.(V) y
est
Pontrjagin
B(x?
symétriques
outre la relation
qu’on obtient
une
se
calcule
comme
~. ~ p )
en
exprimant
le
par
produit
symétriques élémentaires p.
série formelle
p~(V) ~ ... ~ p ~(V) ~
comme
...
2n , p(V)
série formelle
les fonctions
est
primait le produit
en
=
est vérifiée
à fibres de dimension
série
comme
B (x)
si
B(- x)
paire,
de Pontrjagin
les classes de
et
(M)
série formelle
en
élémentaires
... ~ p .
multiplicative (M)
est vraie
en
des
la classe d’Euler
qu’on obtient
le produit
en ex-
==)(
(x.) .
des
lorsque
V
est
un
fibre orienté à fibres de dimension
paire, et V un fibre trivial à fibres de
dimension 1 , alors, si B(x) est impaire, p(V) =0 pour tout fibre orienté
V à fibres de dimension impaire ; si B (x) est paire, on a, pour un fibre orienté V à fibres de dimension 2n + 1 ,
où
p(P~ ~ *’* ~ Py.)
valeur de
nelle,
désigne
p(V)
la série définie
pour
t
V
en
(i)~
et
b
la constante ration-
trivial à fibres de dimension
1.
Démonstration.
(i)
Il suffit de prouver les formules
lorsque
V
est le fibre
universel 2n(R) ,
(R) ; Q)
2n (R) . L’application (3) montre que si on identifie
à l’algèbre des séries formelles symétriques en
xl ’ ... , x qui s’expriment à
l’aide du produit
x~ ... x et des fonctions symétriques élémentaires p. des
est égal au produit
B(xn) , où B désigne série
génératrice. On va voir que ceci impose des conditions à la série B(x) . Laissons
de côté le cas trivial où B (x)
est identiquement nulle ; on peut alors multiplier
B par une constante rationnelle ~ 0 , de façon que B prenne la forme
de base
(xi)2 , 03B2(2n(R))
Alors
par
B’(x)
x , et
s’obtient en
x2’ ... y x
...
remplaçant,
par
dans le produit
0 . Pour
n > 2 :
...
cela revient à
B’(xn) ,
xi
remplacer
dans
P~ ~
-
~
P~i~ ~
0 , p~
P~
X~
x,
par
et
par
p~ , ... ,
0 . Il s’ensuit que B’(x) est une série en x . Donc B(x) est paire si
tier k est pair, impaire si k est impair. Réciproquement, si B(x) est
série paire, le produit
une
s’exprime d’une seule manière comme série en les fonctions symétriques élémentaires
et si
p1 , ... , p des
B(x) est impaire, le même produit s’exprime d’une seule manière comme produit
...
(xi)2 ;
d’une série
en
Pn~’)’
(il)
2n
1,
+
?(V)
Pour calculer
par
p~
~. ~
~
il suffit de faire le calcul
de base
Considérons la
x~
x (observons
...
fibre orienté
un
pour
=
lorsque
somme
V
et la
B~~(R)
où
b
V’
de dimension
désigne
la constante
dentifier H**(2n+1(R) ;
ci-dessous §
~
dépend
rationnelle,
fibre est image
P(V)
valeur de
à base ponctuelle~ Or i* est
Q) à une sous-algèbre de
7).
et du
réciproque
b
=
0 , p(V)
pour le fibre trivial
injection qui permet
une
Q)
H**(2n(R)
;
est nul
tout
pour
d’i-
(cf. § 1,
et
fibre orien-
0 , la relation précédente montre
de la classe d. ’Euler x
(mais seulement des classes de Pontrjagin
n
) ! donc la série génératrice B(x) est paire. Ceci achève la dé-
pas
... ,
ce
IL~~ 2014
(R)
Ë (R) ,
montre que
Ceci prouve que si
de dimension impaire. Si
té V
ne
1,
que
à fibres de dimension
directe externe du fibre
1 y à base ponctuelle ~
par l’injection canonique
propriété multiplicative ~~~~
nouveau
est le fibre universel
V
fibre trivial de dimension
du fibre
à
P~
monstration du théorème 2.
Il reste à faire l’étude du
y(V) possède
finit
la
la
encore
le fibre réel
(c)
sous-jacent
à
au
E~(~) .
en
calculant
paire,
y(V)
(dont
on
dé-
pour
la dé-
lecteur) :
3.
On suppose que la condition (M)
[y (V o V)
1
lorsque V et V ont leurs fibres de dimension
C (x)
de dimension
On obtient le théorème suivant
(i)
trice
(non orientés). Lorsque
dos fibres réels
propriété (M) pour les fibres à fibres
série génératrice C (x) , qu’on obtient
monstration est laissée
THÉORÈME
cas
est
paire
et si
V
est à fibres de
=
y(V)
u
est vérifiée
paire; alors la série généradimension 2n , y(V)
se calcule
le
en
exprimant
en
les fonctions
(ii)
Si
en
produit
...
pour
où
... ,
Ce
un
valeur de
cas
:
est
(Pl’
multiplicative (~’i} est vraie lorsque
paire, et VI un fibre trivial à fibres
à fibres de dimension
fibre V
R)
la série définie
désire
03B3(V’)
Vt
pour
justiciable
en
2n
+
(i)~
1,
et
V
est
un
de dimension
on a
la constante ration-
c
1.
trivial de dimension
Calcul de la classe de Todd
p)
... ,
(x.) w
des
outre la relation
1 , alors,
5. Exemple
réel v.
série formelle y
comme
symétriques élémentaires
fibre à fibres de dimension
nelle,
C(x )
03C4(V ~ C) , pour tout fibré vectoriel
du théorème 3. Avec les notations de
théorème, on
complexe 1 ).
a
ce
La
(classe de Todd d’un fibre complexe trivial de dimension
série génératrice C(x) est paire ; on l’obtient en calculant la classe de Todd
ï(V @ C) lorsque V est le fibre réel sous-jacent à E.(C) ~ de base
Alors V ~ G est un isomorphe, comme fibre complexe, à la somme directe (interne)
et de son conjugué
de
(cf. Appendice, prop. 2). On a donc
c
1
=
Par
définition,
E1(C) .
On
opposée
à celle de
a
donc
03C4(E1(C))
T(E.(C))
).
Telle est la série
de Todd
trouve
03C4(V ~ C)
-1 ,
=
=
-
x(l - e )
x(l - ex)-1
x
(la
la classe de Chern de
désignant
classe de Chern de
est
D’où
génératrice
de
r ~~t
à l’ aide des classes de
~
C) ;
elle
Pontrj agin
permet
p.
de calculer la classe
du fibré réel
V ;
on
6.
Classes de
Nous
toriel
(Dans
Pontrjagin et
fonctions symétriques.
rappelons la définition
réel V , donnée dans le
ce
paragraphe,
coefficients
on
entiers.)
V
si les fibres de
classe s de
Pontrjagin
pi(V)
d’un fibré
vec-
texte :
considère les classes de Pontrjagin dans la
La classe totale de
Pontrjagin
cohomologie à
est
2i .
sont de dimension
On pose aussi
PROPOSITION 1. - Soit
~ (V)
En
désignant
V
un
fibre réel orienté à fibres de dimension
on a
la
effet ,
complexifié V 0 C , muni
V e V (somme directe interne) ;
si ~ n est pair, opposées si n
or, le
PROPOSITION 2. - Soit
V
un
de
son
orientation
les orientations de
est
naturelle ,
ces
est
effet.
VR ~ J
~
finie par
est
naines
impair. D’où
fibre vectoriel complexe ; notons
isomorphe à
isomorphe à
deux fibres sont les
réel sous-j acent, et soit
son complexifié. Alors
~ V @ V , somme directe (interne) de V et de son conjugué.
En
2n ;
VR e
~
où la structure
~
Vp
le fibre
est
isomorphe
est dé-
(x ~ - ix)
(complexe) V
x ~ (x , ix)
plexe) de
imagess
de
sur un
est
un
Vp .
V
est
Et
vérifie aussitôt que
on
-
V~~
isomorphisme du fibre
de
l’application
un
sur un
est
sous-fibre (com-
somme
directe des
-V .
et
on
Vp e Vp
(complexe) de
V ;
isomorphisme du fibre (complexe) "~
(cup-produit interne),
=
classe totale de Chern de
effet,
dans
sous-fibré
COROLLAIRE 1. -
En
V
de
en
notant
c (V) ~
V.
sait que
d’où
V
COROLLAIRE 2. - Si
et
s ont deux fibres
W
complexes,
on a
d’où
(il s’agit
ici de
somme
directe
externe,
appliquer le corollaire 2
du fibré réel sous-j acent à E 1 (Ç}
On
xi
va
la classe de Chern
cohomologie
Or la
somme
cup-produit externe).
directe
(externe)
de
n
exemplaires
(fibré universel de base G1 (C) ) : si on
(de degré 2 ) du i-ième facteur El (C) , on sait que
de
s’identifie à
à la
et de
note
la
.
l’ algèbre
classe p
du
des
i-ième
polynômes (à coefficients entiers) en x~ ~ ... ~ x~ .
fibre est, d’ aprés le corollaire 1 , égale à
Donc la classe
p
la classe totale de
la
Pontrj agin
de la
somme
1
x.9
z°
+
le corollaire
2,
directe est
proposition suivante :
i-ième classe de Pontrjagin p.
exemplaires du fibre réel sous-jacent à
PROPOSITION 3* -
terne)
fibré est
du
de
n
ième fonction
homologie
de
La
élémentaire de
symétrique
G. (C)
(x1)2 ,
... ,
G. (C) ).
...
de la
somme
est
(xn)2
(ex-
directe
égale
(éléments
à la
i-
de la
co-
Reprenons alors l’application (1) du § 3 :
voit que le fibre réel
on
i-ième fonction
la
qu’on identifie
sous-jacent à
(C)
E
a
pour classe de
(x1)2 ,
Pontrjagin
symétrique élémentaire des carrés
... ,
à l’algèbre des polynômes symétriques
H*(Gn(C) ; Z)
(xn)2 ,
en
p.
lors-
x1,...,xn ,
Considérons maintenant les applications canoniques
les
homomorphismes quelles
dans Z),
induisent
sur
et le fait que les classes de
algèbres d’homologie (à coefficients
Pontrjagin sont fonctorielles, montrent que :
les
PROPOSITION 4. - Par les homomorphismes naturels
Pontrjagin p 6
H4i(G2n(R); Z) , resp. pi ~
dans la
i-ième fonction symétrique élémentaire
d’Euler
Xn ~ H2n(2n(R)
(Dans
cet
énoncé,
;Z)
du fibre universel
d’Euler de
.)
va
de
... ,
va dans le produit x1 x2
les classes de
Pontrjagin
H4i(2n(R) ; Z)
(x1)2 ,
(xn)2 . La classe
Pontrjagin
s’entendent
E2n(R) , resp. 2n(R) ;
L’assertion relative à la classe d’Euler
se
...
x .
connue
les classes de
de même pour la classe
prouve
en
observant que la classe
d’Euler de
2n(R)
isomorphe s à
7.
Structure
va
dans le
fibrés composants
n
E1 (G) .
des
algèbres
de
cohomologie
G2n(R) , G2n+1 (R) , 2n (R)
nes
des classes d’Euler des
produit
et
à coefficients
des
rationnels
2n+1 (R) .
PROPOSITION 5.
(R) i Q) est un isomorphisme ;
(a) L’homomorphisme H* (G2n+1 (R)i Q) - x*
chacune de ces deux algèbres est l’algèbre des polynômes en les classes de Pontrja-
gin p1 , ... , pn ;
(b) L’homomorphisme # (G2n(R) ; Q) - Xt
première algèbre est l’algèbre des polynômes en
conde est l’algèbre des polynômes en Pi , ... ,
(dont
Q) est upe injection ; la
... ,
tandis que la
p ,
et ia classe d’Euler
se-
~n
p).
le carré est
proposition 4 montre que
... , pn sont des éléments al... , pn-1
gébriquement indépendants des quatre algèbres en question, et que
et
Q) . Il reste donc seU~n Sont algébriquement indépendants dans Ht
Tout
d’ abord,
la
(2n(R) ;
lement à prouver que
On
va
sertion
sertion
par récurrence
procéder
(a)
(b)
éléments engendrent les
ces
sur
1,
n -
est vraie pour
n , l’ assertion
G (R)
et
1° On suppose que l’ assertion
(a)
-
~2n
n , en montrant successivement: 1° si l’asl’ assertion (b) est vraie pour n ; 2° si l’as-
est vraie pour
théorème es) trivial pour
.
et
~
une
algèbres.
(a)
§ii (R) ,
est vraie pour
tous deux réduits à
ext vraie pour
,
exacte de
grassmanniennes complexes (ci. Exposé 5, Appendice 2) :
et son fibré 2n,k ;
grassmannienne réelle finie
ble des vecteurs
non
l’application qui,
nuls de
à
chaque
ce
1 . On
n -
0
contenu dans
départ,
écrire,
~
le
point.
un
va
pour
,
celle utilisée pour les
on
raisonne d’abord
on
note
fibré. Soit
vecteur /:.
Au
n .
sur
la
*2n,k l’ensemassocie le
v
orthogonal dans V , avec: une convention fixs d’ orientation. L’application p est fibrée , sa fibre est un espace vectoriel de dimension k + 1 privé de 0 p par suite, p induit des isomorphismes
(2n - 1)-sous-espace
pour
q .$ k . Par
vectoriel
ces
isomorphismes,
la suite exacte de
Gysin
du
fibre vectoriel
É
transforine
se
.
2n~k
(valable
k ),
q~
pour
Q ).
coefficients dans
on
l’hopomorphisms
où
X (de degré 2n )
se d’Euler
car, pour
la suite exacte
en
un
degré
q
du fibre
multiplication par la clas(Toutes les cohomologies sont à
(ce qui est licite
lorsque k i
est la
passant à la limite
donnée la suite est indépendante
En
toute valeur de
(pour
obtient la suite exacte
oo
de
k
k
pour
assez
q)
aisément que a est l’application naturelle qui envoie les
dans les criasses de Pontrjagin p~ de G~~
Pontrjagin.p. de
i n - 1 . L’exactitude de la suite (S) montre alors, par récurrence
On prouve
classes de
’G
chaque élément
et
)( .11
p1 ,
est
une
Q)
s’ensuit que
et
... , pn-1
Pour
s’ écrit d’une seule manière comme
de
Q) ,
on
injection
dont
l’image
Q
l’algèbre
des
~
sur
pour
q , que
polynôme en p1,...,pn-1
polynômes en
~n .
H*(G2n ;
phisme involutif
est bien
grand) ,
de
utilise le lemme
G
p
(facile) : l’homomorphisme
compose des éléments invariants par l’automor(celui qui change l’orientation de chaque fibre de
se
E ).
Ce lemme étant
admis,
il est clair que ,
donc H* (G )
)(
(~p)2
=
p . On
est
(a)
remplaçant
est vraie pour n
2n par 2n + ~ :
L’automorphisme
des
polynômes
ainsi achevé de prouver l’assertion
a
0
opère
.
(b)
en
pour
... ,
change
P let
n.
n , et on va prouver que l’asReprenons la suite exacte (S) ci-dessus, mais en y
2° On suppose que l’assertion
sertion
l’algèbre
pour 2n , l’automorphisme
(b)
est vraie pour
dans cette suite ; d’une
façon précise,
on a
18-14
l’homomorphisme ~
Mais ici
est
un
nul,
car la classe
2 , donc son image dans H2n+1
une injection ; compte tenu
a
est
(2n+1 ; Z)
d’Euler de
(2n+1 ;
élément d’ordre
s’ensuit que
des
Q)
opérations
de
est nulle. Il
o ,
on
obtient
suite exacte
une
Comme les classes
pothèse
de
p~ ..... p~
récurrence),
~
=
0 .
engendrent cette algèbre (par l’hyest surjectif, donc bijectif, et que
H*(C~ ~ 9.)
il s’ensuit que
H*(G ? Q)/H*(G~ ; ~)
en
est
ce
a’
qui achevé la démonstration.
la proposition 5 :
Remarque finale. - On a, en fait, un résultat plus précis que
admettent
et
cohomologie à coefficients dans ~.
~(~(R))
~(~l~)
une sous-algèbre de polynômes (à coefficients dans Z ) engendrée par
de
et cette sous-algèbre a pour supplémentaire le sous-groupe de torsion
2 (ils font intervenir les "classous-groupe dont tous les éléments sont d’ordre
admet la sous-algèbre de polyses de Stiefel-Whitney"). De même,
qui a pour supplémentaire le sous-groupe de torsion ;
nômes Z[p1 , ... , pn] ,
Z) admet la sous-algèbre
d’ordre 2 . Enfin,
tous ses éléments
de torsion ;
Z[p ..... p . x ] . qui a pour supplémentaire le sous-groupe
H*(G2n(R) ; Z)
H"(G~(R) !
sont
tous
ses
éléments sont d’ordre
2.
BIBLIOGRAPHIE
topologische Methoden in der algebraischen Geometrie.
2te Auflage. - Berlin, Springer-Verlag, 1962 (Ergebnisse der Mathematik,
Neue Folge, 9).
Princeton
[2] MILNOR (J.). - Lectures on characteristic classes. - Princeton,
University Press (multigraphié).
[1]
HIRZEBRUCH
(F.). -
Neue