การแปรผันของพารามิเตอร์ สมการโคชี−ออยเลอร์

Exercise
¡ÒÃá»Ã¼Ñ¹¢Í§¾ÒÃÒÁÔàµÍÃì
1)
d2 y
+ y = sec x
dx2
Ans:
y = c1 cos x + c2 sin x + x sin x + cos x ln | cos x|
2)
d2 y
+ y = sin x
dx2
Ans:
y = c1 cos x + c2 sin x + 12 sin x − 12 x cos x
3)
d2 y
+ y = cos2 x
dx2
Ans:
y = c1 cos x + c2 sin x + 12 − 16 cos 2x
4)
d2 y
− y = cosh x
dx2
Ans:
y = c1 ex + c2 e−x + 14 xex − 41 xe−x
5)
d2 y
e2x
−
4y
=
dx2
x
2x
Ans:
y = c1 e
−2x
+ c2 e
2
1
+
4
µ
Z
2x
e ln |x| − e
x
−2x
x0
e4t
dt
t
¶
6)
dy
dy
1
+ 3 + 2y =
2
dx
dx
(1 + ex )
7)
d2 y
dy
+ 3 + 2y = sin ex
2
dx
dx
Ans:
y = c1 e−2x + c2 e−x − e−2x sin ex
8)
dy
ex
d2 y
−
2
+
y
=
dx2
dx
1 + x2
Ans:
1
y = c1 ex + c2 xex − ex ln(1 + x2 ) + xex arctan x
2
9)
d2 y
dy
+ 2 + y = e−x ln x
2
dx
dx
Ans:
1
3
y = c1 e−x + c2 xe−x + x2 e−x ln x − x2 e−x
2
4
10)
4
y = c1 e−x + c2 e−2x + (e−x + e−2x ) ln(1 + ex )
Ans:
d2 y
dy
− 4 + y = 8e−x + x
2
dx
dx
Ans:
8
y = c1 ex/2 + c2 xex/2 + e−x + x + 4
9
ÊÁ¡ÒÃ⤪Õ−ÍÍÂàÅÍÃì
d2 y
− 2y = 0
dx2
Ans:
y = c1 x−1 + c2 x2
d2 y dy
+
=0
dx2 dx
Ans:
y = c1 + c2 ln x
1)
x2
2)
x
3)
x2
4)
2
2d y
x
dx2
5)
25x2
6)
x2
7)
d2 y
x2 2
dx
d2 y
dy
+
x
+ 4y = 0
dx2
dx
− 3x
dy
− 2y = 0
dx
dy
d2 y
+ 25x + y = 0
2
dx
dx
dy
d2 y
+ 5x + 4y = 0
2
dx
dx
dy
− x + 2y = 0
dx
Ans:
y = c1 cos(2 ln x) + c2 sin(2 ln x)
y = c1 x(2−
Ans:
Ans:
Ans:
Ans:
√
6)
√
6)
+ c2 x(2+
y = c1 cos( 15 ln x) + c2 sin( 51 ln x)
y = c1 x−2 + c2 x−2 ln x
³
´
y = x c1 cos(ln x) + c2 sin(ln x)
dy
dy
+ 6x + y = 0
2
dx
dx
8)
3x2
9)
3
3d y
x
dx3
10)
x3
Ã
2
− 6y = 0
Ã√
!
3
ln x + c2 sin
6
√
√
y = c1 x3 + c2 cos( 2 ln x) + c3 sin( 2 ln x)
Ans:
Ans:
y = x−1/2
2
dy
d3 y
2d y
−
2x
− 2x + 8y = 0
3
2
dx
dx
dx
Ans:
c1 cos
Ã√
3
ln x
6
!!
y = c1 x−1 + c2 x2 + c3 x4
µÑÇ´Óà¹Ô¹¡ÒÃàªÔ§Í¹Ø¾Ñ¹¸ì
¨§ËÒµÑÇ´Óà¹Ô¹¡ÒÃàªÔ§Í¹Ø¾Ñ¹¸ì·Õè·ÓãËé¿Ñ§¡ìªÑ¹µèÍ仹Õéà»ç¹ÈÙ¹Âì
1)
1 + 6x − 2x2
2)
1 + 7e2x
3)
13x + 9x2 − sin 4x
Ans:
D3 (D2 + 16)
4)
e−x + 2xex − x2 ex
Ans:
(D + 1)(D − 1)3
5)
3 + ex cos 2x
D3
Ans:
Ans:
D(D − 2)
Ans:
D(D2 − 2D + 5)
¨§ãªéµÑÇ´Óà¹Ô¹¡ÒÃàªÔ§Í¹Ø¾Ñ¹¸ìËҤӵͺ¢Í§ÊÁ¡ÒÃ͹ؾѹ¸ìµèÍ仹Õé
6)
d2 y
− 9y = 54
dx2
Ans:
y = c1 e−3x + c2 e3x − 6
7)
d2 y dy
+
=3
dx2 dx
Ans:
y = c1 + c2 e−x + 3x
8)
d2 y
dy
+ 4 + 4y = 2x + 6
2
dx
dx
Ans:
9)
d3 y d2 y
+ 2 = 8x2
3
dx
dx
y = c1 + c2 x + c3 e−x + 23 x4 − 83 x3 + 8x2
Ans:
10)
d2 y
dy
−
− 12y = e4x
2
dx
dx
11)
dy
d2 y
− 2 − 3y = 4ex − 9
2
dx
dx
12)
d2 y
+ 25y = 6 sin x
dx2
13)
d2 y
dy
+ 6 + 9y = −xe4x
2
dx
dx
14)
d2 y
− y = x2 e x + 5
dx2
15)
d4 y
d3 y d2 y
−
2
+
= ex + 1
dx4
dx3 dx2
y = c1 e−3x + c2 e4x + 17 xe4x
Ans:
Ans:
y = c1 e−2x + c2 xe−2x + 12 x + 1
Ans:
y = c1 cos 5x + c2 sin 5x + 14 sin x
Ans:
Ans:
y = c1 e−x + c2 e3x − ex + 3
y = c1 e−3x + c2 xe−3x −
1
xe4x
49
+
2 4x
e
343
y = c1 e−x + c2 ex + 16 x3 ex − 14 x2 ex + 14 xex − 5
Ans:
y = c1 + c2 x + c3 ex + c4 xex + 21 x2 ex + 12 x2