Agrégation interne Nombres premiers 1 Ce problème est en relation avec les leçons d’oral suivantes : Z – 103 : Congruences dans Z, anneau . Applications nZ – 104 Nombres premiers On pourra consulter les ouvrages suivants. – J. M. De Koninck, A. Mercier. 1001 problèmes en théorie classique des nombres. Ellipses. (2003). – S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas. Oraux X-ENS. Algèbre 1. Cassini (2009). – X. Gourdon. Les Maths en tête. Algèbre. Ellipses. – J. P. Ramis, A. Warusfel. Mathématiques tout en un pour la licence. Niveau L1. Dunod. (2007). – P. Tauvel. Mathématiques générales pour l’agrégation. Masson (1993). 1. Le 05/01/2014 1 ( ) n n! = Pour tout entier naturel n et tout entier k compris entre 0 et n, on note avec k k! (n − k)! la convention que 0! = 1. On note : 2 = p1 < p2 < · · · < pn < pn+1 < · · · la suite infinie des nombres premiers rangée dans l’ordre croissant et P l’ensemble de tous ces nombres premiers. Pour tout nombre premier p ≥ 2 et tout entier naturel non nul n, on note νp (n) l’exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers avec νp (n) = 0 si p ne figure pas dans cette décomposition et νp (1) = 0. Cet entier νp (n) est la valuation p-adique de n. Pour tout réel x, [x] désigne la partie entière de x. Pour tout réel x ≥ 2, on désigne par π (x) le cardinal de l’ensemble des nombres premiers contenus dans l’intervalle [0, x] , soit : ∑ π (x) = card (P ∩ [0, x]) = 1 p∈P∩[0,x] – I – Généralités 1. Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 2, on peut trouver n entiers naturels consécutifs non premiers (il existe des plages d’entiers aussi grandes que l’on veut sans nombre premier). 2. Montrer que, pour tout entier n ≥ 2, on a pn < 2n (on peut utiliser le théorème de Bertrand qui nous dit que pour tout entier n ≥ 2, il existe des nombres premiers compris entre n et 2n). ( )∗ Z 3. Carrés de , pour p ≥ 2 premier. pZ Soit p un nombre premier impair. ( )∗ Z p−1 p−1 (a) Montrer qu’il y a exactement carrés et non carrés dans . 2 2 pZ ( )∗ Z (b) Montrer que l’ensemble des carrés de est l’ensemble des racines du polynôme pZ ( )∗ p−1 Z X 2 −1 et que l’ensemble des non carrés de est l’ensemble des racines du polynôme pZ p−1 X 2 + 1. Z (c) Montrer que −1 est un carré dans si, et seulement si, p est congru à 1 modulo 4. Dans pZ ce cas, donner une racine carrée explicite de −1. (d) Montrer que s’il existe deux entiers a, b premiers entre eux tels que p divise a2 + b2 , alors p ≡ 1 (4) . 4. Quelques cas particuliers du théorème de Dirichlet. Un théorème de Dirichlet nous dit que si a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux, il existe alors une infinité de nombres premiers de la forme an + b, où n est un entier naturel. On se propose ici de vérifier ce théorème sur quelques cas particuliers. (a) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3, où n est un entier naturel. (b) On se propose de montrer que, pour tout nombre premier p ≥ 2, il existe une infinité de nombres premiers de la forme pn + 1, où n est un entier naturel. On se donne un nombre premier p ≥ 2. 2 i. Montrer que les diviseurs premiers de m = 2p − 1 sont de la forme pn + 1, où n est un entier naturel (il existe donc de tels nombres premiers). ii. On suppose qu’il n’y a qu’un nombre fini p1 < · · · < pr de nombres premiers de la forme pn + 1 et on note : N = p1 · · · · · pr , m = (N + 1)p − N p En désignant par q ≥ 2 un diviseur premier de m, montrer que N ̸= 0 dans (N + 1) · N −1 Z , que qZ est d’ordre p et conclure. 5. Formule de Minàc et Wilans. (a) Montrer que, pour tout entier naturel k ≥ 2, on a : [ ]] { [ (k − 1)! (k − 1)! + 1 1 si k est premier − = 0 si k est composé k k (b) Montrer que, pour tout entier naturel m ≥ 2, on a : [ ]] m [ ∑ (k − 1)! + 1 (k − 1)! − = π (m) k k k=2 (c) Montrer que, pour tous entiers naturels n ≥ 1 et m ≥ 2, on a : [[ ] n1 ] { n 1 si π (m) ≤ n − 1 = 0 sinon 1 + π (m) (d) Montrer que, pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : 2 ∑ pn = 2 + n m=2 1+ m ∑ k=2 [ n (k−1)!+1 k − n1 [ ]] (k−1)! – II – Le théorème de Fermat et k Z pZ 1. Montrer que, pour n ≥ 2, les assertions suivantes sont équivalentes : (a) n est premier ; Z est un corps ; (b) nZ Z (c) est un intègre. nZ 2. Déduire de la question précédente le théorème de Fermat : si p est un entier naturel premier, pour tout entier relatif a premier avec p, on a alors ap−1 ≡ 1 (mod p) et pour tout entier relatif a, on a ap ≡ a (mod p) . 3. Soit p ≥ 2 un nombre premier. Expliquer comment utiliser le théorème de Fermat pour simplifier le calcul du reste dans la division euclidienne par p d’un entier de la forme ab , où a, b sont des entiers plus grands que p, l’entier p ne divisant pas a. 4. Soit p ≥ 2 un entier naturel. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : 3 (a) p est premier ; ( ) p ≡ 0 (mod p) ; (b) pour tout entier k compris entre 1 et p − 1, on a k ( ) ( ) p p−1 (c) pour tout entier k compris entre 1 et p − 1, on a ≡ 0 (mod p) et ≡ k k (−1)k (mod p) . 5. Soit p ≥ 2 un nombre premier et P (X) = X p − X dans Z [X] . pZ ( ) Z (a) Montrer que P X + 1 = P (X) dans [X] . pZ ( ) ( ) p p−1 (b) Retrouver le fait que ≡ 0 (mod p) et ≡ (−1)k (mod p) pour tout entier k k k compris entre 1 et p − 1. 6. Soit p ≥ 2 un nombre premier. Montrer que pour tout entier n ≥ 2 et tout n-uplet (a1 , · · · , an ) d’entiers relatifs, on a : (a1 + · · · + an )p ≡ ap1 + · · · + apn (mod p) et retrouver le théorème de Fermat. 7. Soit p ≥ 2. Montrer que s’il existe un entier relatif a tel que ap−1 ≡ 1 (mod p) et ak ̸= 1 (mod p) pour tout diviseur k ∈ {1, · · · , p − 2} de p − 1, alors p est premier (réciproque partielle du théorème de Fermat due à Lehmer). – III – Le théorème de Wilson 1. Montrer qu’un entier naturel p ≥ 2 est premier si et seulement si (p − 1)! ≡ −1 (mod p) . 2. Montrer qu’un entier naturel p ≥ 2 est premier si, et seulement si, (p − 2)! est congru à 1 modulo p. 3. Montrer qu’un entier naturel p ≥ 2 est premier si et seulement si (p − k)! (k − 1)! ≡ (−1)k (mod p) pour tout k compris entre 1 et p. (( ) )2 p−1 4. Montrer qu’un entier naturel impair p ≥ 3 est premier si, et seulement si, ! est 2 p−1 congru à (−1) 2 modulo p. 5. Soit n ≥ 2 un entier naturel. Montrer que : −1 si n est premier 2 (mod n) si n = 4 (n − 1)! ≡ 0 (mod n) si n ̸= 4 est non premier – IV – Nombres premiers et groupes 1. Montrer qu’un groupe de cardinal premier est cyclique. 2. Soient 2 ≤ p < q deux nombres premiers. Un groupe d’ordre pq est-il cyclique ? 3. Soient G un groupe commutatif et (gk )1≤k≤r une suite de r ≥ 2 éléments de G, chaque gk , pour k compris entre 1 et r, étant d’ordre nk ≥ 2, les entiers n1 , n2 , · · · , nr étant deux à deux r r ∏ ∏ premiers entre eux. Montrer que g = gk est d’ordre n = nk . k=1 k=1 4 4. Soient G un groupe commutatif et (gk )1≤k≤r une suite de r ≥ 2 éléments de G, chaque gk , pour k compris entre 1 et r, étant d’ordre mk ≥ 2. Montrer qu’il existe un élément de G d’ordre égal au ppcm de ces ordres. 5. Théorème de Cauchy dans le cas commutatif. Soit G un groupe commutatif fini d’ordre n ≥ 2. (a) Montrer que n et m = ppcm {θ (g) | g ∈ G} ont les mêmes facteurs premiers. (b) Montrer que, pour tout diviseur premier p de n, il existe dans G un élément d’ordre p. 6. Montrer qu’un groupe commutatif d’ordre n = r ∏ nk , où (nk )1≤k≤r une suite de r ≥ 2 nombres k=1 premiers deux à deux distincts, est cyclique. – V – Nombres de Mersenne 1. Soient a ≥ 2 et p ≥ 2 deux entiers et m = ap − 1. Montrer que si m est premier, on a alors a = 2 et p est premier. La réciproque est-elle vraie ? On appelle nombre de Mersenne tout entier de la forme 2p − 1, où p est premier. On appelle nombre d’Euclide tout entier de la forme 2p−1 (2p − 1) où p est un nombre premier tel que 2p − 1 soit premier. 2. Montrer qu’un entier q est un nombre d’Euclide si, et seulement si, il est pair et parfait (c’està-dire qu’il est égal à la somme de ses diviseurs stricts). – VI – La série +∞ ∑ 1 p n=1 n +∞ ∑ 1 . Pour ce faire, on introduit la suite 1. On se propose de montrer la divergence de la série p n=1 n (un )n≥1 définie par : 1 ∀n ≥ 1, un = ∏ ) n ( 1 − p1k k=1 (a) Montrer que, pour tout n ≥ 1, on a : un = ∑ 1 j j∈E n où En est l’ensemble des entiers naturels non nuls qui ont tous leurs diviseurs premiers dans Pn = {p1 , · · · , pn } . (b) En déduire que, pour tout n ≥ 1, on a : un ≥ pn ∑ 1 j=1 (c) En déduire que la série ∑ j ( ) 1 ln 1 − est divergente et conclure. pn 5 2. On propose de montrer le résultat précédent en raisonnant par l’absurde. Pour ce faire, on ∑1 suppose que la série converge et on se donne un entier r ≥ 1 tel que : pn +∞ ∑ 1 1 < p 2 n=r+1 n Montrer que dans ce cas, en notant P = p1 · · · pr , on a pour tout entier N ≥ 1 : N ∑ n=1 ∑ 1 < 1 + nP j=1 +∞ et conclure. ( )j 1 2 ∑1 où α est un réel ? pαn ∑ z pn 4. Quel est le rayon de convergence de la série entière . pn 3. Quelle est la nature de la série 6