Repérage d`un point - Vitesse et accélération

MPSI - Exercices r´eponses - M´ecanique I - Rep´erage d’un point - Vitesse et acc´el´eration page 1/1
Rep´erage d’un point - Vitesse et
acc´el´eration
Exercice 1. Coordonn´ees cart´esiennes.
~v = (2 −exp(−t))
~
i+ (7 −5 cos(t))~ j−(1 + 3 sin(t))~ k
−−→
OM = (2t+ exp(−t))
~
i+ (7t−5 sin(t))~ j−(t−3 sin(t))~ k
Exercice 2. Acc´el´eration d´ependant de la vitesse.
1. v=v0
1 + kv0t
2. x=1
kln(1 + kv0t)
3. kx =ln(1 + kv0t) = ln v0
v
Exercice 3. Acc´el´eration d´ependant de la position.
v2
2=k1 x−1 x0
Exercice 4. Torpille.
1.
2. sin θ=v
usin α
3. α=π
2−θ;tanθ =v u
Exercice 5. Course automobile.
1. 9,5s
2. 179,4m
3. vA= 136,4km/h et vB= 152,5km/h
Exercice 6. Mouvement rectiligne.
1.
2. dcorrespond `a la surface sous la courbe v(t)
3. v1=at ;v2=vmax ;v3=vmax −a(t−(t1+τ))
4. τ= 34 set vmax = 85 km/h
Exercice 7. Distance de s´ecurit´e.
1. v=v1
1 + αv1tet x=1 αln(1 + αv1t)
2. v=v1e−αx
3. x2=v2t+d
4. t0=1
αv1v1 v2−1
5. 45,95 m
Exercice 8. Trajectoire parabolique.
1. y=x2−2x
2. v= 2√5 + 16t2−16t
3. ~a = 8~ey;aT= 16 2t−1
√5 + 16t2−16t;aN= 8 1 √5 + 16t2−16t
Exercice 9. Mouvement h´elico
¨
ıdal.
1. ~v =a˙ θ~eθ+h˙ θ~ez
~a =−a˙ θ2~er+a¨ θ~eθ+h¨ θ~ez
2. tan α=h
a
3. si ˙ θ=ωalors ~a =−aω2~er
R=ω2(a2+h2)
aω2
Exercice 10. Vitesse et acc´el´eration en coordonn´ees sph´eriques.
1. voir cours
2. voir cours
3. voir cours
4. 
~er= sin θ~eρ+ cos θ~ez
~eθ= cos θ~eρ−sin θ~ez
~eϕ=~eϕ
d~er
dt =˙
θ~eθ+ ˙ϕsin θ~eϕ
d~eθ
dt =−˙
θ~er+ ˙ϕcos θ~eϕ
d~eϕ
dt =−˙ϕ(sin θ~er+ cos θ~eθ)
5. ~v = ˙r~er+r˙ θ~eθ+rsin θ˙ϕ~eϕ
~a =
(¨r−r˙ θ2−rsin2θ˙ϕ2)~er
+(2 ˙r˙ θ+r¨ θ−rsin θcos θ˙ϕ2)~eθ
+(2 ˙r˙ϕsin θ+ 2r˙ θ˙ϕcos θ+rsin θ¨ϕ)~eϕ