É TUDE D ’ UN SYSTÈME PROIE - PRÉDATEUR On s’intéresse à l’évolution couplée de deux populations : des chouettes et des souris. On note respectivement Cn et Sn le nombre, en milliers, de chouettes et de souris au 1er juin de l’année 2010 + n, où n désigne un entier naturel. Les scientifiques modélisent la prédation entre ces deux espèces de la manière suivante : Pour tout entier naturel n : Cn+1 = 0, 5Cn + 0, 4Sn Sn+1 =−0, 104Cn + 1, 1Sn Les coefficients 0, 5 et 1, 1 indiquent la croissance de chaque espèce en isolation : les chouettes . . . . . . . . . . . . . . . sans nourriture tandis que les souris . . . . . . . . . . . . . . . sans prédateurs. Les deux autres nombres 0, 4 et −0, 104 mesurent la conséquence de la prédation : positif pour les chouettes et négatif pour les souris. En 2010, on comptait 3000 chouettes et 2000 souris. On se propose d’étudier l’évolution de ce processus à long terme. Expérimentation avec tableur 1. Réaliser la feuille de calcul ci-contre. Que remarque-t-on ? Quelle conjecture peuton émettre quant à la proportion de chaque espèce à long terme ? 2. L’évolution est-elle influencée par les conditions initiales ? Justification avec l’outil matriciel Cn On note Un la matrice colonne Sn 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+1 = AUn où A est une matrice carrée que l’on déterminera. 2. En déduire une relation Un et U0 . 1 −1 10 5 5 1, 02 0 3. On donne les matrices P = ;Q= et D = . 13 1 0 0, 58 55 13 −10 Calculer QP puis démontrer que A = PDQ. 4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, An = PDn Q. 5. En déduire les coefficients de la matrice Un en fonction de n. 6. Déterminer la limite de chacune des suites (Cn ), (Sn ). Sn . (On pourra factoriser numérateur et dénominateur par 7. Déterminer la limite de Cn (1, 02)n pour lever l’indétermination.) 8. Répondre au problème posé et vérifier la cohérence avec les conjectures émises grâce au tableur. 1