On s`intéresse à l`évolution couplée de deux po

É TUDE
D ’ UN SYSTÈME PROIE - PRÉDATEUR
On s’intéresse à l’évolution couplée de deux populations : des chouettes et des souris. On note
respectivement Cn et Sn le nombre, en milliers,
de chouettes et de souris au 1er juin de l’année
2010 + n, où n désigne un entier naturel.
Les scientifiques modélisent la prédation entre
ces deux espèces de la manière suivante :
Pour tout entier naturel n :
Cn+1 = 0, 5Cn + 0, 4Sn
Sn+1 =−0, 104Cn + 1, 1Sn
Les coefficients 0, 5 et 1, 1 indiquent la croissance de chaque espèce en isolation : les
chouettes . . . . . . . . . . . . . . . sans nourriture tandis que les souris . . . . . . . . . . . . . . . sans prédateurs.
Les deux autres nombres 0, 4 et −0, 104 mesurent la conséquence de la prédation : positif
pour les chouettes et négatif pour les souris.
En 2010, on comptait 3000 chouettes et 2000 souris.
On se propose d’étudier l’évolution de ce processus à long terme.
Expérimentation avec tableur
1. Réaliser la feuille de calcul ci-contre. Que
remarque-t-on ? Quelle conjecture peuton émettre quant à la proportion de
chaque espèce à long terme ?
2. L’évolution est-elle influencée par les
conditions initiales ?
Justification avec l’outil matriciel
Cn
On note Un la matrice colonne
Sn
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+1 = AUn où A est une matrice carrée que
l’on déterminera.
2. En déduire une relation Un et U0 .
1 −1
10 5
5
1, 02
0
3. On donne les matrices P =
;Q=
et D =
.
13 1
0
0, 58
55 13 −10
Calculer QP puis démontrer que A = PDQ.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, An = PDn Q.
5. En déduire les coefficients de la matrice Un en fonction de n.
6. Déterminer la limite de chacune des suites (Cn ), (Sn ).
Sn
. (On pourra factoriser numérateur et dénominateur par
7. Déterminer la limite de
Cn
(1, 02)n pour lever l’indétermination.)
8. Répondre au problème posé et vérifier la cohérence avec les conjectures émises grâce
au tableur.
1