On s`intéresse à l`évolution couplée de deux po

ÉTUDE D’UN SYSTÈME PROIE-PRÉDATEUR
On s’intéresse à l’évolution couplée de deux po-
pulations : des chouettes et des souris. On note
respectivement Cnet Snle nombre, en milliers,
de chouettes et de souris au 1er juin de l’année
2010 +n, où ndésigne un entier naturel.
Les scientifiques modélisent la prédation entre
ces deux espèces de la manière suivante :
Pour tout entier naturel n:
Cn+1=0, 5Cn+0, 4Sn
Sn+1=−0, 104Cn+1, 1Sn
Les coefficients 0, 5 et 1, 1 indiquent la croissance de chaque espèce en isolation : les
chouettes ............... sans nourriture tandis que les souris . . . . . . . . . . . . . . . sans préda-
teurs.
Les deux autres nombres 0, 4 et −0, 104 mesurent la conséquence de la prédation : positif
pour les chouettes et négatif pour les souris.
En 2010, on comptait 3000 chouettes et 2000 souris.
On se propose d’étudier l’évolution de ce processus à long terme.
Expérimentation avec tableur
1. Réaliser la feuille de calcul ci-contre. Que
remarque-t-on ? Quelle conjecture peut-
on émettre quant à la proportion de
chaque espèce à long terme ?
2. L’évolution est-elle influencée par les
conditions initiales ?
Justification avec l’outil matriciel
On note Unla matrice colonne Cn
Sn
1. Montrer que, pour tout entier naturel n,Un+1=AUnoù Aest une matrice carrée que
l’on déterminera.
2. En déduire une relation Unet U0.
3. On donne les matrices P=10 5
13 1;Q=1
55 −1 5
13 −10et D=1, 02 0
0 0, 58.
Calculer QP puis démontrer que A=PDQ.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel n,An=PDnQ.
5. En déduire les coefficients de la matrice Unen fonction de n.
6. Déterminer la limite de chacune des suites (Cn),(Sn).
7. Déterminer la limite de Sn
Cn
. (On pourra factoriser numérateur et dénominateur par
(1, 02)npour lever l’indétermination.)
8. Répondre au problème posé et vérifier la cohérence avec les conjectures émises grâce
au tableur.
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