Modélisation du comportement électromécanique des suspensions

Modélisation du comportement électromécanique des
suspensions électrorhéologiques en traction-compression
G. Napoli, R. Drouot et G. Racineux
Laboratoire d’Etude Mécanique des Assemblages (CNRS – FRE 2481), Versailles
Résumé : On appelle fluide électro-rhéologique une suspension de particules polarisables dans un fluide non
polarisable. Ces fluides, sous l'action d'un champ électrique, forment un solide constitué de structures
fibreuses. Nous proposons une modélisation du comportement de ces matériaux, dans leur phase solide, dans
le cadre de la thermodynamique avec variables internes. Nous appliquons les équations de bilan linéaires des
milieux continus diélectriques et nous proposons de nouvelles équations constitutives. Nous introduisons
l'allongement relatif des fibres comme variable interne.
Mots-clés : Electrorhéologie, couplage électrique-mécanique, variable interne.
Abstract: A suspension of polarizable in nonpolarizable fluid is called an electroreological fluid. Under the
action of an electric field, these suspensions form a solid constituted by fibrous structures. We propose a
model of these materials behavior in solid phase, within the theory of thermodynamics with internal
variables. We apply the linear balance equation of dielectric continuum media and we propose new
constitutive equations. We introduce the relative stretch of the fibers as internal variable.
1. Introduction
C’est W. M. Winslow [1] qui fut le premier à mettre
en évidence ce que l’on appelle aujourd’hui l’effet
électro-rhéologique (ER). Lorsque l’on applique un
champ électrique à des suspensions de particules
solides polarisables dans un fluide non polaire de
faible conductivité, les particules se polarisent et du
fait des interactions électriques migrent dans le
fluide pour former des chaînes dans la direction du
champ électrique [2]. Pratiquement le milieu passe
d’un état fluide à un état solide. Ce changement
d'état est réversible et a un temps caractéristique de
l'ordre de quelques millisecondes. Ces propriétés
permettent d'envisager l'utilisation des fluides ER
dans divers dispositifs dits ''intelligents'' [3] :
amortisseurs actifs, servovalves, freins...
Dans le cadre de ce travail [4] nous nous sommes
intéressés à la modélisation du comportement
électromécanique des fluides ER en phase solide
sous le seuil de rupture des chaînes avec comme
point de départ la description continue des milieux
ayant des propriétés électromécaniques développée,
entre autre, par G.A. Maugin et Eringen.
2. Expériences de traction - compression
Dans le cadre de ce travail nous nous sommes
appuyés sur les expériences de traction compression réalisés par Vieira et al. [5]. Le
matériau à tester est placé entre deux électrodes
circulaires à une distance initiale fixée. Le plateau
supérieur est mobile, le plateau inférieur fixé et,
pendant la durée de l’essai, la différence de potentiel
électrique entre les deux électrodes est maintenue
constante. L’essai peut être effectué de façon quasistatique ou dynamique.
Figure 1 : Evolution, en compression et pour différentes
valeurs du champ électrique initial, de σ en fonction de ε
(extrait de Vieira et al.)
Etant donné le cadre de notre étude nous avons
retenu particulièrement de ces expériences les trois
points suivants : (i) Dans le cadre des petites
pertubations (cadre de notre modélisation), et pour
une évolution quasi-statique du déplacement on
constate que l’effort évolue linéairement, en traction
comme en compression (Figure 1), en fonction du
déplacement imposé, (ii) Les interactions entre les
particules sont d’autant plus importantes que le
champ électrique initial est élevé. On constate donc
logiquement (Figure1), en traction comme en
compression, que l’effort est d’autant plus important
que le champ électrique initial est élevé., (iii) en
traction - compression cyclique (Figure 2) on
observe l’existence de cycles d’hystérésis.
u = u d sur ∂ u Ω et σ n = F d sur ∂σ Ω
(8)
(9)
t
φ = φd sur ∂φ Ω et D n = Dd sur ∂σ Ω
ξ (0) = ξ eq
(10)
0
Où χ , ε et C sont des matrices de coefficients
caractérisant les propriétés électro-mécanique du
fluide ER.
4. Conclusion
Les résultats théoriques obtenus sont en bon accord
avec les résultats expérimentaux et encourageants
pour la validité du modèle envisagé (Figure 3).
Figure 2 : Evolution en traction – compression cyclique
de σ en fonction de ε (extrait de Vieira et al.)
3. Modélisation
D’un point de vue électrique le fluide est modélisé
comme un milieu diélectrique linéaire et anisotrope.
D’un point de vue mécanique, nous modélisons le
milieu comme un matériau élastique. Pour rendre
compte des phénomènes dissipatifs (hystérésis) mis
en
évidence
expérimentalement
[5]
nous
introduisons une variable interne ξ dont la signification mécanique est celle d’un allongement unitaire
des chaînes de particules [6][4].
Figure 3 : Hystérésis en condition de chargement cyclique
Références
- conservation de la masse
[1] Winslow W.M., J. Appl. Phyis., 20, 1137 (1949).
div(u ) = 0
(1)
- conservation de la quantité de mouvement
div(σ ) = 0
(2)
- équations de maxwell
div( D ) = 0
(3)
rot ( E ) = 0 ⇒ E = − grad (φ )
(4)
- relations de comportement
σ = − p I − ε 0 E + C grad (u ) +
2
(5)
0t
µ P 0 (ξ − ξ eq )τ τ
0
D = χ E + ε 0 grad (u )
2
(6)
0t
.
0
.
− µ P 0 (ξ − ξ eq ) = α (τ ε τ − ξ )
- conditions aux limites et initiale
(7)
[2] Wen W., Zheng D.W., Tu K.N., Chain/column
evolution and corresponding electrorheological
effect. J. Appl. Phys., 85, 530 (1999).
[3] Stanway R., Sproston J.L., El-Wahed A.K.,
Applications of electro-rheological fluids in
vibration control : a survey. Smart Mater. Struct., 5,
464 (1996).
[4] Napoli G., Contribution à la modélisation
thermodynamique des fluides électro-rhéologiques.
Thèse de doctorat de l’Université ParisVI (2002).
[5] Vieira S.L., Arruda A.C.F., Electrorheological
fluids response under mechanical testing. J. Int. Mat.
Syst. And Struct., 9, 1, 44-52 (1998).
[6] Kiryushin V., Mathematical model of structure
phenomena in magnetic fluids. J. Mag. Mag. Mater.,
39, 14 (1983).