Corrigé quelques exo

Exercices Chapitre 6 : sélection
Exercice 6.1. Polynôme de Taylor (apprendre par coeur) :
– Pour f (x) = sin(x) les dérivées sont f 0 = cos, f 00 = − sin(x), f 000 =
− cos(x), f (iv) = sin(x), f (v) = cos(x) et f (0) = 0, f 0 (0) = 1, f 00 (0) =
0, f 000 (0) = −1, f (iv) (0) = 0, f (v) (0) = 1 et donc
1 5
1
x.
P5 (sin x) = x − x3 +
6
120
– Pour cos(x) on a
1
1
P5 (cos x) = 1 − x2 + x4 .
2
24
– Pour ex on trouve P5 (ex ) = x + 12 x2 + 3!1 x3 + 4!1 x4 + 5!1 x5 .
– Pour ln(1 + x) on a P5 (ln(1 + x)) = x − 12 x2 + 13 x3 − 14 x4 + 15 x5 .
Exercice 6.3.
1. Utiliser : On a Pn (f ·g) = troncature à degré n du produit Pn (f )·
Pn (g) et les résultats de l’exo 6.1 ; on désigne σ≤n ce troncature.
1 4
1 2 1 3 1 4
1 2
P4 (cos x) · P4 (ln(1 + x)) = σ≤4 (1 − x + x ) · (x − x + x − x )
2
24
2
3
4
1
1
= x − x2 − x3 .
2
6
3. On utilise d’abord que 1 + y + y 2 + y 3 + y 4 + · · · =
1
et ensuite on
1−y
pose y = sin(x) = x − 16 x3 + o(x4 ) ce qui donne
1
1 3 2
1 3 3
1 3 4
1 3
= σ≤4 1 + x − x + (x − x ) + (x − x ) + (x − x ) + o(x4 )
1 − sin(x)
6
6
6
6
1
1 3
= 1 + x − x + (x2 − x4 ) + x3 + x4 + o(x4 )
6
3
5
2
= 1 + x + x2 + x3 + x4 + o(x4 ).
6
3
Exercice 6.5.
(1 + x)
−2
1.
−2 2
−2 n
= 1−2x +
x + ··· +
x + o(xn )
2
n
= 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 + · · · + (−1)n (n + 1)xn + o(xn ).
Donc
(1 − x)−2 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + · · · + (n + 1)xn + o(xn ).
1
2.
1
= 1 + x + · · · + xn + xn+1 + o(xn+1 ).
1−x
Donc, en dérivant :
0
1
1
=
= 1 + 2x + · · · (n + 1)xn + o(xn ).
1−x
(1 − x)2
3.
1
1−x
2
= σ≤n (1 + x + · · · + xn + xn )2 + o(xn )
= (1 + x + (x2 + x2 ) + (x3 + x3 + x3 ) + · · ·
n
+(x
· · + xn}) + o(xn ).
| + ·{z
n fois
Exercice 6.8.
√
√
1. On utilise que arcsin(x)0 = 1/ 1 − x2 . Donc
(− 21 ) · (− 21 − 1) 4
1 2
1
2 − 12
= (1 − x ) = 1 − (− )(x ) +
x + o(x4 )
2
2
2
1−x
|
{z
}
= 38
et donc en intégrant :
Z
3 5
1
1
√
arcsin(x) =
x + o(x5 ).
= constante + x + x4 +
2
6
8·5
1−x
Le constante vaut arcsin(0) = 0.
1 5
2. On a sin(y) = y − 61 y 3 + 120
y + o(y 5 ) et donc
1
x = sin(arcsin x) = (ax + bx3 + cx5 ) − (ax + bx3 + cx5 )3
6
1
+
(ax + bx3 + cx5 )5 + o(x5 )
120
1
1 5 5
3
= ax + bx + cx5 − (a3 x3 + 3a2 bx5 ) +
a x + o(x5 )
6
120
1
1
1
1
1
1
donc a = 1, b − 6 = 0, c + 120 − 2 b = 0. Donc b = 6 et c = 12
− 120
=
9
3
= 40 .
120
Exercice 6.11.
1. On a
1
= 1 + x2 + x4 + · · · + x2n + o(x2n+1 ).
2
1−x
En intégrant on a donc
Z
1
1
1
1
argtanh(x) =
= x+ x3 + x5 +· · ·+
x2n+1 +o(x2n+2 ).
2
1−x
3
5
2n + 1
argtanh(x)0 =
2
2. On a ln(1 + x) = x − 12 x2 + 13 x3 + · · · + (−1)n+1 n1 x)n et ln(1 − x) =
−x − 12 x2 − 31 x3 + · · · − n1 xn et donc en prenant la différence, seul les
termes de degré impair survivent et on a :
1
1
1
argtanh(x) = x + x + x3 + x5 + · · · +
x2n+1 + o(x2n+2 ).
3
5
2n + 1
Exercice 6.13.
donc
2
1. On a ex = 1 + x2 + o(x2 ), cos(x) = 1 − 21 x2 + o(x2 )
2
2
ex − cos(x)
ex − cos(x)
1
3
= (1 + ) + o(1) =⇒ lim
= .
2
2
x→0
x
2
x
2
4. On a ln(1 + x) = x − 12 x2 + o(x2 ) et sin(x) = x + o(x2 ) et donc
ln(1 + x) − sin(x)
1
ln(1 + x) − sin(x)
1
=
−
+
o(1)
=⇒
lim
=
−
.
x→0
x2
2
x2
2
8. On a y = x−sin x = 61 x3 +o(x3 ) et donc sin(y) = y+o(y) = 61 x3 +o(x3 ).
1
1
Aussi (1 + x3 ) 2 = 1 + 12 x3 + o(x3 ) et donc (1 + x3 ) 2 − 1 = 21 x3 (1 + o(1))
et donc
1
1
sin(x − sin(x))
= (1 + o(1)) =⇒ lim
= .
1
x→0 (1 + x3 ) 2 − 1
3
3
(1 + x3 ) − 1
sin(x − sin(x))
1
2
Dans ce calcul on utilise que si f (x) = 1 + o(1), alors aussi 1/f (x) =
1 + o(1).
12. On utilise arctan(x) = x + 31 x3 + o(x3 ), tan(x) = x + 13 x3 + o(x3 ),
sin(x) = x − 61 x3 + o(x3 ) et arcsin(x) = x + 16 x3 + o(x3 ). Donc
1
arctan(x) − sin(x) = − x3 + o(x3 )
6
1 3
1
tan(x) − arcsin(x) =
x + o(x3 ) = x3 (1 + o(1))
6
6
arctan(x) − sin(x)
arctan(x) − sin(x)
= −1 + o(1) =⇒ lim
= −1.
x→0 tan(x) − arcsin(x)
tan(x) − arcsin(x)
Dans ce calcul on utilise de nouveau que si f (x) = 1 + o(1), alors aussi
1/f (x) = 1 + o(1).
3