Corrigé quelques exo

Exercices Chapitre 6 : s´election
Exercice 6.1. Polynˆome de Taylor (apprendre par coeur) :
– Pour f(x) = sin(x) les d´eriv´ees sont f0= cos, f00 =−sin(x), f000 =
−cos(x), f(iv)= sin(x), f(v)= cos(x) et f(0) = 0, f0(0) = 1, f00(0) =
0, f000(0) = −1, f(iv)(0) = 0, f(v)(0) = 1 et donc
P5(sin x) = x−1
6x3+1 120x5.
– Pour cos(x) on a
P5(cos x)=1−1
2x2+1 24x4.
– Pour exon trouve P5(ex) = x+1
2x2+1 3! x3+1 4! x4+1 5! x5.
– Pour ln(1 + x) on a P5(ln(1 + x)) = x−1
2x2+1 3x3−1 4x4+1 5x5.
Exercice 6.3. 1. Utiliser : On a Pn(f·g) = troncature `a degr´e ndu produit Pn(f)·
Pn(g) et les r´esultats de l’exo 6.1 ; on d´esigne σ≤nce troncature.
P4(cos x)·P4(ln(1 + x)) = σ≤4(1 −1
2x2+1 24x4)·(x−1 2x2+1 3x3−1 4x4)
=x−1
2x2−1 6x3.
3. On utilise d’abord que 1 + y+y2+y3+y4+··· =1
1−yet ensuite on
pose y= sin(x) = x−1
6x3+o(x4) ce qui donne
1
1−sin(x)=σ≤41 + x−1 6x3+ (x−1 6x3)2+ (x−1 6x3)3+ (x−1 6x3)4+o(x4)
= 1 + x−1
6x3+ (x2−1 3x4) + x3+x4+o(x4)
= 1 + x+x2+5
6x3+2 3x4+o(x4).
Exercice 6.5. 1.
(1 + x)−2= 1−2x+−2
2x2+··· +−2 nxn+o(xn)
= 1 −2x+ 3x2−4x3+ 5x4+··· + (−1)n(n+ 1)xn+o(xn).
Donc
(1 −x)−2= 1 + 2x+ 3x2+ 4x3+ 5x4+··· + (n+ 1)xn+o(xn).
1

2. 1
1−x= 1 + x+··· +xn+xn+1 +o(xn+1).
Donc, en d´erivant :
1
1−x0
=1
(1 −x)2= 1 + 2x+···(n+ 1)xn+o(xn).
3.
1
1−x2
=σ≤n(1 + x+··· +xn+xn)2+o(xn)
= (1 + x+ (x2+x2)+(x3+x3+x3) + ···
+(xn+··· +xn
| {z }
nfois
) + o(xn).
Exercice 6.8. 1. On utilise que arcsin(x)0= 1/√1−x2. Donc
1
√1−x2= (1 −x2)−1
2= 1 −(−1
2)(x2) + (−1
2)·(−1 2−1)
2
| {z }
=3
8
x4+o(x4)
et donc en int´egrant :
arcsin(x) = Z1
√1−x2= constante + x+1
6x4+3 8·5x5+o(x5).
Le constante vaut arcsin(0) = 0.
2. On a sin(y) = y−1
6y3+1 120 y5+o(y5) et donc
x= sin(arcsin x) = (ax +bx3+cx5)−1
6(ax +bx3+cx5)3
+1
120(ax +bx3+cx5)5+o(x5)
=ax +bx3+cx5−1
6(a3x3+ 3a2bx5) + 1 120a5x5+o(x5)
donc a= 1, b−1
6= 0, c+1 120 −1 2b= 0. Donc b=1 6et c=1 12 −1 120 =
9
120 =3 40 .
Exercice 6.11. 1. On a
argtanh(x)0=1
1−x2= 1 + x2+x4+··· +x2n+o(x2n+1).
En int´egrant on a donc
argtanh(x) = Z1
1−x2=x+1 3x3+1 5x5+···+1 2n+ 1x2n+1 +o(x2n+2).
2

2. On a ln(1 + x) = x−1
2x2+1 3x3+··· + (−1)n+1 1 nx)net ln(1 −x) =
−x−1
2x2−1 3x3+··· − 1 nxnet donc en prenant la diff´erence, seul les
termes de degr´e impair survivent et on a :
argtanh(x) = x+x+1
3x3+1 5x5+··· +1 2n+ 1x2n+1 +o(x2n+2).
Exercice 6.13. 1. On a ex2= 1 + x2+o(x2), cos(x)=1−1
2x2+o(x2)
donc
ex2 −cos(x)
x2= (1 + 1 2) + o(1) =⇒lim
x→0
ex2 −cos(x)
x2=3 2.
4. On a ln(1 + x) = x−1
2x2+o(x2) et sin(x) = x+o(x2) et donc
ln(1 + x)−sin(x)
x2=−1 2+o(1) =⇒lim
x→0
ln(1 + x)−sin(x)
x2=−1 2.
8. On a y=x−sin x=1
6x3+o(x3) et donc sin(y) = y+o(y) = 1 6x3+o(x3).
Aussi (1 + x3)1
2= 1 + 1
2x3+o(x3) et donc (1 + x3)1
2−1 = 1
2x3(1 + o(1))
et donc
sin(x−sin(x))
(1 + x3)1
2−1=1
3(1 + o(1)) =⇒lim
x→0
sin(x−sin(x))
(1 + x3)1
2−1=1
3.
Dans ce calcul on utilise que si f(x) = 1 + o(1), alors aussi 1/f(x) =
1 + o(1).
12. On utilise arctan(x) = x+1
3x3+o(x3), tan(x) = x+1 3x3+o(x3),
sin(x) = x−1
6x3+o(x3) et arcsin(x) = x+1 6x3+o(x3). Donc
arctan(x)−sin(x) = −1
6x3+o(x3)
tan(x)−arcsin(x) = 1
6x3+o(x3) = 1 6x3(1 + o(1))
arctan(x)−sin(x)
tan(x)−arcsin(x)=−1 + o(1) =⇒lim
x→0
arctan(x)−sin(x)
tan(x)−arcsin(x)=−1.
Dans ce calcul on utilise de nouveau que si f(x) = 1 + o(1), alors aussi
1/f(x) = 1 + o(1).
3