LIMITES DE LA MECANIQUE CLASSIQUE

CHAPITRE I
LIMITES DE LA MECANIQUE CLASSIQUE
I-1 INTRODUCTION
Jusqu’à la fin du 19ème siècle les physiciens considèrent que la nature est composée de matière et de radiation (ondes).
LA MATIERE : est composé de particules qu’on peut déterminer leurs positions dans l’espace à l’aide des lois de neutron, par exemple mouvements des planètes,
chute libre des corps…..
Mais après la découverte de l’atome, on a réalisé que les lois de la mécanique classique n’étaient pas suffisantes pour expliquer la stabilité des atomes.
Au cours de leurs mouvements, les électrons rayonnent de l’énergie sous forme d’ondes électromagnétiques (poste d’énergie), donc ils s’approchent du noyau
jusqu’ils tombent sur ce dernier, qui est en contradiction avec l’expérience.
-LA RADIATION : est de nature continue et obéit aux lois électromagnétiques (EM) de Maxwell –Au début, la théorie de Maxwell explique tous les phénomènes
alliés aux radiations EM : propagation de la lumière et sa nature ondulatoire ; interférence et diffraction.
La première difficulté rencontrée par la théorie de Maxwell a surgit lorsque les physiciens ont voulu étudié l’interaction de la matière avec les radiation
électromagnétique. Les résultas obtenus de certaines expériences n’étaient pas explicables dans le cadre de la théorie de Maxwell – cette difficulté a donné naissance
à l’idée de la quantification de l’énergie EM et l’introduction de la notion du « quantum d’énergie »
Nous allons voir quatre expériences qui constituent la base de l’introduction du « quantum d’énergie » et qui ont conduit à la construction de la mécanique
quantique.
I-1. Rayonnement du corps noir
Lorsqu’on chauffe un corps à une température T, on observe qu’il rayonne de l’énergie sous forme d’ondes électromagnétiques. La densité de l’énergie
rayonnée (énergie rayonnée par unité de volume) est une fonction croissante de la température T, u = f(T) , d’autre part, lorsque la température du corps chauffée
augmente, sa couleur change, passant du rouge au violet .Les couleurs sont dues aux ondes EM rayonnées par le corps. A chaque onde EM correspond une longueur
d’onde λ et une fréquence
ν=
c
λ
Où c : est la vitesse de la lumière dans le vide.
1
ν =c/λ
U.V.
violet
bleue
4500Å
vert
5000Å
jaune
5700Å
orange
5900Å
rouge
I.R.
λ
6100Å
Figure1 : Spectre électromagnétique
Donc on déduit que la densité de l’énergie rayonnée dépend aussi des fréquences des ondes EM émises et on peut dire que le rayonnement des corps chauffés est un
phénomène thermique et lumineux µ= µ(T,ν).Pour l’expliquer on se limite au corps noir qui est par définition un corps qui absorbe toutes les radiations incidentes
sur lui.
Pratiquement on construit un corps noir à l’aide d’une enceinte solide opaque en présentant une ouverture très petite pour effectuer des mesures expérimentales sur
les radiations rayonnées de cette enceinte.
Enceinte
Ouverture
Figure 2 : figure schématique d’un corps noir
2
Notre but est de déterminer, la répartition spectrale de la densité d’énergie, c'est-à-dire trouver une expression en fonction de la température et la fréquence de la
densité d’énergie u(T, ν) .
D’après les travaux expérimentaux de Lemmer et Wien, la densité de l’énergie rayonnée est une courbe qui possède un maximum qui dépend de la température T
(figure 3).
u(T,ν)
T1<T2<T3
T1
T2
T3
0
νm1νm2 νm3
ν
Figure 3 : La répartition spectrale de la densité d’énergie rayonnée par un corps noir
La valeur maximale de u(T,ν) augmente en augmentant la température et elle se déplace vers les fréquences élevées quand la température augmente. De plus Wien a
montré que u(T,ν) est de la forme (loi de Wien)
u(T,ν)=ν3f(ν/T)
Stephan a montré en utilisant la thermodynamique que la densité totale pour toutes les fréquences est donnée par la relation suivante connue sous la loi de
Stephan :
u (T ) = aT 4
où a est une constante positive qui ne dépend pas de la température
L’explication de ces résultats expérimentaux (figure 3) a nécessité l’introduction de modèles théoriques
3
a) Modèle classique :
Pour déterminer la fonction f apparaissant dans l’expression de Wien ci-dessous, Rayleigh et Jeans ont supposé qu’à l’intérieur de l’enceinte on a des ondes
électromagnétiques stationnaires, leurs fréquences propres constituent un spectre caractérisé par une densité ρ(ν) ( ρ(ν)dν représente le nombre d’ondes ayant des
fréquences comprises entre ν et ν+dν). En supposant que l’énergie moyenne d’une onde stationnaire est E ν On peut écrire :
u(T, ν) = ρ(ν)Eν
8π
ρ (ν ) = 3 ν 2
c
La théorie de l’électromagnétisme donne : (Exercice1)
En considérant les ondes EM comme des ondes stationnaires, et en utilisant la mécanique statistique de Maxwell-Boltzman pour déterminer la valeur de l’énergie
moyenne E ν (exrcice2), ( E ν = k BT ) . Rayleigh et Jeans ont trouvé :
u(T, ν) =
8ππ2
 8π T 
k BT = ν 3  3 k B 
3
c
ν
c
où kB=1,38 10-28J/K est la constante de Boltzman.
Cette loi est en accord avec les résultats expérimentaux pour les faibles fréquences seulement
U(T,ν)
R. J (
théorie)
Expérience
ν
Ce qui a poussé Planck pour la première fois, a supposé que l’énergie électromagnétique est quantifiée.
4
b) Modèle quantique
Planck a supposé que l’énergie des oscillations harmoniques qui représentent les ondes électromagnétiques stationnaires dans l’enceinte n’est pas continue mais
prenant des valeurs discrets Nε , où N est un nombre entier et ε est un quantum d’énergie ) avec cette supposition et en utilisant la mécanique statistique classique
pour trouver la valeur de Eν Panck a trouvé :
u(T, ν) =
8ππ2  ε 


c3  eε/k B T 
De plus, Planck a supposé que ε=hν pour que sa loi aura la même forme que la loi de Wien :
u(T, ν) = ν 3
8ππ 1
c3 e hνν/ B T
où h est la constante de Planck.
cette loi est en accord avec les courbes expérimentaux de Lemmer et Wien.
Pour obtenir la densité totale :
∞
u(T) = ∫ u(T, ν)dν =
0
8ππ ∞ ν 3dν
∫
c3 0 eβhν − 1
où β =
1
k BT
on a :
(eβhν − 1) −1 =
∞ − nββh
∑
n =1
e
, donc u(T) =
8ππ ∞ 3 −βnhν
∫ν e
dν
c3 0
En intégrant par partie :
∞ 3 − βnhν
∫
0
νe
∞
dν = 0 + 3 ∫ ν 2e −βnhν dνν/βn
0
6 ∞ −βnhν
6 ∞ −βnhν
6
∫e
∫ νe
dν =
dν =
=
2 0
3 0
( βnh)
( β nh))
( β nh)) 4
48π
∞ 1
u(T) = 3 3 (k BT) 4 ∑ 4
n
=1 n
ch
4
5
48π
8π 5k B
π4
∞ 1
4
4
, alors u(T) =
avec
Sachant que ∑ 4 =
(k
T)
=
aT
=
a
B
n =1 n
90
15c 3h3
15c3h 3
Ce résultat est en accord avec la loi de Stephan
5
On peut montrer aussi que la loi de Rayleigh et Jeans est un cas particulier de la loi de Planck en effet pour
u P (T ,ν )
βhν << k B T
→
hν
<< 1 , on a e βhν ≈ 1 + β hν et
k BT
8πk BTν 2
= u RJ (T ,ν )
c3
Le modèle quantique de Plank a expliqué le phénomène du rayonnement du corps noir, donc l’hypothèse de la quantification de l’énergie des oscillations
harmoniques (ondes électromagnétiques stationnaires) est correcte Mais la théorie de Planck n’est pas totalement juste pour deux raisons :
1. Planck a utilisé la mécanique statistique de Maxwell–Boltzman pour calculer la valeur de l’énergie moyenne Eν mais les oscillations harmoniques obéissent
la mécanique statistique de Bose–Einsten.
2. Planck a considéré que l’énergie de l’oscillation est nhv mais les études qui ont suivies comme on verra( oscillateur harmonique), ont montré que l’énergie
1
2
est (n + )hν
Mais la chance a voulu que ces deux erreurs se compensent pour donner un résultat correct.
II-2. L’EFFET PHOTO –ELECTRIQUE
En 1887 HERTZ découvrait ce phénomène, en bombardement un métal avec des radiations uv, les électrons se libèrent de ce dernier. Maintenant, on étudie l’effet
photoélectrique à l’aide du dispositif montré sur la figure 4..
uv
mA
anode
E
v
cathode
Figure 4 : Schéma représentant le dispositif qui permet l’étude de l’effet photo électrique.
6
Les rayons uv incidents sur la cathode libèrent des électrons- qui sont accélérés par un champ électrique due à une différence de potentiel (DDP)entre l’anode et la
cathode v= va-vc> 0 qui arrivent à l’anode un courant électrique passe dans le circuit.
Les résultats obtenus dans cette expérience sont :
1. Lorsque la fréquence des rayons incidents est inférieure à une certaine valeur qu’on le note par ν s appelée fréquence du seuil, le courant ne passe pas dans le
circuit. On conclue que la libération des électrons- ne se produit que pour des radiations de fréquence supérieurs à ν s .
2. La valeur de ν s dépend du métal constituant la cathode.
3. Lorsque la DDP entre l’anode et la cathode est négative v= va-vc<0, on observe que le courant dans le circuit s’annule pour une valeur déterminée vO qui dépend de
r
r
2
la fréquence des rayons incidents et non pas de son intensité ( I ∝ E où E est le champ électrique associé à l’onde électromagnétique).v0 dépend linéairement de ν
|v0|
νs
ν
Figure
5 Variation de |v0| avec la fréquence des radiations.
r
2
Ces résultats n’étaient pas explicables dans le cadre de la théorie continue de l’électromagnétique ( I ∝ E ) En 1905 Einstein a proposé son modèle
quantique basé sur l’aspect corpusculaire des radiations électromagnétiques; il considérait que la lumière est composée de grains transportant de l’énergie appelés
« photon » l’énergie de chaque photon est donnée par E = hν , où h : est une constante appelée constante de Planck et ν est la fréquence des ondes
électromagnétiques correspondantes
Il existe dans les métaux des électrons semi libres liés au métal par une énergie qui dépend de ce dernier appelée énergie de liaison w. Selon la théorie
d’Einstein quand un faisceau de photons tombe sur le métal constituant la cathode, les photons sont absorbés par les électrons du métal de telle sorte que chaque
électron absorbe au plus un photon et son énergie augmente de hν ; une partie de cette énergie est utilisée pour se libérer du métal (pour combattre l’énergie de
liaison) et la partie restante se transforme en énergie cinétique. Si l’énergie absorbée par l’électron est supérieure à l’énergie de liaison (hν ≥ w ), l’électron- peut se
libérer du métal mais dans le cas ou (hν < w ), l’électron reste lié au métal. La fréquence du seuil est donné par :
νs = w/ h
7
Donc ν s dépend du métal ce qui explique 1 et 2
Si hν >w, l’énergie cinétique de l’électron libéré est Ec = hν − w = h(ν − ν s ) .
Si la DDP entre l’anode et la cathode est nulle (v=vA-vC= 0) les électrons se dirigent vers l’anode avec une vitesse constante v de telle sorte que
EC= ½ mv2. Mais si ν = ν a − ν c < 0, les électrons-sont soumis à une force qui oppose leurs mouvements et ils perdent une partie de leurs énergies pour combattre
l’énergie potentielle (ev). Pour interdire les électrons à arriver à l’anode il faut appliquer une DDP, V0, telle que Ec ≤ e v 0 ( e|v0| est l’énergie potentielle de
l’électron). La valeur minimale que peut prendre |v0| est v0 =
ν =ν s
EC h
= (ν − ν s ) , et |v0| est en accord total avec 3,sa valeur varie linéairement avec ν et s’annule pour
e
e
I-3 Effet Compton
a. Description du phénomène :
Lorsqu’un faisceau de rayon x tombe sur un cristal il se diffuse dans toute les directions (voir figure 6)
Rayons x diffusés
Matière diffusante
Faisceau incident
λ0
θ
z
Spectromètre pour mesurer la longueur
d’onde des rayons x diffusés λ
Figure 6 : Effet Compton
On a observé que les rayons diffusés sont de deux types l’un dépend de la matière diffusante et l’autre indépendant de cette dernière l’étude de ce dernier à donné les
résultats suivants :
1- La longueur d’onde λ des rayons diffusés est supérieure à la longueur d’onde des rayons incidents pour θ> 0
2- Pour θ=0 λ=λ0, où λ est la longueur d’onde des rayons x diffusés.
3- La différence entre les longueurs d’onde ∆λ=λ-λ0 est une fonction croissante de θ appartenant à [0,π].
8
b. Théorie de Compton
La théorie classique n’a pas expliqué le phénomène de Compton. Compton a supposé que les rayons x sont composés de photons et les rayons diffusés
résultent de la collision des photons avec les électrons.
Avant de voir la théorie de Compton, faisons un rappel de quelques résultats de l’électrodynamique relativiste. Selon la théorie de la relativité la masse de
particule augmente durant le mouvement et la relation entre sa masse au repos (m0) et sa masse quand sa vitesse est v (M)est donné par :
M=
m0
1 − (v/c)
2
⇒ m(1 − (v/c)2 )1/2 = m 0
Où c est la vitesse de la lumière dans le vide. On déduit de la relation précédente que la masse du photon (vitesse=c) doit être nulle m 0=0. D’autre part la relation
entre l’énergie et la quantité de mouvement est E=mc2=(p2c2+m0c4)1/2 et de cette relation générale, en remplaçant m0=0 on déduit que la relation entre l’énergie du
photon de fréquence ν ,E=hν et sa quantité de p est donnée par l’expression suivante
P=
E hν h
=
=
c
c
λ
D’après la théorie de Compton, le photon incident de fréquence ν0 entre en collision avec l’électron au repos, (voir figure 7).
hν r
( 0 k , E = hν 0 )
c
Photon incident
r
( p, E = ( p 2c 2 + mec 4 )1 / 2
r
w
x
électron
φ
z
θ
r
u
hν r
u , hν )
c
Photon diffusé
(
Figure 7 : diffusion d’un photon par un électron au repos
9
Avant la collision, l’électron est au repos sa quantité de mouvement est nulle et son énergie est mec2 ( me est la masse de l’électron au repos). Le photon a
hν 0 r
k comme quantité de mouvement et hν0 comme énergie. Après la collision l’électron- se déplace dans la direction définie par ϕ d’une quantité de
c
hν r
r
mouvement p et énergie E = ( p 2c 2 + me c 4 )1 / 2 et le photon se diffuse dans la direction w définie par l’angle θ ayant une quantité de mouvement
u et une
c
énergie hν . En considérant que le choc est élastique (conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie total du système)
Conservation de l’énergie
mec2+hv0=(p2c2+mec4)1/2+hv
(1)
Conservation de la quantité de mouvement
hν 0 r hν r r
k =
u+p
c
c
(2)
on peut écrire les équations (1) et (2) sous la forme :
(p c
)
1/ 2
+ me2c 4
= mec 2 hν 0 − hν
r hν r hν r
p= 0k−
u
c
c
2 2
(3)
(4)
Prenons le carré des relations (3) et (4) et réarrangeons les termes :
p2 = (
hν 0 2 hν 2
h 2νν
) + ( ) + 2me h(ν 0 − ν ) − 2 2 0
c
c
c
hν 0 2 hν 2
h 2νν 0
) + ( ) − 2 2 cosθ
p =(
c
c
c
2
(5)
(6)
Des deux expressions (5) et (6), on déduit directement :
10
ν0
 2h 2 νν 0

h νν 0
−ν =
(1 − cos θ ) =
(
)(1 − cos θ )

2m e h  c 2
me c 2

1
h
c2
h
comme ν = , alors on obtient
− =
(
)(1 − cosθ ) ⇒ ∆λ = λ - λ0 =
(1 − cosθ )
2
λ0 λ me λ0λc
me c
λ
c
c
c
Cette formule explique les résultats expérimentaux
Le coefficient
λc =
h
a la dimension d’une longueur et il est appelé : la longueur d’onde de Compton λc et sa valeur est donnée par l’expérience
me c
h
= 0,0242 A0
me c
Comme me= 9,110-3 kg , c=3.108 m/s on peut trouver la valeur de h= 6,6110-34 JS.
Finalement on conclut que les radiations possèdent les deux aspects ondulatoire et corpusculaire (dualité onde corpuscule).
I.4. Structure atomique
a. Modèle de Rutherford
En 1911, Rutherford proposa que l’atome soit constitué d’un noyau central de charge positive et d’électron de charge négatives qui tourne autour du noyau. Ce
modèle est en contradiction avec les résultats expérimentaux pour deux raisons :
1. Instabilité : Selon la théorie de électromagnétique de Maxwell, toute charge accélérée rayonne de l’énergie d’une manière continue, et les électrons dans
leurs mouvements autour du noyau ne sont autres que des charges accélérées et selon cette théorie le système noyau électron perd continuellement de l’énergie
jusqu’au chute des électrons sur l’énergie qui est en contradiction avec la réalité.
r
r
2. Le spectre discret: prenons l’atome d’hydrogène (proton +électron), selon de principe fondamentale de la dynamique F = mγ
r
r
Où F est la force de coulomb, F = −
r r ν2 r
e2 1 r
γ
u
et
= γ n = ur , est l’accélération de l’électron,
r
4πε 0 r 2
r
11
donc
e
4πεr 2
=
mν 2
e2
⇒ν 2 =
r
4πε 0 mr
(7)
r
uθ
r
ur
électron
θ
e+
Figure 8 : Modèle de Bohr pour l’atome d’hydrogène
D’autre part l’énergie totale du système est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :
E=
1 2
1 e2 1
e2
µν −
=−
2
4πε 0 r
2 4πε 0 r
(8) on a utilisé la relation (7)
µ est la masse réduite de l’électron et du proton.
Cette relation montre que l’énergie dépend du rayon orbital de l’électron. Toute variation continue du rayon est suivie d’une variation continue de l’énergie. En
d’autre terme selon la théorie électromagnétique classique l’énergie rayonnée des atomes est continue. Ce résultat n’explique pas ce que donne l’expérience : un
spectre lumineux composé d’un ensemble de lignes, la position des lignes diffère d’un atome à un autre. Pour l’atome d’hydrogène, par exemple, la fréquence des
lignes spectrales est donnée par la loi Balmer :
12
ν = cR(
1
1
− 2)
2
n
m
Où c est la vitesse de lumière dans le vide, R est la constante de Rydberg et n et m sont des entiers (m>n).
b. Atome de Bohr
En 1913, Bohr proposa un modèle atomique qui tient compte des résultats expérimentaux et explique la stabilité des électrons. Ce modèle est le même que celui de
Rutherford sauf que BOHR a ajouté une condition (hypothèse) fondamentale, la quantification de l’intégrale de l’action :
I=
∫
r r
pdr = nh
n ∈ N + et h la constante de Planck.
Pour l’atome d’hydrogène on a les relations suivantes :
nh
r
r r
r r
r
r = rur , v = vuθ , d r = rdθuθ , donc I = m ∫ vrdθ = 2πmvr = nh , ce qui implique que v =
, où h = h / 2π . En remplaçant dans la relation (7) on obtient
mr
4πε 0 n 2h 2
n 2h 2
e2
=
d’où
=
=
(9)
r
r
n
2
mee 2
me r 2 4πε 0 me r
Cette relation montre que l’électron tourne autour du noyau dans des orbites distincts et on dit que la distance entre le noyau est l’électron est quantifiée. Pour n=1,
on obtient le plus petit rayon :
r1 =
°
4πs0 2
h
≈
A
, (Rayon de Bohr) et d’une manière générale rn=n2r1 où n est un entier positif.
0
,
53
2
me
Des deux relations 8 et 9 on déduit l’énergie l’électron dans ce modèle, qui est donnée par la relation suivante :
En = −
1 e2 2 m
E
(
)
= 21
2
2
n 4πε 0 2h
n
où E1 est l’énergie correspondant au rayon de Bohr E1 = −(
e 2 m
)
= −13,6 ev .
4ππ0 m 2
Selon cette théorie l’électron peut passer d’un orbite m d’énergie Em, à un autre n d’énergie En en absorbant ou en emettant un photon d’énergie Emn égale à la
différence entre les énergies des deux orbites. La fréquence du photon émit ou absorbé est donnée par :
13
ν mn= Em − En / h = (
e2
4πε 0
)2
me 1
1
− 2
3
2
2h m
n
I.5 Aspect ondulatoire des particules
On sait que le rayonnement électromagnétique à deux aspects ; aspect ondulatoire et aspect corpusculaire. On peut représenter les ondes électromagnétiques (champ
électrique et champ magnétique )par des ondes planes monochromatiques
r
r r
r
E (r , t ) = E0ei ( − k r + wt )
avec
E0 : l’amplitude du champ (sa valeur maximale)
ω : la pulsation
r
k : le vecteur d’onde qui détermine la direction de propagation des ondes
et on a :
r 2πur
r
ω = 2πν et k =
où u est un vecteur unitaire dans la direction de propagation.
λ
r
Dans l’aspect corpusculaire (photonique) on associé à chaque photon une énergie E et une quantité de mouvement p tel que :
r
r hν r h r 2πh r
u= u=
u = hk
E = hν , p =
λ
2πλ
c
Et le champ électrique s’écrit en fonction de l’énergie et la quantité de mouvement de la particule comme suit :
i
( − pr + Er )
r
E = E0 e
14
Louis de Brogli a généralisé la propriété de la dualité onde corpuscule pour toutes les particules matérielles, il a associé à chaque particule libre (électron, proton,
r
r
rr
etc..) une fonction d’onde ψ (r , t ) = cei (ωt − k .r ) , telle que l’énergie de la particule E et son quantité de mouvement p sont liées à la pulsation ω et le vecteur d’onde
r
r
r
k de l’onde avec les même relations précédentes : E = hn, p = hk , appelée relation de de Brogli et la fonction d’onde s’écrit sous la forme : ψ
r
( r , t ) = ce
r r
i ( Et − p . r ) / h
Cette hypothèse a été vérifiée par l’expérience de DAVISON et GERMER en 1927, la diffraction des électron. En bombardant un cristal par des électrons, on observe
la formation des anneaux sur une plaque photographique, résultant des électrons réfléchis. Ils sont semblables à ceux obtenus dans le phénomène de la diffraction
des ondes électromagnétiques. Comme la diffraction est un phénomène ondulatoire, on conclu que l’hypothèse de De Brogluie est une vérité.
r
2
La fonction d’ondeψ (r , t ) , n’a aucun sens physique en elle-même mais le carré du module de la fonction ψ (r , t ) = ψψ * est interprété comme la densité de la
r
r
probabilité de trouver le particule à l’instant t au point r dans un élément de volume dv, c'est-à-dire dans le volume entourant le point r
dp
r 2
= ψ (r , t )
dν
∫
toutl' espace
dp =
densité de probabilité
r
ψ( r , t) 2 dv = 1
∫
tpout l'espace
probabilité totale
Ce résultat montre qu’il existe une intégrale finie et on dit que la fonction d’onde est du carré sommable, en d’autres termes
est une solution de l’équation de Schrödinger : ih
∫
2
ψ dν < ∞ et cette fonction d’onde
∂ψ
= Hψ , où H est l’hamiltonien du système.
∂t
I.6 Paquet d’ondes
r
On a déjà vu chaque qu’à particule on peut associé une fonction d’ondeψ (r , t ) . La fonction d’onde la plus simple associé à une particule libre
rr
r
( − k .r + ωt )
r
r
( E = hω et p = hk est l’onde plane monochromatique Ψ (r , t ) = ac i
. La densité de probabilité de présence de cette particule dans l’élément de volume
dv est donnée par :
r 2
dp
2
= ψ (r , t ) = A
dv
qui est une constante, cela veut dire que
∫ dp = A
2
r
∫ dν = ∞ , donc ψ (r , t )
n’est pas du carré sommable pour cette raison on représente le particule libre par un
paquet d’ondes qui est la somme d’un ensemble d’ondes planes monochromatiques
15
r
ψ (r , t ) =
n
∑
j =1
r
r
r i ( − k rr + ω ( kr j ) t )
r
A(kj )e j
, où ∀j k j ≅ k0 = p / h
k1=k0-∆k
ω1= ω(k1)= ω0-∆ω
r
k0
ω0=ω(k0)
k2=k0+∆k
ω2= ω(k2)
r
Et pour simplifier, prenons k = ki
ψ ( x, t ) =
k o + ∆k
∫
k 0 − ∆k
A(k )ei (ω ( k ) t − kx ) dk
posons :
ωt − kx = ω 0 t − k 0 x + (ω − ω 0 )t − (k − k 0 ) x
ψ ( x, t ) = e i ( ω t − k
0
0 x)
k2
∫
k1
A(k )ei [(ω −ω 0 ) t − ( k − k o ) x ]dk
1444424444
3
amplitude A ( x , t ) (enveloppe de l' onde plane)
16
k
Supposons que A(k) ne varie pas beaucoup avec k dans l’intervalle [k1, k2], en d’autre termes A(k) =A. La fonction d’onde ψ ( x, t ) est onde plane de pulsation ω0 et
k1
de vecteur d’onde k0, mais son amplitude varie dans l’espace et dans le temps : A( x, t ) = A ∫ e
k2
i [(ω − ω 0 ) t − ( k − k 0 ) x ]
dk .
Comme ∆k << k0 , on peut développer ω (k ) au voisinage de k0
1 d 2ω
dω
(k − k0 ) +
) (k − k0 ) 2 + .....
ω (k ) = ω (k 0 ) +
2 k0
dk
2 dk
= ω0 +
dw
) 0 (k − k0 ) (on néglige les termes d’ordre supérieur à 1
dk
posons ξ = k − k0 ⇒
k2
∫
k1
dk =
  dw 

∆k i   dk  t − x  ξ
0
 

∫
− ∆k
A( x, t ) = A e
∆k
∫
− ∆k
dξ
dξ = A
∆k
∫
− ∆k
e
[
]
i vg t − x ξ
dξ = 2 A∆k
sin(vg t − x)∆k
(vg t − x)∆k
où vg=dω/dk)0 est la vitesse de groupe ; A(x,t) se propage comme une onde avec une
vitesse vg.
17
Si x ⟩
∆x
π
∆k
, ψ ( x, t )
2
 −π
π 
,
devient négligeable, donc elle a une valeur considérable dans l’intervalle 
 , posons ∆x∆k = π alors on a la relation suivante
 2∆k 2∆k 
h
h
∆k = ∆x∆p ≥
qui s’appelle la relation d’incertitude d’ Heisenberg.
2π
2
Exercices
Exercice1:
On veut étudier les ondes stationnaires dans une enceinte à 3 dimensions. Considérons un parallélépipède d’origine o et de cotés a, b, et c. Les ondes stationnaires
sont données parr:
r
r
ψ(r , t ) = A sin k . r sin ωt ou k est le vecteur d’onde et ω la fréquence de l’onde.
1/ Montrer en appliquant les conditions aux limites ( ψ(0, t ) = ψ( a , t ) = ψ(b, t ) = ψ( c, t ) = 0.
que les kx , ky, et kz sont donnés par : kx=l lπ / a , k y = mπ / b , k z = nπ / c ou l,m,n ∈ N*
Déduire la valeur de la longueur d’onde λ .
2/ Représenter les points (kx,ky,kz) dans un repère à 3 dimensions pour le cas a = b =c
Quel est le type de réseau obtenu? Déduire le volume de la cellule de ce réseau.
3/ Calculer le nombre de points, N(k), contenu le 1/8 dans la sphère de rayon k (k ≥ 0)
4/ Si le nombre d’ondes stationnaires ayant un vecteur d’onde compris entre k et k + dk est g(k)dk .Calculer g(k).
5/ Application : Dans le cas des ondes électromagnétiques (corps noir ; voir cours), monter que le nombre des ondes stationnaires par unité de volume et de
fréquences ν est 8πν2 / c 3 ou c: est la vitesse de la lumière.
Exercice2:
En mécanique statistique classique, le nombre d’oscillations harmoniques d’énergie comprise entre E et E+dE est donnée par :
dn( E ) = c exp(− E / kT )
ou k: constante de Boltzman et c est une constante.
18
Trouver la valeur de l’énergie moyenne Ev dans les modèles classique (Energie continue) et quantique (Energie prend des valeurs discrètes)
Exercice3 :
Utiliser la formule de u(T,ν) trouver par Planck pour démontrer la loi de Stéphan : u (T ) = aT 4
Ex4 :( Paquet d’ondes) Montrer que la superposition de deux ondes harmoniques y(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t)
où y1 ( x, t ) = A cos(ω1t − kx) et y 2 ( x, t ) = A cos(ω 2 t − kx) est une onde de plane de pulsation
ω=(ω1+ω2)/2 . Déduire la vitesse de groupe.
Exercice4:
Montrer que:
∞
∫ cos kx sin lxdx = 0
l et k des entiers.
−∞
et que
π
π
−π
−π
1 / π ∫ cos kx cos lxdx = ∫ sin kx sin lx = δ k ,l symboledekronec ker.
Refaire le calcul en notation complexe.
Ex 5:a) Décomposer en série de Fourier la fonction définie sur l’intervalle (−π, π ) par :
f ( x ) = 1 0⟨ x ⟨π
f ( x ) = −1 − π⟨ x ⟨0
fonction impaire
an=0
(Puis refaire le calcul en notation complexe).
b/ Démonter que:
1 / L ∫! f ( x )!2 dx = ∑! cn !2 Egalité de Bessel Parseval
n
ou les cn sont les coefficients du développement en série de Fourier de la fonction périodique de période L
19
∞
c/ Montrer que
∞
∫! f ( x)! dx = ∫! f ( k )!2 dk
−∞
2
f(k) est la transformée de Fourier de f(x).
−∞
20