1 Fonctions d`une variable Objectifs Lectures suggérées

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GIN 102 Mathématique complémentaire
Fonctions d’une variableFonctions d’une variable
GIN 102
.
Mathématique complémentaire
par
Mélanie Trudel, Ph. D.
Département de génie civil
Tél. : [phone] (poste 63046)
Courriel : Melanie.T[email protected]
Automne 2011
1
Objectifs
yCompréhension du concept de fonction;
ySe familiariser avec des fonctions simples;
yLinéaires;
y
Pi
Automne 2011
2
y
P
u
i
ssance
yLog
yPaires et impaires
yTrigonométrique
yPolynomiales
Lectures suggérées
yFonctions d’une variable
yChapitre 1
Automne 2011
3

2
Fonctions d’une variable1
Fonction : lien de dépendance entre 2 quantités qui assigne à chaque
donnée d’entrée un seul nombre de sortie. [p. 2-5]
C = 4T - 160
Température en oF - variable indépendante
Taux de stridulation - variable dépendante
Automne 2011
4
1Les pages indiquées entre parenthèses carrées réfèrent
aux pages du manuel du cours :
Hugues-Hallett, D, et Gleason, A., M. (1999), Fonctions d’une
variable, Chenelière/McGraw-Hill, Montréal.
C ≥0 ⇒T ≥40
T max sur la terre : 136 oF
⇒domaine de validité de la fonction : 40 ≤T ≤136 oF
Pour ces valeurs, 0 ≤C ≤384 champ de la fonction
1. Fonctions linéaires : [p. 8-15]
y = f(x) = mx+ b
pente
y
Δf = f(x2) -f(x1)
ordonnée à l’origine
Automne 2011
5
x
Δx = x2-x
1
b
Taux moyen de variation :
12
12 xx )x(f)x(f
x
f
−
−
=
Δ
Δ
2. Fonctions exponentielles : [p. 17]
P = Poat
quantité initiale à t = 0
base
a > 1 ⇒croissance exponentielle
a < 1 ⇒décroissance exponentielle
Fonction exponentielle
300
Autre forme :
P = Po(1 + r)t
P = Po(1 - r)t
Automne 2011
6
0
50
100
150
200
250
0 102030405060
t
f(t)
f(t) = 67.38 (1.026)
t
P
o
= 67.38

3
Fonction exponentielle de saturation
10.00
11.00
Fonction exponentielle de saturation : [p. 21]
f(t) = S (1 - at) 0 < a < 1
asymptote
Automne 2011
7
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
012345
t
f(t)
S = 10
f(t) = 10 (1 - 0.3
t
)
3. Fonctions de puissance : [p. 27-28]
Puissances entières positives :
f(x) = k xpp = 1, 2, 3, …
Puissances paires et impaires
25
30
p = 3
Automne 2011
8
-10
-5
0
5
10
15
20
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
p = 2
p = 1
x >= 1
30.0
35.0
Prédominance des puissances plus élevées de x : [p. 29]
x ≥1
Automne 2011
9
-5.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
x
y
y = x
p
p > 0
p
5
4
3
2
1

4
Pour 0 <= x <= 1
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
y = x
p
p > 0
p
1
2
3
4
Dominance des puissances plus petites de x : [p. 29]
0 ≤x ≤1
Automne 2011
10
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
x
y
4
5
Puissances nulle et négatives : [p. 29]
p = 0, -1, -2, …
Puissances nulle et négatives
30
40
50
y
= x
p
p
<= 0
p
0
-1
-
2
Automne 2011
11
-20
-10
0
10
20
-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
x
y
2
Comparaison des puissances entières et fractionnaires positives
6
7
8
9
y = x
p
p=1 2 3
1/3
1/2
Comparaison des puissances entières [p. 31]
et fractionnaires positives
Automne 2011
12
0
1
2
3
4
5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
x
y
p
=
1
,
2
,
3
y = x
1/p
1/2
1
2
3

5
Prédominance entre fonctions exponentielles et de puissance :
[p. 32]
Petites valeurs de x
50
60
70
y = x
3
Comparaison de 2
x
et x
3
pour
des faibles valeurs de x
Automne 2011
13
0
10
20
30
40
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
x
y
y = 2
x
Comparaison des fonctions exponentielles et de puissance
1500
2000
y = 2x
Prédominance entre fonctions exponentielles et de puissance :
[p. 32]
Grandes valeurs de x
0
500
1000
1500
01234567891011121314
x
y
y = 2
x
grandes valeurs de x
y = x
3
y = x3
Automne 2011
14
4. Fonctions logarithmiques :
Logarithme à base 10 : [p. 40-43]
log10x = log x = c
⇒10c= x x > 0
Propriétés :Propriétés :
Logarithme naturel : [p. 46-53]
logex = ln x = c
⇒ec= x x > 0
Propriétés :Propriétés :
Automne 2011
15
1. log(AB) = log A + log B
2. log(A/B) = log A - log B
3. log(Ap) = p log A
4. log(10x) = x
5. 10log x = x
6. log 1 = 0
7. 100= 1
1. ln(AB) = ln A + ln B
2. ln(A/B) = ln A - ln B
3. ln(Ap) = p ln A
4. ln(ex) = x
5. eln x = x
6. ln 1 = 0
7. e0= 1