Mécanique du solide
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Chapitre
2
Chapitre 2.
Mécanique du solide
Ce chapitre propose des activités de mécanique classique associant l’utilisation du capteur de
mouvements CBR2 ou de force, l’aspect énergétique est largement abordé. L’exploitation de
l’ensemble des applications de TI-Nspire trouve dans ce contenu sa pleine mesure.
Mécanique du solide
Sommaire
Chapitre 2. Mécanique du solide ........................................................................... 80
ÉNERGIE MÉCANIQUE........................................................................................... 83
(Fiche professeur) ................................................................................................ 83
ENERGIE MÉCANIQUE........................................................................................... 91
(Fiche élève) ......................................................................................................... 91
GALILÉE ET LE MOUVEMENT .............................................................................. 98
(Fiche professeur) ................................................................................................ 98
GALILÉE ET LE MOUVEMENT ............................................................................ 104
(Fiche élève) ....................................................................................................... 104
TRAJECTOIRE D’UN BALLON ............................................................................ 108
(Fiche professeur) .............................................................................................. 108
TRAJECTOIRE D’UN BALLON ............................................................................ 113
(Fiche élève) ....................................................................................................... 113
REBONDS D’UNE BALLE ..................................................................................... 116
(Fiche professeur) .............................................................................................. 116
REBONDS D’UNE BALLE ..................................................................................... 121
(Fiche élève) ....................................................................................................... 121
ENERGIE MECANIQUE ET CHUTE D’UNE BALLE ......................................... 124
(Fiche professeur) .............................................................................................. 124
ENERGIE MECANIQUE ET CHUTE D’UNE BALLE ......................................... 128
(Fiche élève) ....................................................................................................... 128
MOUVEMENT D’UN PARACHUTISTE ............................................................... 132
(Fiche professeur) .............................................................................................. 132
MOUVEMENT D’UN PARACHUTISTE ............................................................... 139
(Fiche élève) ....................................................................................................... 139
MOUVEMENT SUR UN PLAN INCLINÉ ............................................................. 143
(Fiche professeur) .............................................................................................. 143
MOUVEMENT SUR UN PLAN INCLINÉ ............................................................. 149
(Fiche élève) ....................................................................................................... 149
POIDS ET MASSE .................................................................................................. 155
(Fiche professeur) .............................................................................................. 155
POIDS ET MASSE .................................................................................................. 164
(Fiche élève) ....................................................................................................... 164
DÉCRIRE LE MOUVEMENT D’UN VÉHICULE ................................................. 169
(Fiche professeur) .............................................................................................. 169
COMMENT DECRIRE LE MOUVEMENT D’UN VEHICULE............................ 173
(Fiche élève) ....................................................................................................... 173
MASSE DE LA TERRE........................................................................................... 178
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81
82
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
CHAMP ET FORCES ............................................................................................. 181
(Fiche professeur) .............................................................................................. 181
CHAMP ET FORCES ............................................................................................. 185
(Fiche élève) ....................................................................................................... 185
CRASH-TEST ET SÉCURITÉ ROUTIÈRE ......................................................... 192
(Fiche professeur) .............................................................................................. 192
CRASH-TEST ET SÉCURITÉ ROUTIÈRE ......................................................... 199
(Fiche élève) ....................................................................................................... 199
MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME .......................................................... 206
(Fiche professeur) .............................................................................................. 206
MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME .......................................................... 211
(Fiche élève) ....................................................................................................... 211
MOUVEMENT RÉTROGRADE DE MARS ......................................................... 215
(Fiche professeur) .............................................................................................. 215
MOUVEMENT RÉTROGRADE DE MARS ......................................................... 222
(Fiche élève) ....................................................................................................... 222
LE PENDULE ........................................................................................................... 226
(Fiche professeur) .............................................................................................. 226
LE PENDULE ........................................................................................................... 230
(Fiche élève) ....................................................................................................... 230
L’OSCILLATEUR HARMONIQUE ........................................................................ 233
(Fiche professeur) .............................................................................................. 233
L’OSCILLATEUR HARMONIQUE ........................................................................ 237
(Fiche élève) ....................................................................................................... 237
PARAMÈTRES D’UN OSCILLATEUR ................................................................. 241
(Fiche professeur) .............................................................................................. 241
PARAMÈTRES D’UN OSCILLATEUR ................................................................. 248
(Fiche élève) ....................................................................................................... 248
ÉTUDE ÉNERGÉTIQUE D’UN OSCILLATEUR ................................................ 251
(Fiche professeur) .............................................................................................. 251
ÉTUDE ÉNERGÉTIQUE D’UN OSCILLATEUR ................................................ 256
(Fiche élève) ....................................................................................................... 256
ENERGIE POTENTIELLE DE PESANTEUR ..................................................... 258
(Fiche professeur) .............................................................................................. 258
ÉNERGIE POTENTIELLE DE PESANTEUR ..................................................... 264
(Fiche élève) ....................................................................................................... 264
AMORTISSEURS D’UN VÉHICULE .................................................................... 268
(Fiche professeur) .............................................................................................. 268
AMORTISSEURS D’UN VÉHICULE .................................................................... 273
(Fiche élève) ....................................................................................................... 273
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Mécanique du solide
83
ÉNERGIE MÉCANIQUE
(Fiche professeur)
Auteur : Jean-Louis Balas
TI-Nspire CAS
Mots-clés : énergie potentielle, énergie cinétique, conservation, chronophotographie.
Fichiers associés : energie-mecanique_prof.tns; energie-mecanique_eleve.tns
1. Objectifs
Connaître l’énergie cinétique et potentielle de pesanteur d’un solide en translation dans un champ de
pesanteur uniforme.
Exploiter le principe de conservation de l’énergie.
2. Énoncé
Les lois de la physique sont fondées sur un principe de conservation qui affirme que, dans un système isolé,
il existe une grandeur, l'énergie, qui se conserve lors de transformations successives subies par ce système.
L'énergie que possède un système mécanique (appelée simplement "énergie mécanique") est une énergie
dont les transformations se produisent à l'échelle macroscopique.
Ainsi tout problème de mécanique met en jeu deux types d'énergie : potentielle et cinétique (l'une pouvant
très bien se transformer en l'autre). L'énergie potentielle est liée à la position relative des différentes parties
d'un système. C'est, par exemple, le cas de l'énergie potentielle de pesanteur que possède un système {Terreobjet} ou de l'énergie potentielle élastique que possède un ressort par exemple. L'énergie cinétique, elle, est
associée au mouvement d'un corps et est proportionnelle à la masse de ce corps, ainsi qu'au carré de sa
vitesse.
3. Matériel
un lab cradle et une calculatrice TI-Nspire,
un capteur de distance CBR2 et son câble de liaison USB B - mini USB,
une balle de tennis,
un support avec noix de serrage.
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84
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
4. Conduite de l’activité
L’activité se divise en trois parties :
a) Utilisation de la plate forme TI-Nspire pour analyser une chronophotographie.
b) Réalisation expérimentale de la chute libre d’une balle de tennis.
c) Utilisation d’un simulateur afin de faciliter l’apprentissage des notions théoriques et de leurs représentations.
a. Analyse d’une chronophotographie
On a réalisé à partir d’une vidéo la chronophotographie1 d’une boule de pétanque de masse m = 800 g.
La vidéo est filmée à 25 images par secondes et sa
décomposition lors de la création de la chronophotographie a permis d’obtenir 18 images.
L’intervalle de temps séparant deux images est donc
1
s.
t
25
Mettre la calculatrice sous tension, puis ouvrir le
classeur energie-mecanique_eleve.tns.
Remarque : Si l’on souhaite créer le document, on a
la possibilité de le faire en utilisant le logiciel TINspire. L’insertion d’une image n’est pas possible à
partir de la calculatrice.
Sur la photographie, une règle de 1m a été posée. Un
calcul de proportionnalité va permettre à partir des
coordonnées du point M capturées manuellement
d’obtenir la position réelle de la boule de pétanque.
La distance AB a été stockée dans la variable e et
les coordonnées du point M dans les variables
(x0,y0).
Pour capturer directement par pointage les
coordonnées (x(t) ; y(t)) de la boule de pétanque à
l’instant t, déplacer le point M sur une trace de la
boule et appuyer sur les touches / ^.
Passer ensuite à la page 1.4 du classeur. Les
données sont sauvegardées dans le tableur.
1
Chronophotographie réalisé à l’aide du logiciel libre « ChronoPy » http://sciences-physiques.acpartir d’une vidéo au format .avi
dijon.fr/archives/logiciels/auteurs/lanaud.htm
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Mécanique du solide
Les vitesses vx(tn) et vy(tn) sont exprimées
respectivement en fonction des coordonnées x(tn + 1),
x(tn 1) et y(tn + 1), y(tn 1) aux dates tn + 1 et tn 1.
On exprime le carré de la vitesse v² en fonction des
coordonnées vx et vy du vecteur vitesse dans le
repère choisi.
La vitesse de la boule de pétanque est donnée par la
relation v vx2 vy2 .
On
exprime ensuite les énergies cinétique
1 2
Ec mv et potentielle de pesanteur Ep = mgh,
2
l’origine de l’énergie potentielle étant celle du
repère choisi.
m = 0,8 kg et g = 9,8 m.s2.
Calculer l’énergie mécanique totale Em EC EP .
Représenter le diagramme des énergies.
Régler correctement les graduations des axes en
plaçant le curseur au voisinage de l’axe. Effectuer
un / a pour fermer la main, appuyer
simultanément sur la touche g.
Que peut-on dire, en première approximation, de
l'énergie mécanique Em au cours du mouvement ?
Que peut-on en conclure ?
Inciter les élèves à critiquer la qualité des mesures,
les refaire éventuellement.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
85
86
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
b. Étude expérimentale de la chute libre d’une balle de tennis
Placer le capteur sur un support.
Le capteur CBR 2 enregistre en fonction du temps la
distance qui le sépare d’une balle de tennis en
mouvement de chute libre.
A l’instant t = 0, la balle doit être située à une
distance minimale de 12 cm.
La vitesse du mobile sera également calculée
automatiquement ; il suffira de récupérer la variable
correspondante pour effectuer directement le calcul
des énergies cinétique et potentielle de pesanteur.
Paramétrage de l’acquisition
Insérer une nouvelle activité, puis une application
Vernier DataQuest.
Connecter le capteur CBR2 à la calculatrice.
Placer le curseur dans la zone de réglage des
paramètres de l’acquisition.
Appuyer sur les touches /
aux réglages des paramètres.
b
pour accéder
Choisir le menu 3 : Configuration de l’acquisition.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Dmin = 12 cm
Mécanique du solide
Régler l’acquisition à 40 échantillons par secondes
sur une durée totale de 1 secondes.
Si le capteur n’est pas fixé sur un support,
- appuyer sur la touche b choisir 1 : Expérience
puis A : Configuration avancée et enfin 1 :
Acquisition à distance.
Choisir le menu 1 : CBR2 qui correspond au
capteur connecté à la centrale.
Il sera possible de déconnecter le capteur de la
calculatrice (ou de l’ordinateur) pour réaliser
l’acquisition de données en appuyant sur le bouton
TRIGGER.
Une fois l’acquisition achevée, reconnecter le
capteur, puis suivre les indications qui s’affichent
automatiquement à l’écran pour importer les
données.
Remarque : Si la balle de tennis et le capteur sont
posés sur un support fixe, le réglage de zéro du
capteur permettra d’affiner la précision des mesures
et de fixer correctement l’origine du repère.
Pour cela, appuyer sur les touches / b puis
1 : Expérience puis
9 : Configuration des
Capteurs et enfin 3 : Zéro.
Analyse des données
Noter soigneusement la hauteur totale de chute.
Cette distance sera ultérieurement utilisée pour
effectuer le calcul de l’énergie potentielle de
pesanteur. L’origine de calcul de cette énergie étant
prise bien entendue au niveau du sol.
Stocker éventuellement cette valeur dans la variable
hmax.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
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88
Utiliser le curseur pour sélectionner la portion de
données précédent le rebond de la balle.
Appuyer sur la touche b puis choisir le menu 6 :
Exclure des données et enfin 2 : Région extérieure
sélectionnée.
Les données seront exclues de l’analyse mais non
effacées.
Affiner la sélection des données si vous le
souhaitez.
Appuyer sur les touches / I pour insérer une
feuille du Tableur & listes.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Mécanique du solide
89
Placer le curseur dans une colonne tout en haut de
cette colonne
Appuyer sur la touche
Lier les colonnes à.
h puis choisir le menu 3 :
A à la variable run.temps,
B à la variable run.position,
C à la variable run.vitesse.
Le tableau sera automatiquement adapté à la
sélection.
Calculer directement les énergies cinétiques et
potentielles.
La masse de la balle de tennis est : m = 0,045 kg, on
prendra g = 9,8 m.s2 .
Remarque : L’origine de l’énergie potentielle de pesanteur par rapport à la terre est prise au niveau du sol, le
calcul de celle-ci s’effectue à l’aide de la relation Ep mg (hmax h) .
Représenter graphiquement le nuage de points des
énergies calculées en fonction du temps
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
90
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
c. Utilisation d’un simulateur afin de faciliter l’apprentissage des notions théoriques et de
leurs représentations
Deux simulateurs permettent d’observer de manière
dynamique les variations des énergies mise en jeu
lors d’un mouvement.
Les paramètres qui influent sur ces énergies peuvent
être modifiés à l’aide de curseurs.
Le premier simulateur concerne
précédente sur la chute libre.
l’expérience
Le second est, quant à lui, consacré à l’étude des
énergies d’un chariot sur les montagnes russes, avec
la possibilité d’introduire un coefficient de
frottement.
L’objectif de ces simulateurs est de faciliter
l’apprentissage des représentations théoriques et
mathématiques, facilitant ainsi le travail sur des
objets abstraits.
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Mécanique du solide
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ENERGIE MÉCANIQUE
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : énergie potentielle, énergie cinétique, conservation, chronophotographie.
Fichiers associés : energie-mecanique_prof.tns; energie-mecanique_eleve.tns
1. Objectifs
Connaître l’énergie cinétique et potentielle de pesanteur d’un solide en translation dans un champ de
pesanteur uniforme.
Exploiter le principe de conservation de l’énergie.
2. Énoncé
Les lois de la physique sont fondées sur un principe de conservation qui affirme que, dans un système isolé,
il existe une grandeur, l'énergie, qui se conserve lors de transformations successives subies par ce système.
L'énergie que possède un système mécanique (appelée simplement "énergie mécanique") est une énergie
dont les transformations se produisent à l'échelle macroscopique.
Ainsi tout problème de mécanique met en jeu deux types d'énergie : potentielle et cinétique (l'une pouvant
très bien se transformer en l'autre). L'énergie potentielle est liée à la position relative des différentes parties
d'un système. C'est, par exemple, le cas de l'énergie potentielle de pesanteur que possède un système {Terreobjet} ou de l'énergie potentielle élastique que possède un ressort par exemple. L'énergie cinétique, elle, est
associée au mouvement d'un corps et est proportionnelle à la masse de ce corps, ainsi qu'au carré de sa
vitesse.
3. Matériel
un lab cradle et une calculatrice TI-Nspire,
un capteur de distance CBR2 et son câble de liaison USB B - mini USB,
une balle de tennis,
un support avec noix de serrage.
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92
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
4. Conduite de l’activité
L’activité se divise en trois parties :
a) Utilisation de la plate forme TI-Nspire pour analyser une chronophotographie.
b) Réalisation expérimentale de la chute libre d’une balle de tennis.
c) Utilisation d’un simulateur afin de faciliter l’apprentissage des notions théoriques et de leurs représentations.
a. Analyse d’une chronophotographie
On a réalisé à partir d’une vidéo la chronophotographie2 d’une boule de pétanque de masse m = 800 g.
La vidéo est filmée à 25 images par secondes et sa
décomposition lors de la création de la chronophotographie a permis d’obtenir 18 images.
L’intervalle de temps séparant deux images est donc
t ......... s
Mettre la calculatrice sous tension, puis ouvrir le
classeur energie-mecanique_eleve.tns.
Sur la photographie, une règle de 1m a été posée. Un
calcul de proportionnalité déjà réalisé permet, à
partir des coordonnées du point M capturées
manuellement, d’obtenir la position réelle de la
boule de pétanque.
Pour capturer directement par pointage les
coordonnées (x(t) ; y(t)) de la boule de pétanque à
l’instant t, déplacer le point M sur une trace de la
boule et appuyer sur les touches / ^.
Passer ensuite à la page 1.4 du classeur. Les
données sont sauvegardées dans le tableur.
Calculer les vitesses
dans la cellule D2 : vx (tn )
2
x(tn 1 ) x(tn 1 )
tn 1 tn 1
Chronophotographie réalisé à l’aide du logiciel libre « ChronoPy » http://sciences-physiques.acpartir d’une vidéo au format .avi
dijon.fr/archives/logiciels/auteurs/lanaud.htm
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Mécanique du solide
et dans la cellule E2 : v y (tn )
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y (tn 1 ) y (tn 1 )
.
tn 1 tn 1
Les vitesses vx(tn) et vy(tn) sont exprimées
respectivement en fonction des coordonnées x(tn + 1),
x(tn 1) et y(tn + 1), y(tn 1) aux dates tn + 1 et tn 1.
Exprimer le carré de la vitesse v² en fonction des
coordonnées vx et vy du vecteur vitesse dans le
repère choisi.
La vitesse de la boule de pétanque est donnée par la
relation v vx2 vy2 .
1 2
mv et
2
potentielle de pesanteur par rapport à la terre
Ep = mgh, l’origine de l’énergie potentielle étant
celle du repère choisi.
Calculer les énergies cinétique
Ec
m = 0,8 kg et g = 9,8 m.s2.
Calculer l’énergie mécanique totale Em EC EP .
Représenter le diagramme des énergies (nuage de
points).
Régler correctement les graduations des axes en
plaçant le curseur au voisinage de l’axe. Effectuer
un / a pour fermer la main, appuyer
simultanément sur la touche g.
Que peut-on dire, en première approximation, de l'énergie mécanique Em au cours du mouvement ?
Que peut-on en conclure ? (En particulier, que penser de l’hypothèse sur la conservation de l’énergie
mécanique ?)
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
94
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
b. Étude expérimentale de la chute libre d’une balle de tennis
Placer le capteur sur un support.
Le capteur CBR 2 enregistre en fonction du temps la
distance qui le sépare d’une balle de tennis en
mouvement de chute libre.
A l’instant t = 0, la balle doit être située à une
distance minimale de 12 cm.
La vitesse du mobile sera également calculée
automatiquement ; il suffira de récupérer la variable
correspondante pour effectuer directement le calcul
des énergies cinétique et potentielle de pesanteur.
Paramétrage de l’acquisition
Insérer une nouvelle activité, puis une application
Vernier DataQuest.
Connecter le capteur CBR2 à la calculatrice.
Appeler le professeur pour qu’il vous
aide à paramétrer l’acquisition de données.
Réaliser l’acquisition de données en cliquant sur le
bouton
.
Analyse des données
Noter soigneusement la hauteur totale de chute.
Cette distance sera ultérieurement utilisée pour
effectuer le calcul de l’énergie potentielle de
pesanteur. L’origine de calcul de cette énergie étant
prise bien entendue au niveau du sol.
Stocker éventuellement cette valeur dans la variable
hmax.
Utiliser le curseur pour sélectionner la portion de
données précédent le rebond de la balle.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Dmin = 12 cm
Mécanique du solide
95
Appuyer sur la touche b puis choisir le menu 6 :
Exclure des données et enfin 2 : Région extérieure
sélectionnée.
Les données seront exclues de l’analyse mais non
effacées.
Affiner la sélection des données si vous le
souhaitez.
Appuyer sur les touches / I pour insérer une
feuille du Tableur & listes.
Placer le curseur dans une colonne tout en haut de
cette colonne.
Appuyer sur la touche
h puis choisir le menu 3 :
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
96
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Lier les colonnes à.
A à la variable run.temps,
B à la variable run.position,
C à la variable run.vitesse.
Le tableau sera automatiquement adapté à votre
sélection.
Calculer directement les énergies cinétiques et
potentielles.
La masse de la balle de tennis est : m = 0,045 kg, on
prendra g = 9,8 m.s2 .
Remarque : L’origine de l’énergie potentielle de pesanteur par rapport à la terre est prise au niveau du sol, le
calcul de celle-ci s’effectue à l’aide de la relation Ep mg (hmax h) .
1
L’énergie cinétique est données par Ec mv 2 .
2
Représenter graphiquement le nuage de points des énergies calculées en fonction du temps.
Comment varient les énergies lors de la chute de la balle de tennis ?
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
c. Utilisation d’un simulateur afin de faciliter l’apprentissage des notions théoriques et de
leurs représentations
Deux simulateurs permettent d’observer de manière
dynamique les variations des énergies mise en jeu
lors d’un mouvement.
Modifier les paramètres qui influent sur ces énergies
à l’aide de curseurs.
Le premier simulateur concerne
précédente sur la chute libre.
l’expérience
Lorsque le solide est dans sa position initiale quelle
est :
son énergie cinétique ?
son énergie potentielle de pesanteur ?
son énergie mécanique ?
quelles transformations énergétiques ont lieu lors de la chute ?
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
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Mécanique du solide
97
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
Le second est, quant à lui, consacré à l’étude des
énergies d’un chariot sur les montagnes russes, avec
la possibilité d’introduire un coefficient de
frottement.
Indiquer les différentes formes d’énergie que
possède la nacelle dans les positions A, B, C.
………………………………………………………
………………………………………………………
Décrire les transformations d’énergie qui ont lieu
entre les positions successives de la nacelle.
………………………………………………………
………………………………………………………
Pour quelle position la valeur de la vitesse de la
nacelle sera-t-telle la plus grande ?
………………………………………………………
………………………………………………………
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98
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
GALILÉE ET LE MOUVEMENT
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Jean-Louis Balas
Mots-clés : Galilée, mesure du temps, distance, mouvement varié, plan incliné.
Fichiers associés :
M24nElev_GalileeMouvement.pdf ; GalileeMouvement_eleve.tns ;
GalileeMouvement_prof.tns
1. Objectifs
Étudier le mouvement uniformément varié à partir de l’expérience de Galileo Galilei.
Réinvestir la notion de proportion.
Comprendre la notion de variable en sciences.
2. Matériel
Un plan incliné.
Une grosse bille ou une balle.
Un capteur de distance CBR2.
Une calculatrice TI-Nspire CAS.
Un lab cradle.
3. Commentaires
Lors de la réalisation d’une expérience de sciences, les élèves rencontrent souvent des difficultés pour
distinguer la grandeur variable et celle qui en dépend. Cela induit ensuite des problèmes importants pour la
compréhension de ce qu’est un phénomène, mais aussi pour sa représentation à l’aide d’un graphique.
L’expérience de Galilée concernant le mouvement d’une bille sur un plan incliné est, de ce point de vue, très
enrichissante.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
99
En expérimentant la vitesse d'une bille roulant sur
un plan incliné, Galilée se trouve confronté au
problème de la mesure du temps. Après plusieurs
échecs, il décide de répartir sur toute la longueur du
plan des clochettes qui tinteront au passage de la
bille.
C'est ainsi qu'il mettra en évidence l'existence du
mouvement « uniformément accéléré ». Les bases de
la physique moderne sont désormais jetées.
4. Conduite de l’activité
En effet, à l’époque de Galilée, le chronomètre
n’existe pas. Pour réaliser l’étude de la chute d’une
bille le long d’un plan incliné, Galilée place des
clochettes équidistantes. Mais lors de la chute, il
n’entend pas les clochettes à des intervalles de
temps régulier. Galilée est musicien, physicien nous
le savons. Il conjecture donc que la distance
parcourue par la bille entre deux sons de clochette
n’est pas identique sur tout le parcours.
Il réorganise alors la disposition des clochettes de
manière à ce qu’elles tintinnabulent en des
intervalles de temps égaux. Puis de nouveau, il
mesure les distances séparant ces clochettes et
constate alors une progression bien intéressante.
a) Préparation de l’acquisition
Réaliser le montage ci-contre. Le plan incliné
utilisé ici est un banc optique. On choisit une balle
de rayon suffisamment grand afin que celle-ci soit
convenablement repérée par le capteur.
Connecter le capteur à l’interface d’acquisition.
Appuyer sur la touche b puis choisir :
1 : Expériences, 7 : Mode d’acquisition,
1 : En fonction du temps.
Remarque : Par défaut, l’acquisition est paramétrée
sur ce mode lorsqu’on connecte le capteur à
l’interface d’acquisition.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Le plan incliné de Galilée (Musée Galileo)
100
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Appuyer de nouveau sur la touche b puis
1 : Expériences, 8 : Configuration de l’acquisition.
Régler la prise de 100 échantillons par seconde pour
une durée totale de 5 s.
Appuyer sur la touche e de la calculatrice pour
passer d’une zone de saisie à une autre, puis valider
en cliquant sur OK.
b) Réalisation de l’acquisition
Lorsque l’on est prêt, lâcher la balle sans vitesse
initiale, puis déclencher l’acquisition des données en
appuyant sur
.
Cliquer sur l’icône
de mesures.
pour conserver une série
Lorsque la représentation graphique est affichée,
Appuyer sur la touche b puis choisir
6 : Options, 1 : Option du point.
Décocher la case « Points de données reliés ».
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
101
c) Exploitation des mesures
Les élèves devront observer le non alignement des
points et donc conjecturer que la distance parcourue
par le mobile n’est pas proportionnelle au temps.
Pour retrouver la démarche de Galilée, on propose d’utiliser les applications
Graphiques.
Appuyer sur la touche /
Tableur & Listes et
I pour insérer une nouvelle feuille du tableur.
Placer le curseur dans la colonne A tout en haut de la colonne A.
Appuyer sur la touche h puis choisir de lier cette colonne à la variable run1.temps.
Procéder de la même façon avec la colonne B pour la variable run1.distance.
Nommer la colonne C avec l’étiquette n.
Dans la cellule C2 donner le numéro de calcul 1, puis incrémenter par pas de 1 jusqu’à l’avant dernière
cellule.
Nommer la colonne D avec l’étiquette l1.
Nommer la colonne E avec l’étiquette l2.
Placer le curseur dans la cellule D2 et calculer : a2a1
Placer le curseur dans la cellule E2 et calculer : d2d1.
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102
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Recopier pour les colonnes C, D et E le calcul
jusqu’à l’avant-dernière valeur du tableau. Pour
cela, utiliser la poignée de recopie d’une cellule
après l’avoir sélectionnée3.
A son époque, Galilée exprime ce qu’il mesure en
termes de proportions :
Une proportion est l’égalité de deux rapports.
En l’absence de nombres décimaux, les proportions
sont interprétées par la théorie géométrique des
proportions d’Euclide.
Dans cette théorie, on peut faire le rapport de deux
grandeurs seulement lorsque celles-ci sont de même
type.
On peut faire le rapport de deux longueurs, le
rapport de deux aires ou de deux poids.
Au lieu de définir une vitesse moyenne, comme
nous le faisons aujourd’hui, Galilée va raisonner
sur le quotient de deux vitesses, sans définir le
mot vitesse en des termes qui permettraient de
distinguer vitesse moyenne et vitesse instantanée.
Utiliser le tableur pour vérifier les constats de Galilée
3
On peut aussi, dans TI-Nspire, sélectionner les cellules à recopier, puis taper, sur la calculatrice, / a ,
ou, sur l’ordinateur, b 3 Données, 3 Saisie rapide, descendre avec ¤ jusqu’à la ligne choisie et valider
par ·.
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Mécanique du solide
103
d2
d1
t22
t12
.
De nos jours nous rechercherions directement une relation du type d a t 2 .
Conclure : La conjecture de Galilée était-elle fondée ?
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104
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
GALILÉE ET LE MOUVEMENT
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : Galilée, mesure du temps, distance, mouvement varié, plan incliné.
Fichier associé : GalileeMouvement_eleve.tns.
1. Objectifs
Étudier le mouvement uniformément varié à partir de l’expérience de Galileo Galilei.
Réinvestir la notion de proportion.
Comprendre la notion de variable en sciences.
2. Matériel
Un plan incliné.
Une grosse bille ou une balle.
Un capteur de distance CBR2.
Une calculatrice TI-Nspire CAS.
Un lab cradle.
3. Commentaires
Si l’on en a la possibilité matérielle, visualiser la vidéo concernant l’expérience de Galilée sur le site :
http://www.curiosphere.tv/video-documentaire/0-toutes-les-videos/103605-reportage-galilee-lexperience-desplans-inclines
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Mécanique du solide
105
En expérimentant la vitesse d'une bille roulant sur
un plan incliné, Galilée se trouve confronté au
problème de la mesure du temps. Après plusieurs
échecs, il décide de répartir sur toute la longueur du
plan des clochettes qui tinteront au passage de la
bille.
C'est ainsi qu'il mettra en évidence l'existence du
mouvement « uniformément accéléré ».
4. Conduite de l’activité
En effet, à l’époque de Galilée, le chronomètre
n’existe pas. Pour réaliser l’étude de la chute d’une
bille le long d’un plan incliné, Galilée place des
clochettes équidistantes. Mais lors de la chute, il
n’entend pas les clochettes à des intervalles de
temps régulier. Galilée est musicien, physicien nous
le savons. Il conjecture donc que la distance
parcourue par la bille entre deux sons de clochette
n’est pas identique sur tout le parcours.
Il réorganise alors la disposition des clochettes de
manière à ce qu’elles tintinnabulent en des
intervalles de temps égaux. Puis de nouveau, il
mesure les distances séparant ces clochettes et
constate alors une progression bien intéressante.
Le plan incliné de Galilée (Musée Galiléo)
a) Préparation de l’acquisition
Réaliser le montage ci-contre. Le plan incliné
utilisé ici est un banc optique. On choisit une balle
de rayon suffisamment grand afin que celle-ci soit
convenablement repérée par le capteur.
Connecter le capteur à l’interface d’acquisition.
Appeler le professeur pour qu’il paramètre
l’acquisition des mesures (100 échantillons par
seconde pour une durée totale de 5 s).
b) Réalisation de l’acquisition
Lorsque l’on est prêt, lâcher la balle sans vitesse
initiale, puis déclencher l’acquisition des données en
appuyant sur
.
Cliquer sur l’icône
pour conserver une série
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
106
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
de mesures.
Réaliser plusieurs séries de mesures afin
d’examiner si elles sont reproductibles.
Lorsque la représentation graphique est affichée :
Appuyer sur la touche b puis choisir
6 : Options, 1 : Option du point.
Décocher la case « Points de données reliés ».
Reproduire ci-contre l’allure de la représentation
graphique obtenue.
Comment sont disposés les points les uns par
rapport aux autres ?
……………………………………………………..
Peut-on déduire que pour des intervalles de temps égaux, la distance parcourue est proportionnelle ?
..............................................................................................................................................................................
.
Appuyer sur les touches /
I pour insérer une feuille de l’application Tableur & Listes.
Recopier pour les colonnes C, D et E le calcul
jusqu’à l’avant-dernière valeur du tableau. Pour
cela, utiliser la poignée de recopie d’une cellule
après l’avoir sélectionnée.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
107
A son époque, Galilée exprime ce qu’il mesure en
termes de proportions :
Une proportion est l’égalité de deux rapports.
En l’absence de nombres décimaux, les proportions
sont interprétées par la théorie géométrique des
proportions d’Euclide.
Dans cette théorie, on peut faire le rapport de deux
grandeurs seulement lorsque celles-ci sont de même
type.
On peut faire le rapport de deux longueurs, le
rapport de deux aires ou de deux poids.
Au lieu de définir une vitesse moyenne, comme
nous le faisons aujourd’hui, Galilée va raisonner
sur le quotient de deux vitesses, sans définir le
mot vitesse en des termes qui permettraient de
distinguer vitesse moyenne et vitesse instantanée.
On considère à présent les données des colonnes D et E.
Dans une colonne du tableur, calculer t2.
Conclure : La conjecture de Galilée était-elle fondée ?
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
Comment pourrait-on montrer que d a t 2 ?
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
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108
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
TRAJECTOIRE D’UN BALLON
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Frédéric Marquet
Mots-clés : mouvement, trajectoire, modélisation.
Fichiers associés :
TrajectoireBallon_eleve_CAS.tns, TrajectoireBallon_prof_CAS.tns,
M14nElev_TrajectoireBallon.pdf,
1. Objectifs
● Exploiter une chronophotographie pour analyser un mouvement.
● Modéliser une courbe.
2. Énoncé
On a réalisé une chronophotographie d’une joueuse de basket
en train de lancer son ballon.
Les points marqués en rouge représentent les positions
successives du ballon chaque 0,08 seconde.
Le panier de basket se situe à la hauteur règlementaire, soit 3,05 m.
Comment analyser le mouvement du ballon au cours du
temps ?
3. Pointage des positions du ballon avec la calculatrice
● Ouvrir le fichier « .tns » correspondant à l’étude de la
trajectoire du ballon de basket.
La page 1.1 présente la chronophotographie du tir.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
● Régler l’échelle afin que le repère jaune affiche bien les
3,05 m réglementaires d’un panier de basket.
À t = 0, le ballon est à l’origine du repère : x = 0 et y = 0.
● Modifier la position du point M en déplaçant les points
verts (coordonnées x et y du ballon).
Placer M sur la première position du ballon (autre que
l’origine) apparaissant sur la chronophotographie (t = 0,08 s).
Quelles sont les coordonnées du ballon à t = 0,08 s ?
À t = 0,08 s, le ballon de basket a pour coordonnées : x = 0,406 m et y = 0,505 m.
● Stocker les coordonnées du point M dans les variables x et
y.
● Ouvrir la page 1.2 (Tableur & listes).
La colonne A, contient le temps t de 0,08 s jusqu’à 1,04 s,
avec un pas de 0,08 s.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
109
110
● Se placer dans la zone grisée de la colonne B puis appuyer
sur b puis Données, Capture de données et enfin
Manuelle.
● Saisir le nom de la variable x.
À chaque fois que l’on appuiera sur les commandes : / ^,
la valeur de x sera stockée dans une nouvelle ligne de la
colonne B.
● Procéder de même pour la colonne C afin d’effectuer une
capture manuelle de la variable y.
● Retourner sur la page 1.1 et procéder à la capture des
positions successives du ballon de basket (masquer la
graduation si nécessaire).
Vérifier sur la page 1.2 (Tableur & listes) que la capture s’est
bien déroulée.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Mécanique du solide
111
4. Modélisation de la trajectoire du ballon
● Aller sur la page 1.3 (Graphiques). La trajectoire du ballon
apparaît.
● Ajuster les valeurs de a et b pour que la parabole
d’équation :
y = -a x² + b x
passe au mieux par les points capturés. Donner l’expression
du modèle de la trajectoire du ballon.
Le modèle de la trajectoire du ballon est :
y = - 0,22 x² + 1,39 x
● Ouvrir la page 1.4 (Graphiques). La courbe représentant
l’abscisse x du ballon en fonction du temps t apparaît.
Commenter l’allure de cette courbe.
● Ajuster la valeur du paramètre a1 pour que la droite
d’équation :
x = a1 t
passe au mieux par les points capturés. Donner l’expression
du modèle de la courbe représentant x en fonction de t.
Le modèle de la variation de l’abscisse x du ballon en fonction du temps est : x = 4,8 t.
Le fait que la courbe soit une droite passant par l’origine nous indique que la vitesse horizontale du ballon
est constante. Le coefficient de proportionnalité a1 = 4,8 m.s-1 est égal à la vitesse horizontale de
déplacement du ballon.
Remarque : Ceci est en accord avec le principe de l’inertie puisque, si l’on néglige les frottements de l’air,
aucune force ne vient modifier la vitesse horizontale du ballon.
● Ouvrir la page 1.5 (Graphiques). La courbe représentant
l’ordonnée y du ballon en fonction du temps t apparait.
● Ajuster les valeurs de a2 et b2 pour que la parabole
d’équation :
y = -a2 t² + b2 t
passe au mieux par les points capturés. Donner l’expression
du modèle de la courbe représentant y en fonction de t.
● Montrer que a2 est homogène à une accélération et que
g
a2 , où g représente l’accélération de la pesanteur.
2
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
112
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Le modèle de la courbe représentant la variation de l’ordonnée du ballon en fonction du temps est :
y = -4,9 t² + 6,55 t.
On vérifie bien que le coefficient a2 est le rapport d’une longueur divisée par le carré d’un temps : c’est
donc bien homogène à une accélération.
De plus :
2 x a2 = 2 x 4,9 = 9,8 m.s-2
On retrouve bien l’accélération de la pesanteur.
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Mécanique du solide
113
TRAJECTOIRE D’UN BALLON
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : mouvement, trajectoire, modélisation.
Fichier associé : TrajectoireBallon_eleve_CAS.tns
1. Objectifs
● Exploiter une chronophotographie pour analyser un mouvement.
● Modéliser une courbe.
2. Énoncé
On a réalisé une chronophotographie d’une joueuse de basket en
train de lancer son ballon.
Les points marqués en rouge représentent les positions
successives du ballon chaque 0,08 seconde.
Le panier de basket se situe à la hauteur règlementaire, soit 3,05 m.
Comment analyser le mouvement du ballon au cours du
temps ?
3. Pointage des positions du ballon avec la calculatrice
● Ouvrir le fichier « .tns » correspondant à l’étude de la
trajectoire du ballon de basket.
La page 1.1 présente la chronophotographie du tir.
À t = 0, le ballon est à l’origine du repère : x = 0 et y = 0.
● Régler l’échelle afin que le repère jaune affiche bien les
3,05 m réglementaires d’un panier de basket.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
114
● Modifier la position du point M en déplaçant les points verts
(coordonnées x et y du ballon).
Quelles sont les coordonnées du ballon à t = 0,08 s ?
● Stocker les coordonnées du point M dans les variables x et y.
● Ouvrir la page 1.2 (Tableur & listes).
La colonne A, contient le temps t de 0,08 s jusqu’à 1,04 s, avec
un pas de 0,08 s.
● Se placer dans la zone grisée de la colonne B puis appuyer
sur b puis Données, Capture de données et enfin
Manuelle.
● Saisir le nom de la variable x. Désormais, à chaque fois que
l’on appuiera sur les commandes : / ^, la valeur de x sera
stockée dans une nouvelle ligne de la colonne B.
● Procéder de même pour la colonne C afin d’effectuer une
capture manuelle de la variable y.
● Retourner sur la page 1.1 et procéder à la capture des
positions successives du ballon de basket (masquer la
graduation si nécessaire).
● Vérifier sur la page 1.2 (Tableur & listes) que la capture s’est
bien déroulée.
4. Modélisation de la trajectoire du ballon
● Aller sur la page 1.3 (Graphiques). La trajectoire du ballon
apparaît.
● Ajuster les valeurs de a et b pour que la parabole d’équation :
y = -a x² + b x
passe au mieux par les points capturés.
Donner l’expression du modèle de la trajectoire du ballon.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Mécanique du solide
115
● Ouvrir la page 1.4 (Graphiques).
La courbe représentant l’abscisse x du ballon en fonction du
temps t apparait. Commenter l’allure de cette courbe.
● Ajuster la valeur du paramètre a1 pour que la droite
d’équation :
x = a1 t
passe au mieux par les points capturés. Donner l’expression du
modèle de la courbe représentant x en fonction de t.
● Ouvrir la page 1.5 (Graphiques). La courbe représentant
l’ordonnée y du ballon en fonction du temps t apparaît.
● Ajuster les valeurs de a2 et b2 pour que la parabole
d’équation :
y = -a2 t² + b2 t
passe au mieux par les points capturés. Donner l’expression du
modèle de la courbe représentant y en fonction de t.
● Montrer que a2 est homogène à une accélération et que
g
a2 , où g représente l’accélération de la pesanteur.
2
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
116
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
REBONDS D’UNE BALLE
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Frédéric Marquet
Mots-clés : chute libre, énergie potentielle, énergie cinétique, coefficient de restitution.
Fichiers associés :
RebondsBalle_prof_CAS.tns, RebondsBalle_eleve_CAS.tns,
M18nElev_RebondsBalle.pdf.
1. Objectifs
Utiliser un simulateur pour déterminer les hauteurs maximales successives atteintes par une balle au cours
de ses rebonds.
Modéliser ces hauteurs maximales à partir des termes d’une suite géométrique.
Interpréter les résultats grâce aux énergies cinétique et potentielle de la balle.
2. Énoncé
Comment modéliser les hauteurs successives atteintes par
une balle au cours de ses rebonds ?
Notations :
●
Hauteur initiale de la balle : h0,
Position de la balle dans le repère (O ; i ) : x = OM,
Temps : t,
Vitesse de la balle : v.
(voir aussi pages 1.1 et 1.2 du fichier .tns)
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
i
●O
M
Mécanique du solide
3. Hauteurs maximales successives atteintes par la balle
Aller sur la page 1.3.
Un simulateur des rebonds d’une balle apparait.
La hauteur initiale de chute h0 est réglable grâce à un curseur
entre 0 et 1 m.
Régler la hauteur initiale avec la valeur : h0 = 1 m.
Aller sur la page 1.4.
La colonne B permet de saisir les hauteurs maximales
successives hmax atteintes par la balle au cours de ses rebonds.
En utilisant le simulateur, remplir le tableau de données.
Aller sur la page 1.5.
La courbe représentant les hauteurs maximales atteintes après
chaque rebond apparait.
On veut montrer que l’on peut modéliser cette courbe par une
suite géométrique (hn) de raison q.
Pour cela, créer un curseur pour la variable q allant de 0 à 1
avec un pas égal à 0,01.
Taper b puis Actions et Insérer un curseur.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
117
118
Régler le curseur pour la variable q.
Afficher les termes successifs de la suite à partir de la relation
de récurrence : hn + 1 = q hn.
Commandes à taper : b, type de graphique, suite.
Saisir les instructions pour tracer les termes successifs de la
suite hn.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Mécanique du solide
119
Ajuster q pour modéliser le mieux possible les données.
On trouve q = 0,81.
Modèle obtenu : hn + 1 = 0,81 hn et h0 = 1 m.
4. Énergies cinétique et potentielle et coefficient de restitution
On néglige les frottements. Supposons que la balle est à sa hauteur maximale, notée h1, au cours d’un
rebond. Elle va retomber jusqu’à atteindre une vitesse v1 juste avant le choc avec le sol. Elle repart ensuite
avec une vitesse v2 juste après le choc. Elle remonter jusqu’à une nouvelle hauteur maximale h2 (inférieure à
h1) et ainsi de suite.
Aller sur la page 1.6.
Etablir les expressions littérales des vitesses v1 et v2 en
fonction de h1 et h2.
En déduire le coefficient de restitution e défini par la
v
relation e 2 . Taper dans la boite de saisie mathématique
v1
ý l’expression de ce coefficient de restitution.
Vérifier le résultat en affichant dans la seconde boite de saisie
mathématique la valeur de la variable e.
En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, on établit facilement les expressions des vitesses v1 et v2 en
fonction de h1 et h2 :
v1 2gh1 , v 2 2gh2 .
On en déduit le coefficient de restitution e :
e
v2
h
2 q.
v1
h1
Application numérique :
e 0,81 0,90 .
5. Rebonds avec un coefficient de restitution plus faible
Créer une nouvelle page 1.7 (Calcul).
Saisir une valeur plus faible pour le coefficient de restitution : e = 0,80.
Créer une nouvelle page 1.8 (Tableur & listes).
A l’aide du simulateur, procéder à nouveau à la saisie des 10 premières hauteurs maximales successives.
Créer une nouvelle page 1.9 (Graphiques).
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
120
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Vérifier, en traçant les hauteurs maximales successives ainsi que les termes de la suite (hn) de
raison q e 2 0,64 et de premier terme égal à 1, que les résultats sont bien conformes à ce que l’on attend.
Quel sens physique peut-on donner à e 2 ?
On vérifie sans problème que les hauteurs maximales correspondent aux termes d’une suite géométrique de
premier terme égal à 1 et de raison q e 2 0,64 .
La grandeur e 2 est caractéristique de l’énergie cinétique perdue par la balle au cours du choc (non
élastique).
En effet puisque e 2
v 22
v12
q , si l’on note m la masse de la balle, on a :
v 22 e 2 v12
1
1
mv 22 e 2 mv12 .
2
2
Ici e 2 0,64 : l’énergie cinétique de la balle après chaque choc n’est plus égale qu’à 64 % de son énergie
cinétique avant le choc. A chaque choc la balle perd donc 36 % de son énergie cinétique (dissipée sous
forme de chaleur).
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Mécanique du solide
121
REBONDS D’UNE BALLE
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : chute libre, énergie potentielle, énergie cinétique, coefficient de restitution.
Fichier associé : RebondsBalle_eleve_CAS.tns.
1. Objectifs
Utiliser un simulateur pour déterminer les hauteurs maximales successives atteintes par une balle au cours
de ses rebonds.
Modéliser ces hauteurs maximales à partir des termes d’une suite géométrique.
Interpréter les résultats grâce aux énergies cinétique et potentielle de la balle.
2. Énoncé
Comment modéliser les hauteurs successives atteintes par
une balle au cours de ses rebonds ?
Notations :
●
Hauteur initiale de la balle : h0,
Position de la balle dans le repère (O ; i ) : x = OM,
Temps : t,
Vitesse de la balle : v.
(voir aussi pages 1.1 et 1.2 du fichier .tns)
3. Hauteurs maximales successives atteintes par la balle
Aller sur la page 1.3.
Un simulateur des rebonds d’une balle apparait.
La hauteur initiale de chute h0 est réglable grâce à un curseur
entre 0 et 1 m.
Régler la hauteur initiale avec la valeur : h0 = 1 m.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
i
●O
M
122
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Aller sur la page 1.4.
La colonne B permet de saisir les hauteurs maximales
successives hmax atteintes par la balle au cours de ses rebonds.
En utilisant le simulateur, remplir le tableau de données.
Aller sur la page 1.5.
La courbe représentant les hauteurs maximales atteintes pour
chaque rebond apparait. On veut montrer que l’on peut
modéliser cette courbe par une suite géométrique (hn) de
raison q. Pour cela, créer un curseur pour la variable q allant
de 0 à 1 avec un pas égal à 0,01 puis afficher les termes
successifs de la suite (b, type de graphique, suite) à
partir de la relation de récurrence : hn + 1 = q hn. Ajuster q pour
modéliser le mieux possible les données.
Modèle obtenu : hn + 1 = ………. hn et h0 = ……. m.
4. Énergies cinétique et potentielle et coefficient de restitution
On néglige les frottements. Supposons que la balle est à sa hauteur maximale, notée h1, au cours d’un
rebond. Elle va retomber jusqu’à atteindre une vitesse v1 juste avant le choc avec le sol. Elle repart ensuite
avec une vitesse v2 juste après le choc. Elle remonter jusqu’à une nouvelle hauteur maximale h2 (inférieure à
h1) et ainsi de suite.
Aller sur la page 1.6.
Etablir les expressions littérales des vitesses v1 et v2 en
fonction de h1 et h2.
En déduire le coefficient de restitution e défini par la
v
relation e 2 . Taper dans la boite de saisie mathématique
v1
ý l’expression de ce coefficient de restitution.
Vérifier le résultat en affichant dans la seconde boite de saisie
mathématique la valeur de la variable e.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
123
5. Rebonds avec un coefficient de restitution plus faible
Créer une nouvelle page 1.7 (Calcul).
Saisir une valeur plus faible pour le coefficient de restitution : e = 0,80.
Créer une nouvelle page 1.8 (Tableur & listes).
A l’aide du simulateur, procéder à nouveau à la saisie des 10 premières hauteurs maximales successives.
Créer une nouvelle page 1.9 (Graphiques).
Vérifier, en traçant les hauteurs maximales successives ainsi que les termes de la suite (hn) de
raison q e 2 0,64 et de premier terme égal à 1, que les résultats sont bien conformes à ce que l’on attend.
Quel sens physique peut-on donner à e 2 ?
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124
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
ÉNERGIE MÉCANIQUE ET CHUTE D’UNE BALLE
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Frédéric Marquet
Mots-clés : chute libre, énergie mécanique, modélisation.
Fichiers associés : ChuteBalle_prof_CAS.tns, ChuteBalle_eleve_CAS.tns,
M20nElev_ChuteBalle.pdf.
1. Objectifs
Exploiter le principe de conservation de l’énergie mécanique pour déterminer une vitesse de chute.
Utiliser la vitesse de chute pour déterminer, par une méthode numérique, l’équation horaire de son
mouvement.
Modéliser l’équation horaire de la position et calculer un temps de chute.
2. Énoncé
On lâche une balle de masse m depuis une hauteur H0 avec une vitesse initiale v0
nulle (pages 1.1 et 1.2 du fichier .tns).
O
i
Comment déterminer son temps de chute ainsi que l’équation horaire de son
mouvement ?
Notations :
H0
x
●
v
- La balle est repérée par la position x de son centre de gravité et a une vitesse v,
- Le point O désigne la position de la balle à t = 0,
- Le repère d’étude est le repère (O ; i ).
Sol
Données : H0 = 100 m, v0 = 0 m.s-1 et g = 9,8 m.s-2.
3. Energie mécanique et calcul de la vitesse de chute
La balle va chuter de la hauteur H0 = 100 m jusqu’au sol. La distance x parcourue par la balle va donc varier
de 0 à 100 m. On va découper ces 100 m de chute en intervalles Δx de 10 m de hauteur puis on va évaluer le
temps Δt mis par la balle pour parcourir chacun de ces intervalles. Il suffira ensuite de faire la somme des Δt
obtenus pour connaître le temps de chute.
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Mécanique du solide
125
Aller sur la page 1.3.
Utiliser l’expression de l’énergie mécanique Em de la balle, en
fonction de sa vitesse v et de sa position x, pour exprimer sa
conservation entre l’instant initial t = 0 et une date quelconque t.
On choisira la position initiale x = 0 comme référence pour
l’énergie potentielle : Ep(0) = 0.
En déduire l’expression de la vitesse de chute v en fonction de
la position x de la balle.
Taper le calcul de v dans la boite de saisie ý
correspondante. Régler la valeur de x avec le curseur pour
déterminer la vitesse v(10) après 10 m de chute.
1
L’énergie mécanique de la balle (avec comme référence Ep(0) = 0) s’écrit Em mv 2 mgx .
2
La conservation de l’énergie mécanique (absence de frottement) entre t = 0 et un instant t quelconque s’écrit
:
1
1
1
m 02 mg 0 mv 2 mgx mv 2 mgx 0 .
2
2
2
On peut en déduire l’expression de la vitesse de chute v en fonction de x : v 2g x .
Application numérique : v(10) ≈ 14 m.s-1.
● Aller sur la page 1.4.
Remplir les zones de saisie permettant d’estimer le temps
nécessaire pour que la balle parcoure les 10 premiers mètres :
► Vitesse
pour x = 10 m,
v(0) v(10)
sur l’intervalle 0-10 m,
2
10
► Temps estimé pour la chute de 0 à 10 m :
.
vmoy
► Vitesse
moyenne v moy
Avec cette méthode, on trouve qu’il faut environ 1,43 s à la balle pour parcourir les 10 premiers mètres.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
126
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
4. Résolution numérique du problème
Pour calculer le temps de chute sur l’ensemble des 100 m, on
va procéder de la même manière que précédemment (partie
3) en découpant la hauteur totale de 100 m en 10 intervalles de
10 m de hauteur chacun.
Les différentes étapes de la démarche numérique adoptée sont
explicitées ci-dessous :
Calcul du temps de chute Δt i pour chaque intervalle de 10 m :
xi
10
t i
xi v moy i t i 10 m
v moy i v moy i
0m
Δt1
10 m
Δt2
20 m
30 m
Δx = 10 m
40 m
Regroupement des résultats dans des listes :
10
10
Δt_ {t1 ,…,t10 } {
,...,
},
v moy 1
v moy 10
t_ 0, t1 , t1 t 2 ,..., t1 ... t10 .
Remarque : Pour ne pas confondre la valeur courante d’une
variable « var » et la liste contenant l’ensemble des valeurs
prises par cette variable, on décide de noter la liste avec le
symbole « _ » : « var_ ».
● Aller sur la page 1.5.
Remplir les zones de saisie permettant de calculer les vitesses
successives de la balle :
► Liste
v1_ : vitesses pour x = 10, 20,…, 100 m.
► Liste
v2_ : vitesses pour x = 0, 10,…, 90 m.
Aide : Penser à utiliser la fonction seq.
Exemple :
y : seq( x , x,1,7,2) génère la liste y : 1, 3 , 5 , 7 .
● Aller sur la page 1.6.
A partir des listes v1_ et v2_ précédemment calculées, remplir
la zone de saisie pour générer la liste vmoy_ contenant les
vitesses moyennes de la balle pour chaque intervalle de 10 m :
1
► Liste vmoy_ v1_ v2_ .
2
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
90 m
Δt10
100 m
x
Mécanique du solide
● Aller sur la page 1.7.
A partir de la liste vmoy_ précédemment calculée, remplir la
zone de saisie pour générer la liste deltat_ contenant les temps
mis pas la balle pour parcourir chaque intervalle de 10 m.
● Aller sur la page 1.8.
A partir de la liste deltat_, remplir la première zone de
saisie pour générer la liste t_ contenant les temps mis par la
balle pour atteindre successivement les positions définies par :
x = 0, 10 m, …, 100 m.
►
Remplir la deuxième zone de saisie pour générer la liste x_
contenant les positions : 0, 10 m, …, 100 m.
►
● Aller sur la page 1.9.
La courbe représentant x = f(t) (positions de la balle au cours
du temps) apparaît.
► Ajuster la valeur a1 du curseur afin que la courbe
d’équation x a1 t 2 passe le mieux possible par les points
calculés.
Modèle obtenu : x 4,9 t 2 .
► Comparer
2 a1 à g (accélération de la pesanteur).
On constate que 2 a1 = 9,8 m.s-2 soit la valeur de g, accélération de la pesanteur.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
127
128
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
ÉNERGIE MÉCANIQUE ET CHUTE D’UNE BALLE
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : chute libre, énergie mécanique, modélisation.
Fichier associé : ChuteBalle_eleve_CAS.tns.
1. Objectifs
Exploiter le principe de conservation de l’énergie mécanique pour déterminer une vitesse de chute.
Utiliser la vitesse de chute pour déterminer, par une méthode numérique, l’équation horaire de son
mouvement.
Modéliser l’équation horaire de la position et calculer un temps de chute.
2. Énoncé
On lâche une balle de masse m depuis une hauteur H0 avec une vitesse initiale v0
nulle (pages 1.1 et 1.2 du fichier .tns).
O
i
Comment déterminer son temps de chute ainsi que l’équation horaire de son
mouvement ?
H0
Notations :
x
●
v
- La balle est repérée par la position x de son centre de gravité et a une vitesse v,
- Le point O désigne la position de la balle à t = 0,
- Le repère d’étude est le repère (O ; i ).
Sol
Données : H0 = 100 m, v0 = 0 m.s-1 et g = 9,8 m.s-2.
3. Énergie mécanique et calcul de la vitesse de chute
La balle va chuter de la hauteur H0 = 100 m jusqu’au sol. La distance x parcourue par la balle va donc varier
de 0 à 100 m. On va découper ces 100 m de chute en intervalles Δx de 10 m de hauteur puis on va évaluer le
temps Δt mis par la balle pour parcourir chacun de ces intervalles. Il suffira ensuite de faire la somme des Δt
obtenus pour connaître le temps de chute.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
129
Aller sur la page 1.3.
Utiliser l’expression de l’énergie mécanique Em de la balle, en
fonction de sa vitesse v et de sa position x, pour exprimer sa
conservation entre l’instant initial t = 0 et une date quelconque t.
On choisira la position initiale x = 0 comme référence pour
l’énergie potentielle : Ep(0) = 0.
En déduire l’expression de la vitesse de chute v en fonction de
la position x de la balle.
Taper le calcul de v dans la boite de saisie ý
correspondante. Régler la valeur de x avec le curseur pour
déterminer la vitesse v(10) après 10 m de chute.
● Aller sur la page 1.4.
Remplir les zones de saisie permettant d’estimer le temps
nécessaire pour que la balle parcoure les 10 premiers mètres :
► Vitesse
pour x = 10 m,
► Vitesse
moyenne v moy
► Temps
estimé pour les 10 premiers mètres de chute :
v(0) v(10)
sur l’intervalle 0-10 m,
2
10
.
vmoy
4. Résolution numérique du problème
Pour calculer le temps de chute sur l’ensemble des 100 m, on
va procéder de la même manière que précédemment (partie
3) en découpant la hauteur totale de 100 m en 10 intervalles de
10 m de hauteur chacun.
Les différentes étapes de la démarche numérique adoptée sont
explicitées ci-dessous :
Calcul du temps de chute Δt i pour chaque intervalle de 10 m :
xi
10
t i
xi v moy i t i 10 m
v moy i
v moy i
0m
Δt1
10 m
Δt2
20 m
30 m
Δx = 10 m
40 m
Regroupement des résultats dans des listes :
10
10
Δt_ {t1 ,…,t10 } {
,...,
},
v moy 1
v moy 10
t_ 0, t1 , t1 t 2 ,..., t1 ... t10 .
Remarque : Pour ne pas confondre la valeur courante d’une
variable « var » et la liste contenant l’ensemble des valeurs
prises par cette variable, on décide de noter la liste avec le
symbole « _ » : « var_ ».
● Aller sur la page 1.5.
Remplir les zones de saisie permettant de calculer les vitesses
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
90 m
Δt10
100 m
x
130
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
successives de la balle :
► Liste
v1_ : vitesses pour x = 10, 20,…, 100 m.
► Liste
v2_ : vitesses pour x = 0, 10,…, 90 m.
Aide : Penser à utiliser la fonction seq.
Exemple :
y : seq( x , x,1,7,2) génère la liste y : 1, 3 , 5 , 7 .
Vérifier que la vitesse obtenue pour x = 10 m est bien conforme à celle calculée dans la partie précédente.
● Aller sur la page 1.6.
A partir des listes v1_ et v2_ précédemment calculées, remplir
la zone de saisie pour générer la liste vmoy_ contenant les
vitesses moyennes de la balle pour chaque intervalle de 10 m :
1
► Liste vmoy_ v1_ v2_ .
2
● Aller sur la page 1.7.
A partir de la liste vmoy_ précédemment calculée, remplir la
zone de saisie pour générer la liste deltat_ contenant les temps
mis pas la balle pour parcourir chaque intervalle de 10 m.
● Aller sur la page 1.8.
A partir de la liste deltat_, remplir la première zone de
saisie pour générer la liste t_ contenant les temps mis par la
balle pour atteindre successivement les positions définies par :
x = 0, 10 m, …, 100 m.
►
Remplir la deuxième zone de saisie pour générer la liste x_
contenant les positions : 0, 10 m, …, 100 m.
►
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
131
● Aller sur la page 1.9.
La courbe représentant x = f(t) (positions de la balle au cours
du temps) apparaît.
Ajuster la valeur a1 du curseur afin que la courbe
d’équation x a1 t 2 passe le mieux possible par les points
calculés.
►
Modèle obtenu : x .......... t 2 .
► Comparer
2 a1 à g (accélération de la pesanteur).
● Aller sur la page 1.10.
On cherche à déterminer la durée de la chute, c'est-à-dire le
temps t pour lequel x(t) = 100 m.
Remplir la première zone de saisie afin qu’elle affiche la
valeur maximale de la liste t_.
►
Remplir la deuxième zone de saisie afin de calculer la durée
de chute à partir du modèle établi à la page 1.9.
►
Vérifier que les deux méthodes donnent bien le même résultat.
● Aller sur la page 1.10.
On cherche à déterminer la durée de la chute, c'est-à-dire le
temps t pour lequel x(t) = 100 m.
Remplir la première zone de saisie afin qu’elle affiche la
valeur maximale de la liste t_.
►
Remplir la deuxième zone de saisie afin de calculer la durée
de chute à partir du modèle établi à la page 1.9.
►
Vérifier que les deux méthodes donnent bien le même résultat.
La valeur maximale de la liste t_ est 4,52 s. Pour calculer le temps de chute à partir du modèle x a1 t 2 , il
suffit de résoudre l’équation a1 t 2 H 0 . On trouve également t = 4,52 s.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
132
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
MOUVEMENT D’UN PARACHUTISTE
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Frédéric Marquet
Mots-clés : mouvement, trajectoire, vitesse, principe d’inertie.
Fichiers associés : Parachutiste_eleve_CAS.tns, Parachutiste_prof_CAS.tns,
M15nElev_Parachutiste.pdf.
1. Objectifs
● Étudier
le mouvement de chute d’un parachutiste avant qu’il ouvre son parachute.
● Calculer une vitesse.
● Interpréter ce mouvement en utilisant le principe de l’inertie.
2. Énoncé
Un parachutiste saute d’une montgolfière à une altitude de
4 000 m.
Au cours de sa chute, avant d’ouvrir son parachute, son
altitude est enregistrée toutes les deux secondes grâce à un
altimètre.
La chronophotographie de la chute du parachutiste avant
d’ouvrir son parachute est représentée ci-contre.
Comment la vitesse de chute évolue-t-elle du au cours du
temps ? Pourquoi ?
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
3. Pointage des positions du parachutiste avec la calculatrice
Ouvrir le fichier « .tns » correspondant à l’étude du saut du
parachutiste.
●
La page 1.1 présente la trajectoire du parachutiste au cours du
saut.
Régler l’échelle afin que le repère jaune représente 1 000
●
m
À t = 0, le parachutiste est à l’origine du repère : on a OP = 0.
Modifier la position du point P : la distance OP parcourue par
le parachutiste s’actualise à mesure que l’on déplace P.
●
Stocker la distance OP dans la variable x.
La variable x apparait en gras : elle est bien stockée.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
133
134
●
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Aller sur la page 1.2 (Tableur & listes).
La colonne A, associée à la variable notée t, contient le temps
de t = 2 s jusqu’à 32 s, avec un pas de 2 s.
●
Saisir dans la zone grisée de la colonne B l’instruction :
« =capture(x,0) »
Elle signifie que l’on va effectuer une capture manuelle de la
variable x dans la colonne B à chaque fois que l’on appuiera
sur les touches : / ^.
Appuyer sur · pour se placer sur la cellule B1. La capture
des données est alors prête à être effectuée.
Remarque : La liste contenant l’ensemble des pointages (colonne B) est stockée dans la variable x1.
●
Retourner sur la page 1.1 et procéder au pointage puis à la
capture des positions successives du parachutiste au cours de
sa chute.
Vérifier que la capture s’est bien déroulée (page 1.2).
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
135
4. Modélisation de la distance parcourue en fonction du temps
●
Aller sur la page 1.3 (Graphiques).
La trajectoire du parachutiste apparait.
On remarque que lorsque t > 20 s, la courbe semble devenir
une droite.
Ajuster les valeurs de a et b pour que la droite d’équation :
OP = a t + b
passe par les points capturés pour t > 20 s.
Donner l’expression de la fonction « distance OP parcourue
par le parachutiste » en fonction du temps.
Les valeurs de a et b sont :
a = 69 m.s-1 b = 402 m
On obtient ainsi l’expression de la fonction « distance OP (m) parcourue par le parachutiste » en fonction du
temps t (s) :
OP = 69 t – 402
En déduire le temps au bout duquel le parachutiste devrait ouvrir son parachute s’il veut être à 1500 m du
sol.
●
Il faudra avoir :
On en déduit donc :
OP = 4 000 – 1 500 = 2 500 m
OP = 69 t – 402 = 2 500 m
t
2 500 402
42 s
69
Le parachutiste devra ouvrir son parachute au bout d’environ 42 s de chute.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
136
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Remarque : On peut trouver directement ce résultat avec la
calculatrice. Il suffit d’ouvrir l’application stratchpad et
d’utiliser la fonction solve.
5. Calcul de la vitesse de chute
Le but de cette partie est de tracer la courbe décrivant la variation de la vitesse de chute du parachutiste au
cours du temps.
Pour calculer la vitesse du parachutiste, on procède de la façon suivante :
Δt = 2 s
d
Δt
Pour ce point : v ≈
d
2 × Δt
Δt
●
Retourner sur la page 1.2 (Tableur & listes).
Saisir le calcul de la vitesse dans la colonne C.
Remarque : Il faut prendre garde au calcul de la vitesse pour
l’instant t = 2 s qui diffère de la formule générale de calcul.
b2
Pour t = 0, OP = 0
2 Δt = 4 s
Formule générale de calcul de la vitesse.
b1
b3
Formule générale
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
137
Une fois la formule générale saisie, il n’y a plus qu’à la
copier/coller jusqu’à l’avant dernière position (la vitesse de la
dernière position ne peut pas être calculée).
●
Aller sur la page 1.4 (Graphiques).
La variation de la vitesse au cours du temps apparaît à l’écran.
Interpréter l’allure de la courbe obtenue.
On constate qu’après environ 20 s de chute le parachutiste atteint une vitesse maximale : le mouvement
devient uniforme. Ceci est dû aux frottements de l’air : en effet, ils augmentent avec la vitesse de chute
donc il arrive un moment où les forces de frottements compensent le poids du parachutiste. D’après le
principe de l’inertie, la vitesse reste alors constante.
●
Ajuster la variable vmax pour déterminer la vitesse
maximale du parachutiste.
Comparer cette valeur avec la valeur de a calculée au 4.
Conclure.
En ajustant la valeur de vmax, on trouve :
vmax = 69 m.s-1.
On peut constater que la valeur de vmax correspond au coefficient directeur de la droite représentant
l’évolution de la distance de chute OP en fonction du temps t.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
138
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Interprétation : Il faut environ 20 s de chute pour atteindre la vitesse maximale. Au-delà de 20 s, la distance
parcourue entre deux positions successives est constante et la courbe représentant OP en fonction de t
devient une droite.
La valeur de vmax est donc égale au coefficient directeur a de la droite modélisant OP = f(t) pour t > 20 s.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
139
MOUVEMENT D’UN PARACHUTISTE
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : mouvement, trajectoire, vitesse, principe d’inertie.
Fichier associé : Parachutiste_eleve_CAS.tns.
1. Objectifs
le mouvement de chute d’un parachutiste avant qu’il ouvre son parachute.
● Calculer une vitesse.
● Interpréter ce mouvement en utilisant le principe de l’inertie
● Étudier
2. Énoncé
Un parachutiste saute d’une montgolfière à une altitude de
4 000 m.
Au cours de sa chute, avant d’ouvrir son parachute, son
altitude est enregistrée toutes les deux secondes grâce à un
altimètre.
La chronophotographie de la chute du parachutiste avant
d’ouvrir son parachute est représentée ci-contre.
Comment la vitesse de chute évolue-t-elle du au cours du
temps ? Pourquoi ?
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
140
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
3. Pointage des positions du parachutiste avec la calculatrice
Ouvrir le fichier « .tns » correspondant à l’étude du saut du
parachutiste.
●
La page 1.1 présente la trajectoire du parachutiste au cours du
saut.
Régler l’échelle afin que le repère jaune représente 1 000
m.
●
À t = 0, le parachutiste est à l’origine du repère : on a OP = 0.
Modifier la position du point P : la distance OP parcourue par
le parachutiste s’actualise à mesure que l’on déplace P.
●
Stocker la distance OP dans la variable x.
Remarque : lorsque la variable x est stockée, elle apparait en
gras (x).
●
Aller sur la page 1.2 (Tableur & listes).
La colonne A, associée à la variable notée t, contient le temps
de t = 2 s jusqu’à 32 s, avec un pas de 2 s.
Saisir dans la zone grisée de la colonne B l’instruction :
« =capture(x,0) »
Elle signifie que l’on va effectuer une capture manuelle de la
variable x dans la colonne B à chaque fois que l’on appuiera
sur les touches : / ^.
●
Appuyer sur · pour se placer sur la cellule B1. La
capture des données est alors prête à être effectuée.
●
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
141
●
Retourner sur la page 1.1 et procéder au pointage puis à la
capture des positions successives du parachutiste au cours de
sa chute.
Vérifier que la capture s’est bien déroulée (page 1.2).
Remarque : La liste contenant l’ensemble des pointages
(colonne B) est stockée dans la variable x1.
4. Modélisation de la distance parcourue en fonction du temps
●
Aller sur la page 1.3 (Graphiques).
La trajectoire du parachutiste apparait. Commenter l’allure de
la courbe obtenue.
Ajuster les valeurs de a et b pour que la droite d’équation
OP = a t + b passe par les points capturés pour t > 20 s.
Donner l’expression de la fonction « distance OP parcourue
par le parachutiste » en fonction du temps.
●
●
En déduire le temps au bout duquel le parachutiste devrait
ouvrir son parachute s’il veut être à 1 500 m du sol.
5. Calcul de la vitesse de chute
Le but de cette partie est de tracer la courbe décrivant la variation de la vitesse de chute du parachutiste au
cours du temps. Pour calculer la vitesse du parachutiste, on procède comme illustré ci-dessous :
v( M ) ≈
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
d
2 × Δt
Δt = 2 s
d
M
Δt = 2 s
142
●
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Retourner sur la page 1.2 (Tableur & listes).
Saisir le calcul de la vitesse dans la colonne C.
Remarque : Il faut prendre garde au calcul de la vitesse pour
l’instant t = 2 s qui diffère de la formule générale de calcul.
b2
Pour t = 0, OP = 0
2 Δt = 4 s
Formule générale de calcul de la vitesse.
Une fois la formule générale saisie, la copier / coller jusqu’à
l’avant dernière position (la vitesse de la dernière position ne
peut pas être calculée).
b1
b3
Formule générale
●
Aller sur la page 1.4 (Graphiques).
La variation de la vitesse au cours du temps apparaît à l’écran.
Interpréter l’allure de la courbe obtenue.
●
Ajuster la variable vmax pour déterminer la vitesse
maximale du parachutiste.
Comparer cette valeur avec la valeur de a calculée au 4.
Conclure.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
143
MOUVEMENT SUR UN PLAN INCLINÉ
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Abdelilah Yazi
Mots-clés : plan incliné, frottement statique, frottements, glissement, dynamique des forces, lois de
Coulomb.
Fichiers associés :
M19nElev_PlanIncline.pdf ;
EtudeCinematique.tns ; EtudeDynamique.tns
1. Objectifs
Étudier les forces mises en jeu lors de l’équilibre d’un objet sur un plan incliné.
Étudier la force de frottement statique d’un solide en équilibre sur un plan incliné.
Identifier la nature d’un mouvement.
Construire les représentations graphiques associées à des équations du mouvement.
2. Matériel
Une calculatrice TI-Nspire CX
.
Une interface d’acquisition Lab cradle,
Capteur de force : ± 10 N, ± 50 N.
Capteur de distance CBR2.
Secteur gradué pour mesurer l’angle d’inclinaison.
Un bloc métallique muni de deux crochets.
Supports, pinces, fil inextensible.
Un plan incliné, dispositif de fixation d’une poulie.
3. Commentaires
Pour simplifier la lecture des schémas, le point d’application de chaque force est ramené au centre de gravité de l’objet
considéré.
Considérons un solide parallélépipédique immobile sur un support plan incliné. Le support exerce sur le
solide des actions mécaniques qui peuvent être modélisées par une force unique appelée réaction du
support R et appliquée en un point de la surface de contact entre le solide et le support.
R
Rt
n
P
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Rn
P
α
144
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Cette force a deux composantes :
La réaction normale Rn qui empêche le solide de pénétrer dans le support.
La réaction tangentielle Rt appelée force de frottement, qui s’oppose au mouvement du solide.
Les deux composantes sont reliées par une relation empirique : Rt ≤ μo × Rn. (μo étant le coefficient de
frottement statique).
Si on incline doucement le plan, le solide demeure en équilibre jusqu’à un certain angle d’inclinaison appelé
angle limite αlim et, dès que α = αlim , le solide décroche et se met en mouvement ; on a : Rt = Rtmax , et la
R
relation entre les composantes de la réaction du support devient : μo = tmax = tan αlim.
Rn
On se propose de vérifier les lois empiriques de Coulomb relatives au frottement statique.
4. Conduite de l’activité
1) Étude dynamique
Réaliser le montage ci-dessous afin que le système soit en équilibre (le solide S doit être à la limite du
glissement), positionner le capteur sur la position ± 10 N.
Solide (masse avec crochets)
Poulie
Plan incliné
Fil
Rapporteur
Capteur
de force
Mettre la calculatrice sous tension et choisir une nouvelle
application DataQuest en cliquant sur l’icône
.
Le capteur force est automatiquement reconnu.
Acquisition manuelle de l’angle d’inclinaison
Pour une surface et un solide donnés, on fait varier l’angle
d’inclinaison α.
Appuyer sur la touche b pour paramétrer l’expérience,
en choisissant 1 : Expérience, 7 : Mode d’acquisition,
2 : Événements associées à une entrée.
Saisir ensuite le nom et l’unité.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
145
Manipulation
Démarrer les mesures en cliquant sur le bouton
.
Ouvrir un graphique représentant la force en fonction de
l’angle α
mesure.
et à chaque fois, cliquer sur
pour retenir la
L’application DataQuest trace alors automatiquement la
courbe de la force F en fonction l’angle α.
F est la force exercée par le capteur pour maintenir le
solide en équilibre.
Exploitation des résultats
On néglige la masse du fil et la masse de la poulie.
On peut donc évaluer la force de frottement Rt :
Rt = M g sin α F
= 10 sin α F
Pour cela :
Appuyer sur la touche b. Choisir : 2 : Données,
3 : Nouvelle colonne calculée...
Compléter les différents champs proposés.
Remarque : Ne pas oublier de convertir l’angle en radians :
Rt = 10 sin (3.14 angle/180) Force
On trace la force de frottement Rt.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
n
n
On peut montrer, par projection sur le plan incliné, que la
condition d’équilibre peut s’écrire :
F + Rt = M g × sin α avec g ≈ 10 N/kg.
F étant la force exercée par le fil.
Lors de l’expérience nous avions : M = 1 kg.
R
F
Capteur
P
Force
P
α
146
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
On remarque bien que :
α < αlim = 9°, la force F = 0 N et Rt < Rtmax = 1,4 N,
α > αlim , Rt ≈ Rtmax.
Coefficient de frottement statique μo :
μo =
Rtmax
= tan αlim = 0,15.
Rn
(en accord avec la littérature, qui donne un coefficient de 0,15
pour acier sur acier).
2) Étude cinématique
Réaliser le montage suivant (α = 15°).
Le capteur position CBR2 est automatiquement reconnu.
Appuyer sur la touche
en choisissant
b
pour paramétrer l’expérience,
1 : Expérience, 8 : Configuration de l’acquisition.
Choisir une acquisition sur 0,75 s avec 200 échantillons par
seconde.
Appuyer sur la touche e pour sélectionner chaque champ
de saisie, y compris le bouton OK de confirmation.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
Manipulation
Démarrer les mesures en cliquant sur le bouton
, ensuite
lâcher le solide sans vitesse initiale sur le plan incliné.
L’application DataQuest trace automatiquement les deux
courbes : la position et la vitesse en fonction du temps.
Exploitation des résultats
Si on néglige les frottements, le théorème de l’énergie
cinétique, appliqué au solide en mouvement sur le plan incliné
donne :
v² = 2 g sin α x.
v : vitesse du mobile.
x : distance parcourue.
Données : α = 15° ; sin α ≈ 0,259 ; g = 10 m/s²
donc
v²theor = 5,18 x.
Comparons le résultat obtenu expérimentalement avec celle
calculée (théoriquement).
Pour cela :
Appuyer sur la touche b. Choisir : 2 : Données,
3 : Nouvelle colonne calculée...
Compléter les différents champs proposés.
De la même manière, pour saisir la formule de la vitesse
théorique (v²theor = 5,18 x), appuyer sur la touche b,
puis choisir : 2 : Données, 3 : Nouvelle colonne calculée...
Ensuite visualiser les deux courbes sur le même graphique.
L’écart entre la valeur théorique et la valeur expérimentale
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147
148
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
est dû au fait qu’on a négligé les frottements dans l’expression
théorique.
L’expression de la vitesse en tenant compte des frottements
est :
v2 = 2 (g sin α
Rt
) × x.
M
Prolongement
On peut envisager de déterminer la valeur moyenne de la force du frottement (cinétique), ainsi que le
coefficient de frottement cinétique.
Discussion sur l’importance des forces de frottements
Sans le frottement, une voiture ne peut ni rouler ni freiner, le train d'atterrissage d'un avion ne peut jouer son
rôle, une grue ne peut soulever de charges, une allumette ne peut s'allumer, et on aura beau frotter les mains
elles ne s'échaufferont jamais !... C'est dire l'importance des forces de frottement dans notre vie et dans le
monde qui nous entoure.
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Mécanique du solide
149
MOUVEMENT SUR UN PLAN INCLINÉ
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : plan incliné, frottement statique, frottements, glissement, dynamique des forces, lois de
Coulomb.
1. Objectifs
Étudier les forces mises en jeu lors de l’équilibre d’un objet sur un plan incliné.
Étudier la force de frottement statique d’un solide en équilibre sur un plan incliné.
Identifier la nature d’un mouvement.
Construire les représentations graphiques associées à des équations du mouvement.
2. Matériel
Une calculatrice TI-Nspire CX
.
Une interface d’acquisition Lab cradle,
Capteur de force : ± 10 N, ± 50 N.
Capteur de distance CBR2.
Secteur gradué pour mesurer l’angle d’inclinaison.
Un bloc métallique muni de deux crochets.
Supports, pinces, fil inextensible.
Un plan incliné, dispositif de fixation d’une poulie.
3. Commentaires
Pour simplifier la lecture des schémas, le point d’application de chaque force est ramené au centre de gravité de l’objet
considéré.
Considérons un solide parallélépipédique immobile sur un support plan incliné. Le support exerce sur le
solide des actions mécaniques qui peuvent être modélisées par une force unique appelée réaction du
support R et appliquée en un point de la surface de contact entre le solide et le support.
R
Rt
Rn
n
P
P
α
Cette force a deux composantes :
La réaction normale Rn qui empêche le solide de pénétrer dans le support.
La réaction tangentielle Rt appelée force de frottement, qui s’oppose au mouvement du solide.
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150
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Les deux composantes sont reliées par une relation empirique : Rt ≤ μo × Rn. (μo étant le coefficient de
frottement statique).
Si on incline doucement le plan, le solide demeure en équilibre jusqu’à un certain angle d’inclinaison appelé
angle limite αlim et, dès que α = αlim , le solide décroche et se met en mouvement ; on a : Rt = Rtmax , et la
R
relation entre les composantes de la réaction du support devient : μo = tmax = tan αlim.
Rn
On se propose de vérifier les lois empiriques de Coulomb relatives au frottement statique.
4. Conduite de l’activité
1) Étude dynamique
Réaliser le montage ci-dessous afin que le système soit en équilibre (le solide S doit être à la limite du
glissement), positionner le capteur sur la position ± 10 N.
Solide (masse avec crochets)
Poulie
Plan incliné
Fil
Rapporteur
Capteur
de force
Mettre la calculatrice sous tension et choisir une nouvelle
application DataQuest en cliquant sur l’icône
.
Le capteur force est automatiquement reconnu.
Acquisition manuelle de l’angle d’inclinaison
Pour une surface et un solide donnés, on fait varier l’angle
d’inclinaison α de 0° à 60°.
Appuyer sur la touche b pour paramétrer l’expérience,
en choisissant 1 : Expérience, 7 : Mode d’acquisition,
2 : Événements associées à une entrée.
Saisir ensuite le nom et l’unité.
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Mécanique du solide
151
Manipulation
Démarrer les mesures en cliquant sur le bouton
.
Ouvrir un graphique représentant la force en fonction de l’angle α
pour retenir la mesure.
et à chaque fois, cliquer sur
L’application DataQuest trace alors automatiquement la courbe de la force F en fonction l’angle α.
F est la force exercée par le capteur pour maintenir le solide en équilibre.
Exploitation des résultats
R
F
On néglige la masse du fil et la masse de la poulie.
n
n
Faire le bilan des forces s’exerçant sur le solide.
.........................................................................................
Capteur
.........................................................................................
Force
P
.........................................................................................
Écrire la première condition d’équilibre de ce solide.
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
En projetant les forces sur le plan incliné, montrer que la
condition d’équilibre peut s’écrire :
F + Rt = M g sin α avec g ≈ 10 N/kg , M = 1 kg.
F étant la force exercée par le fil (indiquée par le capteur).
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
En déduire que l’expression de la force de frottement Rt est :
Rt = M g sin α – F = 10 sin α – F.
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
On se propose de tracer la courbe de la force de frottement
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P
α
152
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
dans le même graphe que celle de la force F :
Appuyer sur la touche b. Choisir : 2 : Données,
3 : Nouvelle colonne calculée...
Compléter les différents champs proposés.
Remarque : Ne pas oublier de convertir l’angle en radians :
Rt = 10 sin (3.14 angle/180) Force
Tracer et commenter la courbe de la force de frottement Rt.
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
Donner une estimation du Coefficient de frottement statique μo : μo =
Rtmax
= tan αlim.
Rn
…………………………………………………………………………………………………………………
Comparer cette valeur avec la valeur donnée par la littérature μo = 0,15.
…………………………………………………………………………………………………………………..
2) Étude cinématique
Réaliser le montage suivant (α = 15°).
Le capteur position CBR2 est automatiquement reconnu.
Appuyer sur la touche
en choisissant
b
pour paramétrer l’expérience,
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Mécanique du solide
153
1 : Expérience, 8 : Configuration de l’acquisition.
Choisir une acquisition sur 0,75 s avec 200 échantillons par
seconde.
Appuyer sur la touche e pour sélectionner chaque champ
de saisie, y compris le bouton OK de confirmation.
Manipulation
Démarrer les mesures en cliquant sur le bouton
, ensuite
lâcher le solide sans vitesse initiale sur le plan incliné.
A l’aide de l’application DataQuest, tracer les deux courbes :
position et vitesse en fonction du temps.
Utiliser le curseur de l’axe des abscisses (Temps) pour garder
la bonne allure des deux courbes.
Exploitation des résultats
Quel type de courbe suit l’évolution de la position x(t) ?
.........................................................................................
.........................................................................................
Quel type de courbe suit l’évolution de la vitesse v(t) ?
.........................................................................................
.........................................................................................
De quel type de mouvement est animé le solide lorsqu’il
dévale la pente, et donner le type de trajectoire.
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
Si on néglige les frottements, le théorème de l’énergie cinétique, appliqué au solide en mouvement sur le
plan incliné donne : v² = 2 g sin α x.
v : vitesse du mobile ; x : distance parcourue ; données : α = 15° ; g = 10 m/s² .
Compléter : v²theor = ……. x.
Comparons le résultat obtenu expérimentalement avec celle calculée : ( v²theor et v²exp).
Pour cela :
Appuyer sur la touche b. Choisir : 2 : Données, 3 : Nouvelle colonne calculée...
Compléter les différents champs proposés.
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154
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
De la même manière, pour saisir la formule de la vitesse théorique v²theor trouvée précédemment, appuyer
sur la touche b, puis choisir : 2 : Données, 3 : Nouvelle colonne calculée...
Ensuite visualiser les deux courbes sur le même graphique.
Rechercher les raisons d’un éventuel écart entre la valeur théorique et la valeur expérimentale.
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
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Mécanique du solide
155
POIDS ET MASSE
(Fiche professeur)
Auteur : Jean-Louis Balas
TI-Nspire - TI-Nspire CAS
Mots-clés : acquisition de données, expérimentation assistée par ordinateur, pesanteur, attraction,
masse, quantité de matière.
Fichiers associés : M6nEleve_poids_masse.pdf ; masse_poids.tns ; masse_poids.tnsp
1. Objectifs
Différencier masse et poids.
Comprendre la notion de transfert de chaleur.
Évaluer graphiquement une variation.
2. Matériel
Un support avec noix de serrage
Un capteur de force
Une boîte de masses marquées
Une centrale d’acquisition
Une calculatrice.
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156
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
3. Mise en œuvre (30 minutes)
Mettre la calculatrice sous tension et choisir une
nouvelle application DataQuest à partir de l’écran
d’accueil en cliquant sur l’icône
.
Réaliser le montage ci-contre et positionner le
capteur sur la position 10.
On accroche des masses marquées au capteur. La
force poids correspondant à cette masse est affichée
par la calculatrice. L’expérimentateur entre
manuellement la valeur de la masse.
20 g
a) Reconnaissance du capteur
Le capteur de force n’est pas automatiquement
reconnu.
Pour le faire reconnaître par la calculatrice, appuyer
sur la touche b puis choisir :
1 : Expérience puis A : Configuration avancée et
enfin 3 : Configurer le capteur.
Choisir dans la liste proposée le capteur de force
double échelle.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
157
Lorsque le capteur est reconnu, il est préférable de
le réajuster à zéro.
Appuyer sur la touche b puis choisir :
1 : Expérience puis 9 :
Capteurs et enfin 3 : Zéro.
Configuration
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
des
158
b) Paramétrer l’acquisition
Les valeurs de la masse sont à entrer manuellement.
Le poids est quant à lui mesuré automatiquement
par le système d’acquisition. Il convient donc de
paramétrer une acquisition manuelle avec entrée.
Appuyer sur la touche b puis choisir :
1 : Expérience puis 7 : Mode d’acquisition et
enfin 2 : Événements associés à une entrée.
Achever de compléter les champs proposés dans la
fenêtre qui s’ouvre alors.
Remarque : pour plus de commodités, il peut être
préférable d’entrer les valeurs des masses marquées
en grammes. Nous ferons automatiquement réaliser
la conversion en kg par le tableur ultérieurement.
Accrocher une masse marquée au capteur de
mesures en commençant par des masses de faible
valeur.
Démarrer l’acquisition en cliquant sur l’icône
Lorsque la valeur est stabilisée cliquer sur l’icône
pour conserver la valeur mesurée et entrer
manuellement la valeur de la masse. La représentation
graphique s’effectue au fur et à mesure.
c) Exploitation des mesures
Première possibilité :
L’application permet d’effectuer des calculs à partir
des mesures. Ainsi dans cet exemple, il est
nécessaire de faire réaliser une conversion des
valeurs de la masse en kg.
Appuyer sur la touche b puis choisir :
2 : Données puis 3 : Nouvelle colonne calculée.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Mécanique du solide
Compléter les différents champs proposés, sans
oublier l’expression.
La masse est alors exprimée en kg.
Modifier la représentation graphique pour avoir la
force en fonction de la masse M exprimée en kg.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
159
160
Il suffit simplement de cliquer sur l’étiquette de
l’axe des abscisses.
Une analyse des données peut être directement
réalisée à partir des modèles proposés dans
DataQuest.
Appuyer sur la touche b puis choisir :
4 : Analyse puis 6 : Ajustement des courbes et
enfin B : Proportionnel.
On remarquera la possibilité de réaliser un
ajustement proportionnel préférable à un ajustement
linéaire.
Comparer
la
valeur
du
coefficient
de
proportionnalité à celle de la littérature, analyser les
écarts (verticalité du capteur, exactitude des masses
marquées…).
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Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Mécanique du solide
161
Seconde possibilité :
Insérer une application Tableur & Listes.
Placer le curseur dans la colonne A tout en haut de
la colonne A et appuyer sur la touche h.
Lier la colonne A à la variable run1.masse.
Procéder de la même façon avec la colonne B en la
liant à la variable run1.force.
Dans la colonne C, calculer la masse en kg.
Appuyer sur la touche
· pour effectuer le calcul.
Insérer une application Graphiques et représenter
le nuage de points (m ; run1.force).
Appuyer sur la touche b puis choisir :
3 : Type de graphique puis 4 : Nuage de points.
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162
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Compléter les champs proposés à l’aide des
variables en appuyant sur la touche h.
Utiliser la touche
autre.
h pour passer d’un champ à un
Appuyer sur la touche
représentation graphique.
·pour
afficher la
Appuyer sur la touche b puis choisir :
4 : Fenêtre et enfin 9 : Zoom – Données pour
effectuer une mise à l’échelle automatique.
Appuyer sur la touche b puis choisir :
7 : Points et droites puis enfin 4 : Droite, pour
représenter une droite passant au mieux par
l’ensemble des points.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
Demander une équation de cette droite :
1 : Actions et 7 : Coord et éq.
163
b,
puis
Comparer
la
valeur
du
coefficient
de
proportionnalité à celle de la littérature ; analyser
les écarts (verticalité du capteur, exactitude des
masses marquées…).
Remarque : Il peut également être intéressant de ne
travailler que sur le tableur en calculant le rapport
force
puis en effectuant la moyenne des rapports
masse
calculés.
d) Lecture graphique
Placer un point libre sur la droite précédemment
tracée, demander l’affichage de ses coordonnées
(menu 1 : Actions puis 7 : Coord et éq.).
Prendre un objet quelconque (trousse, baladeur…)
et le suspendre au capteur de force.
Noter la valeur de la masse de cet objet.
Peser l’objet sur une balance de laboratoire.
Comparer les valeurs M calculée et M mesurée .
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164
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
POIDS ET MASSE
(Fiche élève)
TI-Nspire - TI-Nspire CAS
Mots-clés : acquisition de données, expérimentation assistée par ordinateur, pesanteur, attraction,
masse, quantité de matière.
Fichiers associés : masse_poids.tns ; masse_poids.tnsp
1. Objectifs
Différencier masse et poids.
Comprendre la notion de transfert de chaleur.
Évaluer graphiquement une variation.
2. Matériel
Un support avec noix de serrage
Un capteur de force
Une boîte de masses marquées
Une centrale d’acquisition
Une calculatrice.
3. Mise en œuvre (30 minutes)
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Mécanique du solide
165
Mettre la calculatrice sous tension et choisir une
nouvelle application DataQuest à partir de l’écran
d’accueil en cliquant sur l’icône
.
Réaliser le montage ci-contre et positionner le
capteur sur la position 10.
On accroche des masses marquées au capteur. La
force poids correspondant à cette masse est affichée
par la calculatrice. L’expérimentateur entre
manuellement la valeur de la masse.
20 g
b) Reconnaissance du capteur
Le capteur de force n’est pas automatiquement
reconnu.
Pour le faire reconnaître par la calculatrice,
appeler le professeur.
Lorsque le capteur est reconnu, il est préférable de
le réajuster à zéro.
Cela correspond à la tare de la balance de pesée.
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166
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Appuyer sur la touche b puis choisir :
1 : Expérience puis 9 :
Capteurs et enfin 3 : Zéro.
Configuration
des
b) Paramétrer l’acquisition
Les valeurs de la masse sont à entrer manuellement.
Le poids est quant à lui mesuré automatiquement
par le système d’acquisition. Il convient donc de
paramétrer une acquisition manuelle avec entrée.
Appuyer sur la touche b puis choisir :
1 : Expérience puis 7 : Mode d’acquisition et
enfin 2 : Événements associés à une entrée.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
Achever de compléter les champs proposés dans la
fenêtre qui s’ouvre alors.
Remarque : pour plus de commodités, il peut être
préférable d’entrer les valeurs des masses marquées
en grammes. Nous ferons automatiquement réaliser
la conversion en kg par le tableur ultérieurement.
Accrocher une masse marquée au capteur de
mesures en commençant par des masses de faible
valeur.
Démarrer l’acquisition en cliquant sur l’icône
Lorsque la valeur est stabilisée cliquer sur l’icône
pour conserver la valeur mesurée et entrer
manuellement la valeur de la masse. La représentation
graphique s’effectue au fur et à mesure.
Poursuivre ainsi en réalisant un minimum d’une
dizaine de mesures.
e) Exploitation des mesures
Insérer une application Tableur & Listes.
Placer le curseur dans la colonne A tout en haut de
la colonne A et appuyer sur la touche h.
Lier la colonne A à la variable run1.masse.
Procéder de la même façon avec la colonne B en la
liant à la variable run1.force.
Dans la colonne C, calculer la masse en kg.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
167
168
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Appuyer sur la touche b puis choisir :
7 : Points et droites puis enfin 4 : Droite, pour
représenter une droite passant au mieux par
l’ensemble des points.
Demander une équation de cette droite :
1 : Actions et 7 : Coord et éq.
b,
puis
Comparer
la
valeur
du
coefficient
de
proportionnalité à celle de la littérature ; analyser
les écarts (verticalité du capteur, exactitude des
masses marquées…).
Remarque : Il peut également être intéressant de ne
travailler que sur le tableur en calculant le rapport
force
puis en effectuant la moyenne des rapports
masse
calculés.
f) Lecture graphique
Placer un point libre sur la droite précédemment
tracée, demander l’affichage de ses coordonnées
(menu 1 : Actions puis 7 : Coord et éq.).
Prendre un objet quelconque (trousse, baladeur…)
et le suspendre au capteur de force.
Noter la valeur de la masse de cet objet.
Peser l’objet sur une balance de laboratoire.
Comparer les valeurs M calculée et M mesurée .
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
169
DÉCRIRE LE MOUVEMENT D’UN VÉHICULE
(Fiche professeur)
TI-Nspire - TI-Nspire CAS
Mots-clés : acquisition de données, expérimentation assistée par ordinateur, mouvement, vitesse,
accélération, repère.
Fichiers associés : M5n_Quad.tns, M5nElev_Quad.tns, M5nProf_Quad.tns, M5nElev_Quad.pdf
1. Objectifs
Délimiter un système et choisir un référentiel adapté.
Reconnaître un état de repos ou de mouvement d’un objet par rapport à un autre.
Identifier la nature d’un mouvement à partir d’un enregistrement.
2. Commentaires
La conduite des activités de sciences physiques à l’aide de la plate forme scientifique TI-Nspire, nécessite
de posséder un capteur de distance CBR2 et un « quad Playmobil ».
3. Mise en œuvre (50 minutes)
a) Préparation de l’expérience
Mettre la calculatrice sous tension et choisir une
nouvelle application Tableur & listes.
Connecter le capteur CBR2 à la calculatrice par
l’intermédiaire du câble USB.
Appuyer sur les touches / D si la console
d’acquisition de données ne s’ouvre pas
automatiquement lorsque le capteur est connecté à
la calculatrice.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
170
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Paramétrer l’acquisition de façon à prélever une
mesure toutes les 0.02 secondes pendant 4 s (touche
b).
b) Réalisation de l’expérience
Appuyer sur la touche
acquisition.
et démarrer une
Mettre le « quad » sur le sol, puis le reculer jusqu’à
entendre un cliquetis.
Le mobile doit être placé à une distance minimale
de 12 cm.
Après 1s lâcher le mobile.
Lorsque l’acquisition est terminée, afficher les
données correspondant au temps dans la colonne A
du tableur et celle correspondant à la distance
parcourue dans la colonne B.
Pour cela, mettre le curseur dans la colonne A en
haut de la colonne A et appuyer sur la touche h
puis choisir la variable « dc01.time ». Procéder de la
même façon avec les données de la distance dans la
colonne B.
Insérer une nouvelle page et choisir l’application
graphique. Appuyer sur la touche b et choisir le
menu 3 : Type de graphique, puis 4 : Nuage de points.
Représenter le nuage (temps ; distance). Utiliser la
touche h pour choisir les variables et e pour
passer d’un champ à un autre.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
171
Valider en appuyant sur la touche ·.
D f (t ) : Distance-temps
Appuyer sur la touche b, choisir 4 : Fenêtre et
choisir le zoom adapté aux données (9 : ZOOM –
Données).
Le mouvement du véhicule comprend trois phases :
Immobile,
Mouvement uniforme,
Mouvement uniformément varié.
v f (t ) : Vitesse-temps
c) Exploitation des résultats
Mesure de la vitesse (mouvement uniforme)
Sur le graphe Distance – temps, placer deux points
A et B dans la partie linéaire (mouvement uniforme)
Modifier les abscisses de ces points en cliquant sur
celles-ci et les ajuster à des valeurs entières.
Tracer la droite (AB) et mesurer la valeur de son
coefficient directeur (touche b 8 : Mesures puis 3 :
pente).
Ouvrir une nouvelle page Tableur & listes.
Ajouter dans la colonne C, les données relatives à la
vitesse
Sélectionner les mesures de la vitesse comprises
entre les dates t A et t B . Copier ces données (/ C).
Coller cette plage de données (/ V) dans la
colonne D en lui donnant l’étiquette « vit ».
Sélectionner la colonne D et demander dans une
autre cellule la moyenne de ces valeurs :
=mean(vit)
Comparer la valeur moyenne de la vitesse avec le
coefficient directeur de la droite (AB).
Remarque : Il peut être tout aussi intéressant en
classe de stocker les coordonnées des points A et B
(/ Ë ) dans des variables bien nommées, puis de
faire calculer la valeur du coefficient directeur dans
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
172
le calepin (Scratchpad) v
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
dB d A
.
tB t A
Mouvement uniformément varié
Ouvrir une nouvelle page Graphiques.
Séparer cette page en deux (~ 5 : Format de page
puis 2 : Sélectionner un format).
Choisir un partage horizontal. Représenter sur la
page du haut le graphe (Distance – temps) et sur
celui du bas, le graphe (vitesse – temps).
Dans la dernière partie du graphique (Distance –
temps), la vitesse semble une fonction linéaire du
temps. Le mouvement est donc uniformément varié.
Procéder comme précédemment, la « pente » du
diagramme des vitesses donne l’accélération du
mobile.
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Mécanique du solide
173
COMMENT DECRIRE LE MOUVEMENT D’UN VEHICULE
(Fiche élève)
TI-Nspire - TI-Nspire CAS
1. Objectifs
Délimiter un système et choisir un référentiel adapté.
Reconnaitre un état de repos ou de mouvement d’un objet par rapport à un autre.
Identifier la nature d’un mouvement à partir d’un enregistrement.
2. Commentaires
La conduite des activités de sciences physiques à l’aide de la plate forme scientifique TI-nSpire, nécessite de
posséder un capteur de distance CBR2 et un « quad Playmobil » . Néanmoins si l’on ne dispose pas du
capteur de mesures, le travail peut-être réalisé à partir du fichier quad_eleve.tns dans lequel les mesures sont
sauvegardées.
3. Mise en œuvre (50 minutes)
a) Préparation de l’expérience
L’expérience est à réaliser en binôme.
Mettre la calculatrice sous tension et ouvrir le
dossier « quad ».
Connecter le capteur CBR2 à la calculatrice par
l’intermédiaire du câble USB.
Positionner le quad face au capteur.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
174
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Parmi les deux configurations possibles ci-dessous,
préciser celle pour laquelle la distance D augmente en
fonction du temps t. (Le quad ne fonctionne qu’en
marche avant).
…………………………………………………………
……………………………………………………………………...
Représenter, sur la photographie correspondant à votre
choix, un repère orienté.
b) Réalisation de l’expérience
Appuyer sur la touche
et démarrer une acquisition.
Mettre le « quad » sur le sol, puis le reculer jusqu’à
entendre un cliquetis.
Le mobile doit être placé à une distance minimale de
12 cm. Après 1s lâcher le mobile.
Lorsque l’acquisition est terminée, afficher les données
correspondant au temps dans la colonne A du tableur et
celle correspondant à la distance parcourue dans la
colonne B.
Pour cela, mettre le curseur dans la colonne A en haut
de la colonne A et appuyer sur la touche h puis
choisir la variable « dc01.time ». Procéder de la même
façon avec les données de la distance dans la colonne
B.
Insérer une nouvelle page et choisir l’application
graphique. Appuyer sur la touche b et choisir le menu
3 : Type de graphique, puis 4 : Nuage de points.
Représenter le nuage (temps ; distance). Utiliser la
touche h pour choisir les variables et e pour
passer d’un champ à un autre.
Valider en appuyant sur la touche ·.
Appuyer sur la touche b, choisir 4 : Fenêtre et
choisir le zoom adapté aux données (9 : ZOOM –
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
175
Données).
Le graphique montre que le mouvement du véhicule
comprend trois phases.
Préciser les dates t1 , t2 , t3 où vous observez une
modification de la nature du mouvement :
……………………………………………………
…………………………………………………….
…………………………………………………….
Décrire la nature du mouvement durant les intervalles
de temps :
0,t1 ………………………………………………
t1, t2 ……………………………………………...
D f (t ) : Distance-temps
t2 , t3 ……………………………………………...
c) Exploitation des résultats
Mesure de la vitesse (mouvement uniforme)
Sur le graphe Distance – temps, placer deux points A
et B dans la partie linéaire (mouvement uniforme).
Modifier les abscisses de ces points en cliquant sur
celles-ci et les ajuster à des valeurs entières.
Tracer la droite (AB) et mesurer la valeur de son
coefficient directeur (touche b 8 : Mesures puis 3 :
pente).
Ouvrir une nouvelle page Tableur & listes.
Ajouter dans la colonne C, les données relatives à la
vitesse.
Sélectionner les mesures de la vitesse comprises entre
les dates t A et t B . Copier ces données (/ C).
Coller cette plage de données (/ V) dans la
colonne D en lui donnant l’étiquette « vit ».
Sélectionner la colonne D et demander dans une autre
cellule la moyenne de ces valeurs :
=mean(vit)
Comparer la valeur moyenne de la vitesse avec le
coefficient directeur de la droite (AB).
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
v f (t ) : Vitesse-temps
176
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
Calculer le rapport
dB d A
...................m / s .
tB t A
Mouvement uniformément varié
Ouvrir une nouvelle page Graphiques.
Séparer cette page en deux (~ 5 : Format de page
puis 2 : Sélectionner un format).
Choisir un partage horizontal. Représenter sur la
demi-page du haut le graphe (Distance – temps) et sur
celle du bas, le graphe (vitesse – temps).
Dans la dernière partie du graphique (Distancetemps), peut-on affirmer si le mouvement semble
uniformément varié ? Justifier la réponse.
………………………………………………….
………………………………………………….
Placer deux points C et D dans la partie du diagramme
des vitesses où la vitesse est une fonction linéaire du
temps.
Ajuster manuellement une droite au nuage de points
de cette partie et mesurer le coefficient directeur de
celle-ci.
Ouvrir une nouvelle page Tableur & listes.
Ajouter dans la colonne C, les données relatives à
l’accélération.
Sélectionner les mesures de l’accélération comprises
entre les dates t C et t D . Copier ces données (/ C).
Coller cette plage de données dans la colonne G en lui
donnant l’étiquette « acc ».
Sélectionner la colonne G et demander dans une autre
cellule la moyenne de ces valeurs :
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Mécanique du solide
177
=mean(acc)
Calculer le rapport :
vD vC
.........................m / s 2 .
t D tC
Conclusion : Justifier les deux affirmations :
La vitesse du mobile entre deux instants est le
taux de variation de la distance par rapport au
temps.
……………………………………………………….
……………………………………………………….
L’accélération du mobile entre deux instants est
le taux de variation de la vitesse par rapport au
temps.
……………………………………………………….
……………………………………………………….
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178
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
MASSE DE LA TERRE
Auteur : Jean-Louis Balas
TI-Nspire TI-Nspire CAS
Avertissement : ce document a été réalisé avec la version 1.6
Mots-clés : masse, gravitation, pendule, période.
Fichiers associés : M4nElev_MasseTerre.tns, M4nProf_MasseTerre.tns
1. Objectifs
A partir de la mesure de la période des oscillations d’un pendule simple, utiliser le tableur intégré à TINspire pour retrouver une valeur approchée de la masse de la terre.
Évaluer les sources d’erreurs sur la mesure de la période, proposer des solutions afin d’affiner la qualité de
la mesure.
Familiariser l’élève aux possibilités offertes par la calculatrice.
2. Commentaires
Selon le niveau d’enseignement, on discutera des différentes méthodes de calcul de la masse de la terre et
des approximations nécessaires à l’élaboration d’un calcul simplement abordable par des élèves du
secondaire.
On pourra trouver avec profit, dans cette activité, un complément intéressant dans l’utilisation du « solveur »
de la calculatrice TI-8x et/ou dans une leçon sur la manipulation de formules.
3. Conduite de l’activité
On réalise le schéma expérimental ci-dessous. Le capteur CBR est connecté à l’unité nomade par
l’intermédiaire du câble USB. Cette connexion ouvre automatiquement la console d’acquisition de données.
Il n’est pas nécessaire de modifier le réglage par défaut des paramètres d’acquisition.
Déclencher l'acquisition en cliquant sur la flèche verte
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Mécanique du solide
179
La période T du pendule est donnée par la relation
T 2π
l
où l désigne la période du pendule et g
g
l’accélération de la pesanteur.
La mesure de la masse de la terre consiste en un
calcul de g à partir de la mesure de la période du
M
pendule, sachant par ailleurs que g k 2T où
RT
k 6, 67 1011 Nm 2 kg 2
est
constante
et
RT 6 380 km est le rayon de la terre.
A partir de la représentation graphique ci-dessus, mesurer la période T des oscillations.
En utilisant l’expression de la période du pendule, exprimer g en fonction de cette période et de la
longueur l du pendule.
4π 2 l
M
Sachant que g 2 et que par ailleurs g k 2T , en déduire l’expression de la valeur de MT.
RT
T
Calculer la valeur de la masse MT de la terre.
Ce calcul peut facilement être réalisé dans un tableur ou en programmant la calculatrice.
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180
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Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Mécanique du solide
181
CHAMP ET FORCES
(Fiche professeur)
Auteur : Jean-Louis Balas
TI-Nspire CAS
Mots-clés : champ, lignes, spectre, cartographie, champ électromagnétique, force, gravitation, pesanteur.
Fichiers associés : champ-electrique.tns
1. Objectifs
Connaitre ce qu’est un champ en physique.
Caractériser un champ.
Distinguer un champ scalaire et un champ vectoriel.
Connaitre les caractéristiques de quelques champs.
2. Énoncé
Cette étude se propose d’insister sur le champ électrique. Il sera en effet aisément identifiable par
l’intermédiaire des lignes équipotentielles.
Les ondes électromagnétiques sont des champs électriques et magnétiques qui se propagent dans l’espace
depuis la source d’émission. Elles sont omniprésentes dans notre environnement.
Le mode de vie occidental, l’industrie, ainsi que de nombreuses techniques médicales en sont dépendants.
Certains s’inquiètent de cette proximité entre l’homme et les champs.
3. Matériel
Une calculatrice TI-Nspire,
un lab cradle,
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182
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
une sonde de tension,
une pile de 4,5 V,
des électrodes de cuivre,
des pinces crocodiles,
du papier millimétré,
du papier Canson noir (faiblement conducteur) ou du papier thermique (utilisé sur les tables à coussin d’air).
4. Conduite de l’activité
L’activité se déroule en deux temps :
a) Utiliser un simulateur pour approcher qualitativement la notion de champ et de ligne de champ.
b) Mesurer un potentiel en un point du plan puis déduire, par le calcul, une valeur du champ électrique.
a. Lignes de niveau
Cette expérience a pour but de vous permettre de
tracer les lignes de champ électrique autour de
divers objets chargés.
Pour y parvenir, on doit d’abord tracer ce qu’on
appelle des lignes équipotentielles autour de ces
objets.
Les lignes équipotentielles ressemblent aux courbes
de niveau d’une carte topographique : en terrain
accidenté, un objet qu’on déplacerait sur une courbe
de niveau aurait toujours la même énergie
potentielle gravitationnelle (mgh) car il serait
toujours à la même hauteur par rapport au niveau de
la mer.
Pour avoir une idée des lignes de niveau,
- ouvrir un nouveau classeur et insérer une
application Graphiques,
- appuyer sur la touche b,
choisir le menu 2 : Affichage
puis 3 : Représentation graphique en 3D
- représenter graphiquement la fonction
z x2 y 2 3 ,
ajuster la fenêtre en modifiant l’échelle des
abscisses et ordonnées qui doivent être comprise
entre -3 et 3 ; ne pas modifier les valeurs des côtes ;
- créer un curseur permettant de représenter
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Mécanique du solide
graphiquement un plan d’équation z k ;
- utiliser la touche R pour faire pivoter la
représentation graphique ; utiliser les touches £ et
¤.
Le quadrillage dessiné par le logiciel représente des
lignes de niveaux.
Utiliser le curseur k pour modifier le point de vue.
b. Lignes de champ électrique
Champ électrique crée par une seule charge
Une charge électrique engendre en tout point de
l’espace un champ électrique.
Sélectionner le vecteur, appuyer sur la touche b
puis choisir 5 : Trace et enfin 4 : Trace
géométrique.
Saisir l’origine du vecteur et déplacer celle-ci dans
le plan, puis observer.
Les lignes de champ électrostatique sont orientées
en fonction de la charge source. Si elle est positive,
les lignes partent de la source ; sinon, elles se
dirigent vers la source.
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183
184
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Utiliser l’interrupteur pour constater cet effet.
Champ électrique crée par deux charges
Les pages suivantes du classeur proposent la visualisation du champ électrique crée par deux charges
électriques de même signe, puis de signes opposés.
Construire un modèle du champ électrique autour de ces deux charges en appuyant sur /
réguliers pour laisser une image du vecteur champ électrique à l'écran.
^ à intervalles
c. Cartographie du champ électrique
En électricité : une charge test se trouvant dans le champ d’un objet chargé (ou charge source) possède une
énergie potentielle électrique qui varie selon sa position, exactement comme l’énergie potentielle
gravitationnelle d’un objet se déplaçant sur un terrain accidenté.
Nous allons essayer de trouver le lieu des points où une charge d’épreuve a toujours la même énergie
potentielle : c’est une ligne équipotentielle, analogue à une courbe de niveau. Comme dans l’analogie
gravitationnelle de la carte topographique, la force électrique sur une charge test est perpendiculaire aux
équipotentielles. Il en est de même du champ électrique.
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Mécanique du solide
185
CHAMP ET FORCES
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : champ, lignes, spectre, cartographie, champ électromagnétique, force, gravitation, pesanteur.
Fichiers associés : champ-electrique.tns
1. Objectifs
Connaitre ce qu’est un champ en physique.
Caractériser un champ.
Distinguer un champ scalaire et un champ vectoriel.
Connaitre les caractéristiques de quelques champs.
2. Énoncé
Les ondes électromagnétiques sont des champs électriques et magnétiques qui se propagent dans l’espace
depuis la source d’émission. Elles sont omniprésentes dans notre environnement.
Le mode de vie occidental, l’industrie, ainsi que de nombreuses techniques médicales en sont dépendants.
Certains s’inquiètent de cette proximité entre l’homme et les champs.
3. Matériel
Une calculatrice TI-Nspire,
un lab cradle,
une sonde de tension,
une pile de 4,5 V,
des électrodes de cuivre,
des pinces crocodiles,
du papier millimétré,
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186
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
du papier Canson noir (faiblement conducteur) ou du papier thermique (utilisé sur les tables à coussin d’air).
4. Conduite de l’activité
L’activité se déroule en deux temps :
a) Utiliser un simulateur pour approcher qualitativement la notion de champ et de ligne de champ.
b) Mesurer un potentiel en un point du plan puis déduire, par le calcul, une valeur du champ électrique.
a. Lignes de niveau
Cette expérience a pour but de vous permettre de
tracer les lignes de champ électrique autour de
divers objets chargés.
Pour y parvenir, on doit d’abord tracer ce qu’on
appelle des lignes équipotentielles autour de ces
objets.
Les lignes équipotentielles ressemblent aux courbes
de niveau d’une carte topographique : en terrain
accidenté, un objet qu’on déplacerait sur une courbe
de niveau aurait toujours la même énergie
potentielle gravitationnelle (mgh) car il serait
toujours à la même hauteur par rapport au niveau de
la mer.
Pour avoir une idée des lignes de niveau,
- ouvrir un nouveau classeur et insérer une
application Graphiques,
- appuyer sur la touche b,
choisir le menu 2 : Affichage
puis 3 : Représentation graphique en 3D
- représenter graphiquement la fonction
z x2 y 2 3 ,
ajuster la fenêtre en modifiant l’échelle des
abscisses et ordonnées qui doivent être comprise
entre -3 et 3 ; ne pas modifier les valeurs des côtes ;
- créer un curseur permettant de représenter
graphiquement un plan d’équation z k ;
- utiliser la touche
R
pour faire pivoter la
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Mécanique du solide
187
représentation graphique ; utiliser les touches
¤.
£ et
Le quadrillage dessiné par le logiciel représente des
lignes de niveaux.
Utiliser le curseur k pour modifier le point de vue.
Appuyer sur la touche
menu 5 : Plage Zoom.
/b
puis choisir le
Utiliser le curseur pour modifier les valeurs de k.
Qu’observez-vous sur la forme des lignes de
niveau ?
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
b. Lignes de champ électrique
Champ électrique crée par une seule charge
Une charge électrique engendre en tout point de
l’espace un champ électrique.
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188
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Sélectionner le vecteur, appuyer sur la touche b
puis choisir 5 : Trace et enfin 4 : Trace
géométrique.
Saisir l’origine du vecteur et déplacer celle-ci dans
le plan, puis observer.
Les lignes de champ électrostatique sont orientées
en fonction de la charge source. Si elle est positive,
les lignes partent de la source ; sinon, elles se
dirigent vers la source.
Utiliser l’interrupteur pour constater cet effet.
Champ électrique crée par deux charges
Les pages suivantes du classeur proposent la visualisation du champ électrique crée par deux charges
électriques de même signe, puis de signes opposés.
Construire un modèle du champ électrique autour de ces deux charges en appuyant sur /
réguliers pour laisser une image du vecteur champ électrique à l'écran.
^ à intervalles
c. Cartographie du champ électrique
En électricité : une charge test se trouvant dans le champ d’un objet chargé (ou charge source) possède une
énergie potentielle électrique qui varie selon sa position, exactement comme l’énergie potentielle
gravitationnelle d’un objet se déplaçant sur un terrain accidenté.
Nous allons essayer de trouver le lieu des points où une charge d’épreuve a toujours la même énergie
potentielle : c’est une ligne équipotentielle, analogue à une courbe de niveau. Comme dans l’analogie
gravitationnelle de la carte topographique, la force électrique sur une charge test est perpendiculaire aux
équipotentielles. Il en est de même du champ électrique.
Ainsi, les lignes de champ étant en tous points perpendiculaires aux lignes
équipotentielles, une détermination de la configuration des lignes
équipotentielles permettra de reproduire le patron des lignes du champ
électrique.
Considérer le schéma ci-contre. À l’aide d’une source de tension, on
alimente deux électrodes fixes. Les électrodes reposent sur une plaque
faiblement conductrice, si bien qu’un faible courant peut s’écouler entre
elles. La différence de potentiel entre les deux électrodes fixes est la même
que celle fournie par la source.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
189
On dispose d’une sonde de tension, dont l’une des extrémités est fixée à l’électrode positive, et l’autre est
mobile. Cela permet donc de mesurer la différence de potentiel qui existe entre l’électrode positive et
n’importe quel point de la plaque. Pour une valeur de différence de potentiel donnée, on déplace l’électrode
mobile sur la plaque pour repérer où se situent les points qui sont au même potentiel.
Manipulations
Connecter la sonde de tension à la centrale
d’acquisition. Le capteur sera automatiquement
reconnu.
Placer le curseur dans la zone d’affichage des
paramètres d’acquisition.
Appeler le professeur pour qu’il paramètre avec vous l’acquisition de données par une sélection des
évènements.
1. Placer l’électrode mobile au point (0 ; 2) et lire la valeur du potentiel. Ensuite, déplacer l’électrode mobile
de manière à trouver une dizaine d’autres points qui sont au même potentiel.
2. Reporter ces points sur la feuille de papier millimétré.
3. Recommencer les étapes 1 et 2, en plaçant l’électrode mobile aux positions initiales suivantes : (0 ; 4),
(0 ; 6). Ensuite, faire (1 ; 0), (4 ; 0) et (5 ; 0). On doit tracer un total de 6 lignes équipotentielles, chacune
comportant une dizaine de points.
4. (Si le professeur juge que le temps le permet) Avec la configuration des plaques (on donnera une nouvelle
feuille), refaire la même chose, cette fois en partant des points (0 ; 1), (0 ; 2), (0 ; 3), (0 ; 4), (0 ; 5) et (0 ; 6).
Ensuite, tracer approximativement, par symétrie avec ces lignes, les 5 autres lignes partant de (0 ; 7), (0 ;
8), (0 ; 9), (0 ; 10), (0 ; 11).
5. Numéroter de 1 à n les équipotentielles sur chacun des schémas, où n est le nombre d’équipotentielles que
l’on aura tracées sur chacun d’eux.
Ainsi, les lignes de champ étant en tous points
perpendiculaires
aux
lignes
équipotentielles,
une
détermination de la configuration des lignes équipotentielles
permettra de reproduire le patron des lignes du champ
électrique.
Considérer le schéma ci-contre. À l’aide d’une source de
tension, on alimente deux électrodes fixes. Les électrodes
reposent sur une plaque faiblement conductrice, si bien qu’un
faible courant peut s’écouler entre elles. La différence de
potentiel entre les deux électrodes fixes est la même que celle
fournie par la source.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
190
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
On dispose d’une sonde de tension, dont l’une des extrémités est fixée à l’électrode positive, et l’autre est
mobile. Cela permet donc de mesurer la différence de potentiel qui existe entre l’électrode positive et
n’importe quel point de la plaque. Pour une valeur de différence de potentiel donnée, on déplace l’électrode
mobile sur la plaque pour repérer où se situent les points qui sont au même potentiel.
Manipulations
Connecter la sonde de tension à la centrale
d’acquisition. Le capteur sera automatiquement
reconnu.
Placer le curseur dans la zone d’affichage des
paramètres d’acquisition.
Appuyer sur les touches
l’acquisition.
/ b pour paramétrer
Choisir le menu 3 : Événements sélectionnés.
Compléter les champs correspondants.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
191
1. Placer l’électrode mobile au point (0 ; 2) et lire la valeur du potentiel. Ensuite, déplacer l’électrode mobile
de manière à trouver une dizaine d’autres points qui sont au même potentiel.
2. Reporter ces points sur la feuille de papier millimétré.
3. Recommencer les étapes 1 et 2, en plaçant l’électrode mobile aux positions initiales suivantes : (0 ; 4),
(0 ; 6). Ensuite, faire (1 ; 0), (4 ; 0) et (5 ; 0). On doit tracer un total de 6 lignes équipotentielles, chacune
comportant une dizaine de points.
4. (Si le professeur juge que le temps le permet) Avec la configuration des plaques (on donnera une nouvelle
feuille), refaire la même chose, cette fois en partant des points (0 ; 1), (0 ; 2), (0 ; 3), (0 ; 4), (0 ; 5) et (0 ; 6).
Ensuite, tracer approximativement, par symétrie avec ces lignes, les 5 autres lignes partant de (0 ; 7), (0 ;
8), (0 ; 9), (0 ; 10), (0 ; 11).
5. Numéroter de 1 à n les équipotentielles sur chacun des schémas, où n est le nombre d’équipotentielles que
l’on aura tracées sur chacun d’eux.
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192
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
CRASH-TEST ET SÉCURITÉ ROUTIÈRE
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Jean-Louis Balas
Mots-clés : crash-test, sécurité routière, quantité de mouvement, énergie cinétique.
Fichiers associés :
M25nElev_CrashTest.pdf, CrashTest_eleve.tns, CrashTest_prof.tns,
CrashTest.tnsp.
1. Objectifs
Déterminer les grandeurs physiques qui interviennent dans un choc frontal d’un corps en mouvement.
Examiner les paramètres qui influencent ces grandeurs physiques.
2. Matériel
Une voiture jouet.
Une balance.
Un rail optique ou un profil permettant de guider les objets ou un plan incliné.
Des supports (tiges et noix de serrage).
Un capteur de force.
Une barrière lumineuse et son support.
Une règle à échelon (voir annexe).
3. Commentaires
En classe de LP, on pourra inclure cette activité au sein d’une thématique.
La notion de quantité de mouvement est hors du programme des LP ; le professeur pourra cependant choisir,
s’il le souhaite, d’initier les élèves à cette notion sans entrer dans la nature vectorielle de cette grandeur mais
plutôt d’un point de vue de conservation lors des chocs. Bien entendu, il conviendra d’établir une
convention de signes de façon à projeter correctement les vecteurs vitesses sur un axe orienté.
L’utilisation du tableur pourra donc s’avérer intéressante afin de bien scinder les instants précédant et
succédant le choc.
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Mécanique du solide
193
Un crash-test (essai de choc en français) est une opération consistant à tester le "comportement" du
véhicule en cas de choc.
Le véhicule testé est, soit projeté à une vitesse donnée sur un obstacle, soit immobilisé et soumis au choc
d'un mobile pour reconstituer les conditions réelles d'un accident sur une voiture. Le test consiste également
à mesurer les déformations de sa structure et les dommages subis par les passagers.
Ceux-ci sont représentés par des mannequins dont le corps est couvert de capteurs. C'est une opération
coûteuse qui nécessite un protocole rigoureux pour un maximum de résultats.
Remarque : La voiture jouet utilisée dans cette activité reste intègre ce qui simplifiera l’application de la loi
de conservation de quantité de mouvement.
4. Conduite de l’activité
a) Préparation du montage
On fixe sur une voiture jouet une réglette à échelons (voir annexe) à l’aide d’une pastille velcro permettant
un ajustement de sa position.
La voiture est posée sur un plan incliné de façon à pouvoir subir un mouvement accéléré. Lors du passage de
la réglette dans la barrière lumineuse, la distance parcourue par la réglette est enregistrée et sa vitesse
calculée.
Le véhicule en mouvement frappe l’extrémité du capteur de force, ce qui permet de simuler un crash-test.
Réaliser le montage ci-contre.
Capteur
force
de
Barrière
lumineuse et règle
à échelons
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
194
Veiller à bien placer la règle à échelon face aux
cellules de la barrière lumineuse. Faire quelques
essais de passage pour vérifier que tous les échelons
seront vus par les cellules.
Connecter le capteur de force sur la voie 1 de la
centrale d’acquisition (régler la position du capteur
de force sur 10 N).
Connecter la barrière lumineuse sur la voie digsonic1
Vérifier que le capteur de force ne risque pas de
reculer lors du choc.
Donner au plan une inclinaison intermédiaire entre
plusieurs positions possibles.
b) Préparation de l’acquisition
Appuyer sur la touche b puis :
1 : Expérience,
A : Configuration avancée,
3 : Configurer le capteur,
4 : TI-Nspire Lab Cradle dig1.
Choisir la barrière lumineuse.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Mécanique du solide
Appuyer sur la touche e pour passer d’un
champ à un autre, valider en cliquant sur OK.
Par défaut, la barrière lumineuse est temporisée sur
la réglette à échelon (Vernier). Mais d’autres
possibilités existent. Si l’on souhaite les examiner,
appuyer sur la touche b puis choisir :
1 : Expérience, 8 : Configuration de l’acquisition.
Il ne reste plus qu’à initialiser le capteur de force.
En l’absence d’effort s’exerçant sur la jauge de
contrainte, il est souhaitable de le régler à la valeur
zéro.
Appuyer sur la touche b puis :
1 : Expérience,
9 : Configuration des capteurs,
3 : Zéro.
c) Réalisation de l’acquisition
Ajuster la position de la barrière lumineuse de
façon à ce que la fin du passage de la réglette dans
la barrière précède la position du choc d’une dizaine
de centimètres.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
195
196
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Placer le véhicule en haut du plan incliné, puis le
lâcher sans vitesse initiale.
Cliquer sur le bouton
l’acquisition de mesures.
pour débuter
Si l’on est satisfait de l’enregistrement, cliquer sur
pour conserver la série de mesures.
Cliquer sur l’axe des ordonnées de la représentation graphique de la distance en fonction du temps, puis
choisir de représenter graphiquement la vitesse en fonction du temps.
d) Analyse des mesures
Utiliser le curseur pour analyser le graphique et
rechercher l’instant où s’est passé la collision.
Instant du choc
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Mécanique du solide
197
Il peut être intéressant, pour ce type d’expérience,
d’utiliser la fonction « Play back » qui permet de
revoir l’acquisition des données.
Pour cela, appuyer sur la touche b puis :
1 : Expérience,
6 : Reproduction,
1 : Démarrer la lecture.
La masse du véhicule jouet est de m = 148 g.
Calculer, juste avant le choc, l’énergie cinétique du
véhicule
1
EC1 mv12 .
2
Calculer également sa quantité de mouvement
p m v1 .
v1 3, 27 m.s-1 .
Refaire le même calcul juste après le choc :
v2 3, 47 m.s-1.
Comparer la variation de quantité de mouvement
pendant l’intervalle de temps t à la variation de
force F subie par le capteur.
Que peut-on conjecturer lors du choc ? (choc
inélastique, élastique.)
Reconduire l’expérience et le calcul de l’énergie
cinétique pour une autre inclinaison du plan.
Modifier la masse du véhicule en l’alourdissant.
Comparer les résultats pour les deux inclinaisons.
Remarque :
Les élèves seront essentiellement invités à établir des conjectures sur l’énergie cinétique et une lecture
graphique pour retrouver la nature du choc.
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198
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Annexe
Si l’on ne dispose pas de règle à échelon, il est relativement simple d’en fabriquer une à partir de la
représentation ci-dessous.
Imprimer le motif sur un papier de grammage élevé.
Plastifier éventuellement le motif.
Découper des ouvertures au cutter en utilisant les points de guidage.
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Mécanique du solide
199
CRASH-TEST ET SÉCURITÉ ROUTIÈRE
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : crash-test, sécurité routière, quantité de mouvement, énergie cinétique.
Fichiers associés : CrashTest_eleve.tns, CrashTest.tnsp.
1. Objectifs
Déterminer les grandeurs physiques qui interviennent dans un choc frontal d’un corps en mouvement.
Examiner les paramètres qui influencent ces grandeurs physiques.
2. Matériel
Une voiture jouet.
Une balance.
Un rail optique ou un profil permettant de guider les objets ou un plan incliné.
Des supports (tiges et noix de serrage).
Un capteur de force.
Une barrière lumineuse et son support.
Une règle à échelon (voir annexe).
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
200
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
3. Commentaires
Un crash-test (essai de choc en français) est une
opération consistant à tester le "comportement" du
véhicule en cas de choc.
Le véhicule testé est, soit projeté à une vitesse
donnée sur un obstacle, soit immobilisé et soumis au
choc d'un mobile pour reconstituer les conditions
réelles d'un accident sur une voiture. Le test consiste
également à mesurer les déformations de sa
structure et les dommages subis par les passagers.
Ceux-ci sont représentés par des mannequins dont le
corps est couvert de capteurs. C'est une opération
coûteuse qui nécessite un protocole rigoureux pour
un maximum de résultats.
4. Conduite de l’activité
a) Préparation du montage
Décrire ce que l’on observe sur la photographie ci-dessus et proposer un protocole expérimental.
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
201
Réaliser le montage ci-contre.
Capteur
force
de
Barrière
lumineuse et règle
à échelons
Veiller à bien placer la règle à échelon face aux
cellules de la barrière lumineuse. Faire quelques
essais de passage pour vérifier que tous les échelons
seront vus par les cellules.
Connecter le capteur de force sur la voie 1 de la
centrale d’acquisition (régler la position du capteur
de force sur 10 N).
Connecter la barrière lumineuse sur la voie digsonic1
Vérifier que le capteur de force ne risque pas de
reculer lors du choc.
Donner au plan une inclinaison intermédiaire entre
plusieurs positions possibles.
b) Préparation de l’acquisition
Appeler le professeur pour :
Régler les paramètres d’acquisition.
Initialiser le capteur de force afin que celui-ci affiche une valeur nulle lorsqu’aucun effort ne s’exerce sur
lui.
Vérifier votre proposition de protocole expérimental.
Vérifier votre montage.
c) Réalisation de l’acquisition
Ajuster la position de la barrière lumineuse de
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202
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
façon à ce que la fin du passage de la réglette dans
la barrière précède la position du choc d’une dizaine
de centimètres.
Placer le véhicule en haut du plan incliné, puis le
lâcher sans vitesse initiale.
Cliquer sur le bouton
l’acquisition de mesures.
pour débuter
Si l’on est satisfait de l’enregistrement, cliquer sur
pour conserver la série de mesures.
Exemple d’écran à obtenir
Cliquer sur l’axe des ordonnées de la représentation graphique de la distance en fonction du temps, puis
choisir de représenter graphiquement la vitesse en fonction du temps.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
203
d) Analyse des mesures
Utiliser le curseur pour analyser le graphique et
rechercher l’instant où s’est passé la collision.
Par analogie avec la représentation obtenue,
marquer sur l’écran ci-contre l’instant de collision.
Afin de faciliter l’analyse, utiliser la fonction
« Play back » qui permet de revoir l’acquisition des
données.
Pour cela, appuyer sur la touche b puis :
1 : Expérience,
6 : Reproduction,
1 : Démarrer la lecture.
A l’aide de la balance, mesurer la masse du
véhicule.
Choisir un instant t1 juste avant le choc.
Relever la valeur de la force F et de la vitesse du
mobile à cet instant.
Calculer l’énergie cinétique du véhicule
1
EC1 mv12 .
2
Calculer également sa quantité de mouvement
p m v1 .
Choisir un instant t2 juste après le choc.
Refaire le même calcul juste après le choc
EC1
EC 2
p1
p2
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
………………………………………………………
………………………………………………………
Compléter le tableau :
t1 (avant choc)
Conclusion
t2 (après choc)
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
204
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
………………………………………………………
Calculer :
………………………………………………………
EC 2 EC1 .........................
………………………………………………………
p2 p1 .............................
………………………………………………………
A l’aide du document (annexe), analyser la
variation d’énergie cinétique EC 2 EC1 .
Comparer la variation de quantité de mouvement
pendant l’intervalle de temps t à la variation de
force F subie par le capteur.
Que peut-on conjecturer lors du choc ? (choc
inélastique, élastique.)
Reconduire l’expérience et le calcul de l’énergie cinétique pour une autre inclinaison du plan.
Comparer les résultats pour les deux inclinaisons.
Si l’on en a le temps, refaire les mêmes expériences pour un véhicule de masse m’ m.
EC 2 EC1
p2 p1
Inclinaison 1
Inclinaison 2
Préciser si l’inclinaison 1 est supérieure à l’inclinaison 2 (éventuellement, la mesurer à l’aide d’un
rapporteur).
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
Appeler le professeur pour qu’il aide à rédiger la conclusion.
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
205
Annexe : Document
A) Énergie cinétique
Un corps possède de l’énergie cinétique s’il est en mouvement.
Plus la masse est importante, plus l’énergie cinétique est importante (à vitesse constante).
Pour un même véhicule, la vitesse du véhicule fait varier son énergie cinétique.
A une vitesse de 50 km.h-1, l’énergie cinétique du véhicule considéré est 100 kJ. Si la vitesse est multipliée
par deux, son énergie cinétique sera multipliée par quatre.
1 2
mv où l’énergie cinétique du véhicule est en joules
2
(J), la masse m en kilogrammes (kg), la vitesse v en mètres par seconde (m.s-1).
B) Conversion de l’énergie cinétique
L’énergie cinétique s’exprime par la relation : EC
Comment se transforme l’énergie cinétique d’un corps en mouvement au moment d’un freinage ou
d’un choc?
Au cours du freinage, les jantes des pneus rougissent et chauffent : leur température augmente.
Au moment du choc de la voiture contre l’obstacle, celle-ci se déforme et les portes se détachent.
Lorsque l’on augmente la vitesse initiale de la voiture, la déformation de celle-ci est plus importante,
entraînant de plus gros dégâts sur la voiture.
La voiture possède de l’énergie cinétique du fait de sa vitesse.
Au niveau des disques de frein de la voiture, de l’énergie cinétique est transformée en énergie thermique,
ce qui provoque l’échauffement des jantes. Plus la vitesse initiale de véhicule est grande, plus son énergie
cinétique est importante, et plus la quantité de chaleur dégagée au cours du freinage est importante.
Après un choc, l’aspect du véhicule est d’autant plus modifié que la vitesse du véhicule est grande.
L’énergie cinétique du véhicule au cours du premier lancer (vitesse v1) est inférieure à l’énergie cinétique
du véhicule au cours du second lancer (vitesse v2 > v1).
Au moment du choc, l’énergie est en partie convertie en une autre forme d’énergie qui apparaît dans la
déformation du véhicule, le reste de l’énergie étant libéré sous forme de chaleur.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
206
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME
(Fiche professeur)
Auteur : Jean-Louis Balas
TI-Nspire CAS
Mots-clés : mouvement, roue, voiture, vitesse angulaire, fréquence de rotation
Fichiers associés : M26n-Eleve_Mouvement _circulaire.pdf ; M26nProf_Mouvement_circulaire.tns ; M26n-Eleve_Mouvement _circulaire.tns
1. Objectifs
Déterminer expérimentalement la fréquence de rotation d’un mobile
Déterminer expérimentalement une relation entre fréquence de rotation et vitesse linéaire.
Appliquer la relation entre la fréquence de rotation et la vitesse linéaire : v 2 Rn
2. Matériel
Barrière lumineuse Vernier
Poulie à fentes
Calculatrice TI-Nspire
Lab cradle
3. Commentaires
Cette activité est initialement prévue pour le Baccalauréat professionnel (Module T2 : « Comment passer de
la vitesse des roues à celles de la voiture ? ») lors d’activités fondées sur le même thème.
Étude cinématique d’une roue en mouvement (vérification de la relation entre la vitesse linéaire et la
fréquence de rotation)
Étalonnage d'un tachymètre de bicyclette.
Étude documentaire (documents textuels ou multimédias) sur les mouvements orbitaux des satellites.
Lien possible avec la vitesse de coupe des outils (tours, fraiseuses, meuleuse à disque, perceuses…)
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
4. Conduite de l’activité
A) Préparation de l’acquisition
On utilise dans cette activité, la barrière lumineuse
de Vernier, sur laquelle on monte une poulie à
fentes dont la circonférence extérieure est 0,16 m
Animé d’un mouvement uniforme, la roue
constituée de 10 fentes régulièrement espacées
intercepte le rayon lumineux de la barrière.
Lorsque la roue est animée d’un mouvement
circulaire uniforme, on enregistre simultanément la
distance totale parcourue et la vitesse de la roue
Connecter la barrière lumineuse sur la voie
dig/sonic 1 de l’interface d’acquisition.
Le capteur n’est pas automatiquement reconnu.
Appuyer sur la touche b puis :
1 : Expérience
A : Configuration avancée
et enfin
3 : Configurer les capteurs
Choisir 4 : TI-Nspire Lab Cradle dig1
Choisir la Barrière lumineuse et valider votre
choix.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
207
208
Tant que l’acquisition n’est pas paramétrée, la
barrière est à l’état bloqué.
Appuyer sur la touche b puis
1 : Expérience puis 7 : Mode d’acquisition
et enfin
4 : Temporisation de la barrière lumineuse.
Dans la fenêtre qui s’ouvre, choisir
« Synchronisation du capteur de mouvements »
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Mécanique du solide
209
Choisir la poulie à 10 rayons.
La position de celle-ci étant dans la rainure.
Appuyer sur le bouton
l’acquisition de données.
pour démarrer
Impulser un mouvement de rotation à la poulie et
attendre quelques instants afin que celle-ci prenne
un mouvement uniforme.
Ajuster correctement l’axe des ordonnées de la
représentation graphique de la vitesse afin
d’observer que celle-ci apparaît constante pendant
un intervalle de temps donné.
Appuyer sur
l’enregistrement des données
pour
conserver
Refaire éventuellement un essai
B) Exploitation des mesures
La poulie a une circonférence de 0,16m donc un
rayon de 0,025 m
En un tour, la roue avance d'une longueur
égale à son périmètre: 2R
Avec une fréquence de rotation n, le déplacement
est 2 Rn en une seconde, d'où la vitesse linéaire v
de la poulie.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
210
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Cliquer sur la représentation graphique pour
explorer celui-ci à divers instants et constater que la
vitesse de la poulie est constante.
La mesure effectuée correspond à la vitesse
linéaire de la poulie, soit v 2 rn ou bien
encore v r , représente la vitesse angulaire
exprimé en rad.s-1
Insérer une feuille du tableur en utilisant les
touches / I
Sauvegarder dans une variable
rayon de la poulie
r la valeur du
Evaluer la vitesse angulaire
En déduire la fréquence de rotation de la poulie n
en tr.s-1 en utilisant la relation 2 n
La fréquence de rotation des roues d’un véhicule
est plus adaptée lorsqu’elle est exprimée en nombre
de tours par minutes (tr.mn-1)
C) Utilisation du simulateur
Le simulateur représente le mouvement de la valve
de roue d’un vélo.
Son objectif est de faciliter la compréhension des
notions de vitesse linéaire, vitesse angulaire et
fréquence de rotation. Le mouvement de la valve de
la roue de vélo est périodique, une période de la
cycloïde correspond à un tour de roue on peut donc
à juste titre utiliser ce simulateur pour introduire
auprès des élèves la notion de fréquence de rotation.
Utiliser le bouton
pour animer la roue
Modifier le rayon de la roue en étirant le point r
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
211
MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Auteur : Jean-Louis Balas
Mots-clés : mouvement, roue, voiture, vitesse angulaire, fréquence de rotation
Fichiers
associés :
M26n-Eleve_Mouvement
Prof_Mouvement_circulaire.tns ; M26n-Eleve_Mouvement _circulaire.tns
_circulaire.pdf ;
M26n-
1. Objectifs
Déterminer expérimentalement la fréquence de rotation d’un mobile
Déterminer expérimentalement une relation entre fréquence de rotation et vitesse linéaire.
Appliquer la relation entre la fréquence de rotation et la vitesse linéaire : v 2 Rn
2. Matériel
Barrière lumineuse Vernier
Poulie à fentes
Calculatrice TI-Nspire
Lab cradle
3. Commentaires
Cette activité est initialement prévue pour le Baccalauréat professionnel (Module T2 : « Comment passer de
la vitesse des roues à celles de la voiture ? ») lors d’activités fondées sur le même thème.
Étude cinématique d’une roue en mouvement (vérification de la relation entre la vitesse linéaire et la
fréquence de rotation)
Étalonnage d'un tachymètre de bicyclette.
Étude documentaire (documents textuels ou multimédias) sur les mouvements orbitaux des satellites.
Lien possible avec la vitesse de coupe des outils (tours, fraiseuses, meuleuse à disque, perceuses…)
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
212
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
4. Conduite de l’activité
A) Préparation de l’acquisition
On utilise dans cette activité, la barrière lumineuse
de Vernier, sur laquelle on monte une poulie à
fentes dont la circonférence extérieure est 0,16 m
Animé d’un mouvement uniforme, la roue
constituée de 10 fentes régulièrement espacées
intercepte le rayon lumineux de la barrière.
Lorsque la roue est animée d’un mouvement
circulaire uniforme, on enregistre simultanément la
distance totale parcourue et la vitesse de la roue
Connecter la barrière lumineuse sur la voie
dig/sonic 1 de l’interface d’acquisition.
Appeler le professeur pour qu’il vous
fournisse le fichier de configuration, procède à la
reconnaissance du capteur par la centrale
d’acquisition et paramètre l’acquisition des données.
Tant que l’acquisition n’est pas paramétrée, la
barrière est à l’état bloqué.
Appuyer sur le bouton
l’acquisition de données.
pour démarrer
Impulser un mouvement de rotation à la poulie et
attendre quelques instants afin que celle-ci prenne
un mouvement uniforme.
Ajuster correctement l’axe des ordonnées de la
représentation graphique de la vitesse afin
d’observer que celle-ci apparaît constante pendant
un intervalle de temps donné.
Appuyer sur
l’enregistrement des données
Refaire éventuellement un essai
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
pour
conserver
Mécanique du solide
B) Exploitation des mesures
La poulie a une circonférence de 0,16m donc un
rayon de 0,025 m
En un tour, quelle est la distance parcourue
par la roue.
………………………………………………
………………………………………………
La fréquence de rotation n représente le
nombre de tours effectués par la poulie en une
seconde. En déduire la distance parcourue par
un point fixe de la poulie (exemple : valve de
la roue de vélo ou point fixe sur la poulie cicontre)
………………………………………………
………………………………………………
Montrer que la vitesse linéaire v de la poulie est
donnée par la relation : v 2 Rn
………………………………………………
………………………………………………
Cliquer sur la représentation graphique pour
explorer celui-ci à divers instants.
Que pouvez-vous constater quant aux valeurs de la
vitesse de la poulie ?
………………………………………………
………………………………………………
La mesure effectuée correspond à la vitesse
linéaire de la poulie, soit v 2 rn .
Dans une feuille du tableur
Noter la valeur r du rayon de la poulie.
Noter une valeur moyenne ou « approximative »
de la vitesse linéaire de la poulie.
………………………………………………
………………………………………………
Evaluer la vitesse angulaire en utilisant la
relation v r
………………………………………………
………………………………………………
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
213
214
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
En déduire la fréquence de rotation de la poulie n
en tr.s-1 en utilisant la relation 2 n
………………………………………………
………………………………………………
La fréquence de rotation des roues d’un véhicule
est plus adaptée lorsqu’elle est exprimée en nombre
de tours par minutes (tr.mn-1).
Si la poulie effectue n tours en 1s et N tours en une
minute, établir une relation entre n et N.
………………………………………………
………………………………………………
C) Utilisation du simulateur
Le simulateur représente le mouvement de la valve
de roue d’un vélo.
Son objectif est de faciliter la compréhension des
notions de vitesse linéaire, vitesse angulaire et
fréquence de rotation. Le mouvement de la valve de
la roue de vélo est périodique, une période de la
cycloïde correspond à un tour de roue.
Utiliser le bouton
pour animer la roue
Modifier le rayon de la roue en étirant le point r
Vérifier la relation entre la distance parcourue par la
valve de la roue, lorsque celle-ci a effectué une tour.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
215
MOUVEMENT RÉTROGRADE DE MARS
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Frédéric Marquet
Mots-clés : référentiel, trajectoire, mouvement rétrograde.
Fichiers associés : M13nElev_MouvementRetrogradeMars.pdf,
MouvementRetrogradeMars_eleve_CAS.tns,
MouvementRetrogradeMars_prof_CAS.tns.
1. Objectifs
● Mettre en évidence que la nature d’un mouvement dépend du référentiel d’étude.
● Application à la trajectoire de la planète Mars vue depuis la Terre.
2. Énoncé
Lorsque l’on observe Mars dans le ciel, son déplacement
semble le plus souvent être régulier. Pourtant, tous les deux
ans environ, quand
la Terre dépasse Mars dans son
mouvement de rotation autour du Soleil, la planète rouge
semble avoir une bien curieuse trajectoire : elle paraît revenir
en arrière dans un mouvement appelé « mouvement
rétrograde de Mars ».
Pour observer cet étrange phénomène, il faut enregistrer des
photographies de la planète à environ 1 mois d’intervalle. La
superposition de toutes les photos (en veillant à bien caler
toutes les étoiles les unes sur les autres) montre alors bien cette
boucle que décrit Mars dans le ciel.
Comment peut-on expliquer ce phénomène ?
3. Simulation du phénomène avec la calculatrice
Dans ce qui suit, on cherche à comprendre ce qui se passe pour que Mars ait ce curieux mouvement. Le
rayon de l’orbite Terrestre est égal à 1,0 ua (unité astronomique) alors que celui de Mars est égal à 1,6 ua.
La vitesse angulaire de rotation de la Terre autour du soleil est plus grande que celle de Mars (la Terre
tourne autour du Soleil en 365,25 jours pendant que Mars met 687 jours).
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
216
1) Mise en situation
● Ouvrir le fichier « .tns » correspondant au mouvement
rétrograde de Mars.
Sur la page 1.1 une modélisation du problème s’affiche.
Les points T et M représentent la Terre et Mars et le point S
représente le Soleil autour duquel tournent les deux planètes.
● Cliquer sur la flèche verte pour lancer l’animation.
● Lorsque la Terre rattrape Mars (page 1.2), il semble se
produire le curieux phénomène décrit.
La planète Mars effectue une sorte de « boucle » dans le ciel
(page 1.3).
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Mécanique du solide
2) Enregistrement des positions successives de Mars
● Ouvrir la page 1.4 et lancer la simulation.
La Terre T et Mars M se déplacent alors et leurs coordonnées
s’actualisent au fur et à mesure du déplacement des planètes.
● Stocker les coordonnées de T et M.
On notera respectivement xt et yt l’abscisse et l’ordonnée de
T ; xm et ym celles de M.
Sur l’écran ci-contre, l’abscisse de Mars M est stockée dans la
variable xm.
Sur l’écran ci-contre, les coordonnées de la terre T et de Mars
M s’affichent en gras : elles sont bien stockées.
● Déplacer la Terre T et Mars M dans les positions
initiales suivantes :
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
217
218
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Pour la Terre : T (1 ; 0)
Pour Mars :
M (-1,6 ; 0).
● Ouvrir la page 1.5 (Tableur & listes) et capturer les variables
xt, yt, xm et ym dans les colonnes A, B, C et D.
Procédure à suivre pour capturer des données :
Sélectionner la zone grisée de la colonne A puis appuyer sur
b puis Données, Capture de données et enfin Automatique.
Saisir le nom de la variable xt.
Procéder de même pour les 3 autres coordonnées à capturer
(colonnes B, C et D).
● Retourner sur la page 1.4 et lancer la simulation.
On laissera la Terre faire 2 tours complets.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
219
Les données sont automatiquement enregistrées dans le tableur
(page 1.5) :
xt1 (colonne A) : liste des abscisses occupées par la Terre,
yt1 (colonne B) : liste des ordonnées occupées par la Terre,
xm1 (colonne C) : liste des abscisses occupées par Mars,
ym1 (colonne D) : liste des ordonnées occupées par Mars.
Remarque 1 :
On ne choisit jamais comme nom d'une liste, variable
contenant un ensemble de valeurs stockées, un nom de variable
déjà utilisé ou susceptible de l'être. Ainsi, par exemple, xt1
désigne la liste des valeurs stockées, à ne pas confondre avec
xt qui est la valeur courante de la variable « première
coordonnée du point T » (valeur numérique).
Remarque 2 :
On peut à tout moment supprimer des données enregistrées
grâce à la commande Supprimer des données.
3) Tracé de la trajectoire de Mars par rapport au référentiel de la Terre
Mars a une trajectoire circulaire autour du Soleil. Mais lorsque nous l’observons depuis la Terre la
trajectoire est différente puisque la Terre tourne elle aussi autour du Soleil.
Nous allons donc déterminer la trajectoire de Mars par rapport à la Terre.
On note xmt et ymt les variables représentant les coordonnées de Mars par rapport à Terre.
On a alors :
xmt = xm - xt
ymt = ym - yt
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
220
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
● Toujours sur la page 1.5 (Tableur & listes), créer deux
nouvelles variables représentant les coordonnées xmt et ymt de
Mars par rapport à Terre et les stocker dans les colonnes E et
F.
● Ouvrir la page 1.6 (Graphiques)
Visualiser la trajectoire de Mars par rapport à la Terre et
commenter l’allure du graphique obtenu.
Rédiger quelques lignes de conclusion :
Dans le référentiel héliocentrique, la Terre et Mars ont des trajectoires circulaires. Lorsqu’on observe
Mars depuis la Terre, le référentiel d’observation change, donc la trajectoire de Mars n’est plus
circulaire : la planète semble revenir en arrière dans un mouvement appelé mouvement rétrograde de
Mars. On retiendra donc que la nature d’un mouvement dépend du référentiel d’observation.
Remarque 1 : Les axes sont définis de telle sorte que le repère
soit orthonormé (Fenêtre puis Zoom – Trigo).
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
Remarque 2 : La trajectoire de Mars par rapport à la Terre est
tracée sous forme d’un nuage de points (Type de graphique,
Nuage de points).
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
221
222
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
MOUVEMENT RÉTROGRADE DE MARS
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : référentiel, trajectoire, mouvement rétrograde.
Fichier associé : MouvementRetrogradeMars_eleve_CAS.tns
1. Objectifs
● Mettre en évidence que la nature d’un mouvement dépend du référentiel d’étude.
● Application à la trajectoire de la planète Mars vue depuis la Terre.
2. Énoncé
Lorsque l’on observe Mars dans le ciel, son déplacement
semble le plus souvent être régulier. Pourtant, tous les deux
ans environ, quand
la Terre dépasse Mars dans son
mouvement de rotation autour du Soleil, la planète rouge
semble avoir une bien curieuse trajectoire : elle paraît revenir
en arrière dans un mouvement appelé « mouvement
rétrograde de Mars ».
Pour observer cet étrange phénomène, il faut enregistrer des
photographies de la planète à environ 1 mois d’intervalle. La
superposition de toutes les photos (en veillant à bien caler
toutes les étoiles les unes sur les autres) montre alors bien cette
boucle que décrit Mars dans le ciel.
Comment peut-on expliquer ce phénomène ?
3. Simulation du phénomène avec la calculatrice
Dans ce qui suit, on cherche à comprendre ce qui se passe pour que Mars ait ce curieux mouvement. Le
rayon de l’orbite Terrestre est égal à 1,0 ua (unité astronomique) alors que celui de Mars est égal à 1,6 ua.
La vitesse angulaire de rotation de la Terre autour du soleil est plus grande que celle de Mars (la Terre
tourne autour du Soleil en 365,25 jours pendant que Mars met 687 jours).
1) Mise en situation
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Mécanique du solide
223
● Ouvrir le fichier « .tns » correspondant au mouvement
rétrograde de Mars.
Sur la page 1.1 une modélisation du problème s’affiche.
Les points T et M représentent la Terre et Mars et le point S
représente le Soleil autour duquel tournent les deux planètes.
● Cliquer sur la flèche verte pour lancer l’animation.
Lorsque la Terre rattrape Mars (page 1.2), il semble se produire le curieux phénomène décrit. La planète
Mars effectue une sorte de « boucle » dans le ciel (page 1.3).
2) Enregistrement des positions successives de Mars
● Ouvrir la page 1.4 et lancer la simulation.
La Terre T et Mars M se déplacent alors et leurs coordonnées
s’actualisent au fur et à mesure du déplacement des planètes.
● Stocker les coordonnées de T et M.
On notera respectivement xt et yt l’abscisse et l’ordonnée de
T ; xm et ym celles de M.
Remarque : Une fois l’opération terminée, et à chaque fois
que l’on a stocké une variable, elle apparaît en gras sur
l’écran.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
224
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Sur l’écran ci-contre, les coordonnées de la terre T et de Mars
M s’affichent en gras : elles sont bien stockées.
● Déplacer la Terre T et Mars M dans les positions
initiales suivantes :
Pour la Terre : T (1 ; 0)
Pour Mars :
M (-1,6 ; 0).
● Ouvrir la page 1.5 (Tableur & listes) et capturer les
variables xt, yt, xm et ym dans les colonnes A, B, C et D :
Sélectionner la zone grisée de la colonne A puis appuyer sur
b puis Données,
Capture de données et enfin
Automatique.
Saisir le nom de la variable xt.
Procéder de même pour les 3 autres coordonnées à capturer
(colonnes B, C et D).
● Retourner sur la page 1.4 et lancer la simulation.
Les données sont automatiquement enregistrées dans le
tableur (page 1.5) :
xt1 (colonne A) : liste des abscisses occupées par la Terre,
yt1 (colonne B) : liste des ordonnées occupées par la Terre,
xm1 (colonne C) : liste des abscisses occupées par Mars,
ym1 (colonne D) : liste des ordonnées occupées par Mars.
Remarque : On ne choisit jamais comme nom d'une liste, variable contenant un ensemble de valeurs
stockées, un nom de variable déjà utilisé ou susceptible de l'être. Ainsi, par exemple, xt1 désigne la liste des
valeurs stockées, à ne pas confondre avec xt qui est la valeur courante de la variable « première
coordonnée du point T » (valeur numérique).
3) Tracé de la trajectoire de Mars par rapport au référentiel de la Terre
Mars a une trajectoire circulaire autour du Soleil. Mais lorsque nous l’observons depuis la Terre la
trajectoire est différente puisque la Terre tourne elle aussi autour du Soleil.
Nous allons donc déterminer la trajectoire de Mars par rapport à la Terre.
On note xmt et ymt les variables représentant les coordonnées de Mars par rapport à Terre.
On a alors :
xmt = ……………………
ymt = ……………………
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
225
● Toujours sur la page 1.5 (Tableur & listes), créer deux
nouvelles variables représentant les coordonnées xmt et ymt de
Mars par rapport à Terre et les stocker dans les colonnes E et
F.
● Ouvrir la page 1.6 (Graphiques).
Visualiser la trajectoire de Mars par rapport à la Terre et commenter l’allure du graphique obtenu. Rédiger
quelques lignes de conclusion.
.…………………………………………………………………………………………………………..……
………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………………………………..…………………………
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© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
226
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
LE PENDULE
(Fiche professeur)
Auteur : Frédéric Marquet
TI-Nspire CAS
Mots-clés : pendule simple, période d’oscillation, modélisation.
Fichiers associés : Pendule_eleve_CAS.tns, Pendule_prof_CAS.tns, M16nElev_Pendule.pdf.
1. Objectifs
Déterminer quels sont les paramètres qui influent sur la période d’oscillation d’un pendule simple.
Utiliser les fonctionnalités de TI-Nspire pour déterminer un modèle de la période d’oscillation en fonction
de la longueur du pendule.
2. Énoncé
On souhaite étudier la période d’oscillation d’un pendule
simple et déterminer quels sont les paramètres dont elle
dépend.
On dispose pour cela d’un outil de simulation qui permet
d’ajuster :
La longueur (l) du pendule.
La masse (m).
L’angle initial (ang).
L’amortissement (damp pour « damping » en anglais).
On souhaite également établir la formule donnant la période en
fonction des paramètres du pendule.
3. Paramètres influant sur la période d’oscillation
De quels paramètres dépend la période d’oscillation du pendule ?
On va faire varier un par un les paramètres du simulateur (page 1.3) puis indiquer si chaque paramètre
modifie ou non la période d’oscillation.
Fonctionnement du simulateur (page 1.3) :
Clic de souris = démarrer / arrêter l’animation
Touche ESC = remise à zéro du simulateur.
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Mécanique du solide
227
1) Influence de la longueur
Avec le simulateur on peut facilement mesurer la durée de 10
allers-retours donc déterminer la période T avec une bonne
précision.
10 périodes
T ≈ 1,42 s
On procède ainsi en modifiant la valeur de l :
l (m)
0,5
0,8
1,0
T (s)
1,42
1,80
2,00
La longueur du pendule est bien un facteur qui influe sur sa période.
2) Influence de la masse
En procédant de la même manière et en faisant varier la masse m, on obtient :
m (kg)
0,1
0,5
1,0
T (s)
1,80
1,79
1,79
On constate, aux imprécisions de mesure près (mesure de la durée des 10 oscillations), que la masse n’a pas
d’influence sur la valeur de la période.
3) Influence de l’angle initial
On fait varier l’angle initial ang et obtient :
ang (o)
10
20
30
T (s)
1,80
1,79
1,79
L’angle initial ne semble pas avoir d’influence sur la valeur de la période.
4) Influence de l’amortissement
On fait varier l’amortissement damp et on obtient :
damp
0
4
8
T (s)
1,79
1,79
1,80
L’amortissement ne semble pas avoir d’influence sur la valeur de la période.
Conclusion :
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
228
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Pour de petites oscillations, l’amortissement ou la masse du pendule n’ont pas d’influence sur la période.
La période d’oscillation T dépend d’un seul paramètre : la longueur l du pendule.
Remarque : Le simulateur utilise l’approximation des petits angles sin(θ) ≈ θ, donc ne tient pas compte de
la petite variation de période lorsque l’angle initial change. L’amortissement damp est ici une valeur
« relative » comprise entre 0 (amortissement nul) et 10 (très fort amortissement).
4. Modélisation de l’influence de la masse sur la période d’oscillation
1) Mesures
Le tableau de valeurs est présenté ci-contre.
La longueur l du pendule est stockée dans la variable nommée
« longueur » et la période T dans la variable nommée
« periode ».
On peut tracer l’évolution de la période T du pendule en
fonction de sa longueur l (page 1.4, Tableur & listes /
Graphiques).
2) Modélisation
Le but est de montrer que le carré de la période est proportionnel à la longueur du pendule, c’est-à-dire que
la courbe représentant T 2 = f (l ) est une droite passant par l’origine.
La variable T 2 est nommée « periode2 » dans le tableur. Une fois la formule « = periode^2 » saisie, la courbe
représentant T 2 = f (l ) se trace automatiquement dans la zone graphique.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
229
On constate que la courbe T 2 = f (l ) est bien une droite passant
par l’origine (page 1.5). Avec le curseur, on ajuste a afin que
la droite passe au mieux par les points expérimentaux et on
trouve :
a 4,0 s 2 .m 1
Soit :
T 2 4,0 l
Or :
4π 2
4,02 s 2 .m 1
g
Ainsi, aux incertitudes de modélisation près, on peut conclure que :
a
4π 2
g
On a donc :
T2
Soit :
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
4π 2
l
g
T 2π
l
g
230
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
LE PENDULE
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : pendule simple, période d’oscillation, modélisation.
Fichier associé : Pendule_eleve_CAS.tns.
1. Objectifs
Déterminer quels sont les paramètres qui influent sur la période d’oscillation d’un pendule simple.
Utiliser les fonctionnalités de TI-Nspire pour déterminer un modèle de la période d’oscillation en fonction
de la longueur du pendule.
2. Énoncé
On souhaite étudier la période d’oscillation d’un pendule
simple et déterminer quels sont les paramètres dont elle
dépend.
On dispose pour cela d’un outil de simulation qui permet
d’ajuster :
La longueur (l) du pendule.
La masse (m).
L’angle initial (ang).
L’amortissement (damp pour « damping » en anglais).
On souhaite également établir la formule donnant la période en
fonction des paramètres du pendule.
3. Paramètres influant sur la période d’oscillation
De quels paramètres dépend la période d’oscillation du pendule ?
On va faire varier un par un les paramètres du simulateur (page 1.3) puis indiquer si chaque paramètre
modifie ou non la période d’oscillation.
Fonctionnement du simulateur (page 1.3) :
Clic de souris = démarrer / arrêter l’animation
Touche ESC = remise à zéro du simulateur.
1) Influence de la longueur
Définir : m = 0,2 kg, angle initial ang = 30o, amortissement nul damp = 0.
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Mécanique du solide
231
Ajuster la longueur l (0,5 m puis 0,8 m et enfin 1,0 m).
Lancer l’animation (page 1.3) avec un clic de souris, puis compter 10 périodes, refaire un clic de souris
pour stopper l’animation et déduire ainsi la valeur de la période T.
l (m)
0,5
0,8
1,0
T (s)
La longueur du pendule modifie-t-elle la période d’oscillation ?
2) Influence de la masse
Définir : l = 0,8 m, angle initial ang = 30o, amortissement nul damp = 0.
Ajuster la masse m (0,1 kg puis 0,5 kg et enfin 1,0 kg).
Lancer l’animation (page 1.3) avec un clic de souris, puis compter 10 périodes, refaire un clic de souris
pour stopper l’animation et déduire ainsi la valeur de la période T.
m (kg)
0,1
0,5
1,0
T (s)
La masse modifie-t-elle la période d’oscillation ?
3) Influence de l’angle initial
Définir : l = 0,8 m, m = 0,2 kg, amortissement nul damp = 0.
Ajuster l’angle initial ang (10o puis 20o et enfin 30o).
Lancer l’animation (page 1.3) avec un clic de souris, puis compter 10 périodes, refaire un clic de souris
pour stopper l’animation et déduire ainsi la valeur de la période T.
ang (o)
10
20
30
T (s)
L’angle initial modifie-t-il la période d’oscillation ?
4) Influence de l’amortissement
Définir : l = 0,8 m, m = 0,2 kg, angle initial ang = 30o.
Ajuster l’amortissement damp (0 puis 4 et enfin 8).
Lancer l’animation (page 1.3) avec un clic de souris, puis compter 10 périodes, refaire un clic de souris
pour stopper l’animation et déduire ainsi la valeur de la période T.
damp
0
T (s)
L’amortissement modifie-t-il la période d’oscillation ?
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
4
8
232
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
4. Modélisation de l’influence de la masse sur la période d’oscillation
1) Mesures
Définir : m = 0,2 kg, angle initial ang = 30o, amortissement
nul damp = 0.
●
●
Ajuster la longueur l (de 0,1 m à 1,0 m avec un pas de 0,1 m).
●
Lancer le simulateur (page 1.3) avec un clic de souris, puis
compter 10 périodes, refaire un clic de souris pour stopper
l’animation et déduire ainsi la valeur de la période T.
●
Aller sur la page 1.4 (Tableur & listes et Graphiques).
Saisir les valeurs de l (colonne A) et T (colonne B) dans le
tableur.
2) Modélisation
●
Aller sur la page 1.5 (Tableur & listes et Graphiques).
●
Rentrer dans la zone de saisie grisée de la colonne A la
formule permettant d’obtenir T 2.
Ajuster le modèle pour qu’il interpole le mieux possible la
courbe représentant T 2 = f (l ).
●
●
Montrer que le coefficient de proportionnalité a est homogène
à l’inverse d’une accélération puis déterminer sa valeur
numérique.
●
Vérifier que l’on a : a
4π ²
.
g
Déduire des questions précédentes l’expression générale de la période d’oscillation T d’un pendule en
fonction de sa longueur l.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
233
L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Frédéric Marquet
Mots-clés : oscillateur harmonique, période d’oscillation, modélisation.
Fichiers associés :
OscillateurHarmonique_eleve_CAS.tns, OscillateurHarmonique_prof_CAS.tns,
M17nElev_OscillateurHarmonique.pdf.
1. Objectifs
Déterminer quels sont les paramètres qui influent sur la période d’oscillation d’un oscillateur harmonique.
Utiliser les fonctionnalités de TI-Nspire pour déterminer un modèle de la période d’oscillation en fonction
des paramètres de l’oscillateur.
2. Énoncé
On souhaite étudier la période d’oscillation T d’un oscillateur
harmonique et déterminer quels sont les paramètres dont elle
dépend. On dispose pour cela d’un outil de simulation (page
1.3) qui permet d’ajuster :
La masse (m) fixée au ressort,
La raideur (k) du ressort,
La position initiale (x0) de la masse,
L’amortissement (damp pour « damping » en anglais).
On souhaite également établir la formule donnant la période en
fonction des paramètres de l’oscillateur.
3. Étude et modélisation de la période d’oscillation
De quels paramètres dépend la période d’oscillation ?
On va faire varier un par un les paramètres du simulateur (page 1.3) puis indiquer si chaque paramètre
modifie ou non la période d’oscillation T. Pour déterminer, avec une bonne précision, la période
d’oscillation, on mesurera la durée de 10 allers-retours de la masse et on divisera cette durée par 10.
1) Influence de la position initiale et de l’amortissement
Montrer que, ni la position initiale x0, ni l’amortissement damp n’ont d’influence sur la période d’oscillation.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
234
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
2) Influence de la masse
a) Mesures
On fixe : k = 5,0 N.m-1, x0 = 0,30 m et damp = 2.
Déterminer la période d’oscillation pour m = 0,02 ; 0,05 ; 0,10 ; 0,20 ; 0,30 ; 0,40 ; 0,50 ; 0,70 ; 1 kg.
Compléter le tableau ci-dessous :
m (kg)
0,02
0,05
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,70
1
T (s)
0,405
0,634
0,892
1,256
1,537
1,787
1,992
2,355
2,813
Aller sur la page 1.5.
Saisir, dans la colonne B, les valeurs de la période déterminées
au a).
La courbe représentant l’évolution de la période T en fonction
de la masse m apparaît dans la zone graphique.
b) Modélisation
Aller sur la page 1.6.
Le calcul de T 2 se fait automatiquement dans la colonne A et la
courbe représentant T 2 = f (m) apparaît dans la zone graphique.
Ajuster la valeur du paramètre a1 pour que la droite verte
passe le mieux possible par l’ensemble des points.
Modèle obtenu pour k = 5,0 N.m-1 : T 2 7,9 m.
3) Influence de la raideur du ressort
a) Mesures
On fixe : m = 0,20 kg, x0 = 0,30 m et damp = 2.
Déterminer la période d’oscillation pour k = 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 N.m-1.
Compléter le tableau ci-dessous :
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
235
k (N.m-1)
1
2
4
8
12
16
20
T (s)
2,820
1,989
1,393
0,987
0,817
0,703
0,627
Aller sur la page 1.8.
Saisir, dans la colonne B, les valeurs de la période déterminées
au a).
La courbe représentant l’évolution de la période T en fonction
de la raideur k du ressort apparaît dans la zone graphique.
b) Modélisation
Aller sur la page 1.9.
On obtient automatiquement, dans la colonne A, le calcul de
1
1
. La courbe représentant f définie par f (k) = 2 apparaît
2
T
T
dans la zone graphique.
Ajuster la valeur du paramètre a2 pour que la droite verte
passe le mieux possible par l’ensemble des points.
Modèle obtenu pour m = 0,20 kg :
1
0,127 k.
T2
4) Modèle complet de la période d’oscillation en fonction de la masse et la raideur du ressort
Récapitulatif des résultats obtenus :
►
A la question 1) on a montré que l’amortissement et la position initiale n’ont pas d’influence sur T.
►
A la question 2) on a montré que T 2 a 1 m et calculé que a1 7,9 s2.m-1 pour k = 5,0 N.m-1.
►
A la question 3) on a montré que
Montrer que T 2 α
1
a 2 k et calculé que a2 0,127 kg-1 pour m = 0,20 kg.
T2
m
et déterminer par analyse dimensionnelle la dimension de α.
k
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
236
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
α s
2
N.m s kg.m.s .m 1
kg
kg
2
-1
2
-1
On peut en conclure que α est un nombre sans dimension.
Aller sur la page 1.10.
Exp. 1 A partir de la valeur obtenue pour a1, taper dans la boite
de saisie mathématique le calcul permettant d’obtenir α.
Exp. 2 A partir de la valeur obtenue pour a2, taper dans la boite
de saisie mathématique le calcul permettant d’obtenir α.
Vérifier la cohérence des deux valeurs obtenues et les comparer
à 2π.
En faisant la moyenne des résultats obtenus lors des deux expériences, on trouve : α ≈ 6,280. Si l’on calcule
la valeur numérique de 2π, on trouve 2π ≈ 6,283 : on voit bien, aux incertitudes de modélisation près, que α
(nombre sans dimension) semble égal à 2π (nombre lui-aussi sans dimension).
On a donc: α = 2π.
En déduire l’expression du modèle de la période T (s) en
fonction de la masse m (kg) et la raideur k (N.m-1) du ressort.
On a : T 2 π
m
.
k
Taper la formule dans la boite de saisie mathématique (page
1.11).
Avec le simulateur (page 1.3), calculer la période T d’un
oscillateur harmonique constitué d’une masse m = 0,25 kg et
d’un ressort de raideur k = 10 N.m-1.
Retourner sur la page 1.11 et vérifier le résultat obtenu.
Période obtenue par le calcul : T 0,993 s ; période obtenue avec le simulateur : T 0,997 s.
Les deux valeurs sont tout à fait cohérentes et valident la formule T 2 π
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
m
.
k
Mécanique du solide
237
L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : oscillateur harmonique, période d’oscillation, modélisation.
Fichier associé : OscillateurHarmonique_eleve_CAS.tns.
1. Objectifs
Déterminer quels sont les paramètres qui influent sur la période d’oscillation d’un oscillateur harmonique.
Utiliser les fonctionnalités de TI-Nspire pour déterminer un modèle de la période d’oscillation en fonction
des paramètres de l’oscillateur.
2. Énoncé
On souhaite étudier la période d’oscillation T d’un oscillateur
harmonique et déterminer quels sont les paramètres dont elle
dépend. On dispose pour cela d’un outil de simulation (page
1.3) qui permet d’ajuster :
La masse (m) fixée au ressort,
La raideur (k) du ressort,
La position initiale (x0) de la masse,
L’amortissement (damp pour « damping » en anglais).
On souhaite également établir la formule donnant la période en
fonction des paramètres de l’oscillateur.
3. Étude et modélisation de la période d’oscillation
De quels paramètres dépend la période d’oscillation ?
On va faire varier un par un les paramètres du simulateur (page 1.3) puis indiquer si chaque paramètre
modifie ou non la période d’oscillation T. Pour déterminer, avec une bonne précision, la période
d’oscillation, on mesurera la durée de 10 allers-retours de la masse et on divisera cette durée par 10.
1) Influence de la position initiale et de l’amortissement
Montrer que, ni la position initiale x0, ni l’amortissement damp n’ont d’influence sur la période d’oscillation.
2) Influence de la masse
a) Mesures
On fixe : k = 5,0 N.m-1, x0 = 0,30 m et damp = 2.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
238
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Déterminer la période d’oscillation pour m = 0,02 ; 0,05 ; 0,10 ; 0,20 ; 0,30 ; 0,40 ; 0,50 ; 0,70 ; 1 kg.
Compléter le tableau ci-dessous :
m (kg)
0,02
0,05
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,70
1
T (s)
Aller sur la page 1.5.
Saisir, dans la colonne B, les valeurs de la période déterminées
au a).
La courbe représentant l’évolution de la période T en fonction
de la masse m apparaît dans la zone graphique.
b) Modélisation
Aller sur la page 1.6.
Le calcul de T 2 se fait automatiquement dans la colonne A et la
courbe représentant T 2 = f (m) apparaît dans la zone graphique.
Ajuster la valeur du paramètre a1 pour que la droite verte
passe le mieux possible par l’ensemble des points.
Modèle obtenu pour k = 5,0 N.m-1 : T 2 …… m.
3) Influence de la raideur du ressort
a) Mesures
On fixe : m = 0,20 kg, x0 = 0,30 m et damp = 2.
Déterminer la période d’oscillation pour k = 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 N.m-1.
Compléter le tableau ci-dessous :
k (N.m-1)
1
2
T (s)
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
4
8
12
16
20
Mécanique du solide
239
Aller sur la page 1.8.
Saisir, dans la colonne B, les valeurs de la période déterminées
au a).
La courbe représentant l’évolution de la période T en fonction
de la raideur k du ressort apparaît dans la zone graphique.
b) Modélisation
Aller sur la page 1.9.
On obtient automatiquement, dans la colonne A, le calcul de
1
1
. La courbe représentant f définie par f (k) = 2 apparaît
2
T
T
dans la zone graphique.
Ajuster la valeur du paramètre a2 pour que la droite verte
passe le mieux possible par l’ensemble des points.
Modèle obtenu pour m = 0,20 kg :
1
…… k.
T2
4) Modèle complet de la période d’oscillation en fonction de la masse et la raideur du ressort
Récapitulatif des résultats obtenus :
►
A la question 1) on a montré que l’amortissement et la position initiale n’ont pas d’influence sur T.
►
A la question 2) on a montré que T 2 a 1 m et calculé a1 pour k = 5,0 N.m-1.
►
A la question 3) on a montré que
Montrer que T 2 α
1
a 2 k et calculé a2 pour m = 0,20 kg.
T2
m
et déterminer par analyse dimensionnelle la dimension de α.
k
Aller sur la page 1.10.
Exp. 1 A partir de la valeur obtenue pour a1, taper dans la boite
de saisie mathématique le calcul permettant d’obtenir α.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
240
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Exp. 2 A partir de la valeur obtenue pour a2, taper dans la boite
de saisie mathématique le calcul permettant d’obtenir α.
Vérifier la cohérence des deux valeurs obtenues et les comparer
à 2π.
En déduire l’expression du modèle de la période T (s) en
fonction de la masse m (kg) et la raideur k (N.m-1) du ressort :
T = ……………..
Taper la formule dans la boite de saisie mathématique (page
1.11).
Avec le simulateur (page 1.3), calculer la période T d’un
oscillateur harmonique constitué d’une masse m = 0,25 kg et
d’un ressort de raideur k = 10 N.m-1.
Retourner sur la page 1.11 et vérifier le résultat obtenu.
Période obtenue par le calcul : T ………… s
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
; période obtenue avec le simulateur : T ………… s.
Mécanique du solide
241
PARAMÈTRES D’UN OSCILLATEUR
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Frédéric Marquet
Mots-clés : oscillateur harmonique, période d’oscillation, modélisation.
Fichiers associés :
ModelisationOscillations_CAS.tns,
OscillationsInfluenceMasse_CAS.tns,
OscillationsInfluenceRaideur_CAS.tns,
OscillationsInfluenceAmortissement_CAS.tns,
M21nProf_ParametresOscillateur_CAS.pdf,
M21nElev_ParametresOscillateur_CAS.pdf,
NoticeGoMotion_CAS.pdf,
ModelisationCourbe_CAS.pdf.
1. Objectifs
Utiliser le capteur de déplacement Go!Motion associé à l’interface d’acquisition LabCradle pour
déterminer quels sont les paramètres qui influent sur la période d’oscillation d’un oscillateur harmonique
constitué d’une masse et d’un ressort.
Utiliser les fonctionnalités de la calculatrice TI-Nspire pour modéliser l’évolution de la période de
l’oscillateur en fonction de ces paramètres.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
242
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
2. Énoncé
De quels paramètres dépend la période d’oscillation d’un
oscillateur harmonique constitué d’une masse et d’un
ressort ?
Comment établir la formule donnant la période d’oscillation
en fonction de ces paramètres ?
Pour tenter de répondre à ces questions, on dispose du montage
expérimental présenté ci-contre.
Il est constitué :
- d’une potence à laquelle on peut fixer un ressort,
- de plusieurs ressorts de raideurs connues (de 10 à 50 N.m-1),
- d’une masse variable accrochée au ressort (jusqu’à 0,60 kg),
- d’un capteur de déplacement Go!Motion,
- d’une calculatrice graphique TI-Nspire,
- d’une interface d’acquisition LabCradle.
Par la suite, on notera :
- T la période du pendule,
- m la masse fixée au ressort,
- k la raideur du ressort.
Pour aider les élèves, des fiches sont à leur disposition :
- Pour le fonctionnement du capteur à ultrasons Go!Motion, se reporter à la fiche NoticeGoMotion.pdf ,
- Pour modéliser une courbe, se reporter à la fiche ModelisationCourbe.pdf.
3. Étude et modélisation de la période d’oscillation
1) Influence de la masse
A partir du matériel fourni, mettre en place un protocole permettant de mesurer la période d’oscillation
d’un système masse + ressort pour plusieurs masses différentes.
Compléter le tableau ci-dessous :
m (kg)
T (s)
Tracer la courbe T² = f(m), puis la modéliser.
Modèle : T² = …………………….
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
243
Notes pour le professeur
Pour les mesures, afin de faire varier la masse accrochée au ressort, on a choisi de travailler avec des disques
de 48 g chacun que l’on peut ajouter les uns après les autres. Il est ainsi facile de faire varier la masse m
avec un pas égal à 48 g. Ces disques ont un diamètre de 15 cm, ce qui permet de bien réfléchir les ultrasons
du capteur Go!Motion.
La masse accrochée peut varier entre 162 g (masse du support sans les disques) et plus de 500 g.
Les frottements dus à l’air sur les disques sont négligeables.
Il ne faut pas hésiter à mettre deux ou trois ressorts les uns à la suite des autres sur la potence afin d’avoir
des mouvements d’une amplitude convenable et veiller à ce que la distance entre la masse et le capteur ne
soit pas inférieure à une vingtaine de centimètres.
Dans ces conditions, on obtient des acquisitions de bonne
qualité, comme l’illustre la figure ci-contre.
Dans la plupart des cas, une acquisition sur une durée de 5 s
avec un taux d’échantillonnage de l’ordre de 20 mesures / s
donne de bons résultats.
Il est facile, à partir de l’enregistrement, de déterminer la
période des oscillations :
- Soit avec les curseurs, en mesurant la durée de plusieurs
périodes,
- Soit en utilisant les outils de modélisation de la TI-Nspire.
La figure ci-contre illustre l’utilisation d’une modélisation de
la courbe représentant les variations de la position en fonction
du temps par une fonction sinusoïdale :
- Faire b, puis : Analyser, Ajustement des courbes.
- Sélectionner l’acquisition à modéliser, ici : run1.Position.
- Sélectionner : Sinusoïdal.
Le résultat s’affiche dans la fenêtre de gauche.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
244
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
La fréquence angulaire des oscillations est égale à 5,37 rad.s-1,
ce qui permet de déduire la période :
T
2π
2π
1,17 s .
ω 5,37
Une détermination directe de T à partir de la mesure de trois
périodes conduit à T = 1,16 s.
Voir le fichier : ModelisationOscillations_CAS.tns
L’ensemble des enregistrements se trouve dans le fichier :
OscillationsInfluenceMasse_CAS.tns. Ces mesures sont
enregistrées dans les séries nommées run1 à run9 :
- run1 correspond à une masse égale à 162 g,
- run2 correspond à une masse égale à 162 + 48 = 210 g,
- run3 correspond à une masse égale à 162 + 2 × 48 = 258 g,
etc.
La dernière série (run9) a donc été réalisée avec une masse
égale à 162 + 8 × 48 = 546 g.
La raideur du ressort est k = 11,7 N.m-1.
Les couples (m,periode) sont entrés dans une page Tableur &
Listes et une colonne pour le calcul de T 2 est ajoutée.
Il ne reste plus qu’à afficher le graphique dans une page
Graphiques : le carré de la période est bien proportionnel à
la masse.
Pour la modélisation, on peut choisir de faire un ajustement
manuel en insérant un curseur pour créer une variable a
pouvant aller de 0 à 10 avec un pas de 0,1 puis en traçant la
droite : f1(x) = a · x.
En ajustant la droite sur les points expérimentaux, on
trouve l’expression du modèle recherché : T ² = 3,4 × m.
La figure ci-contre présente la courbe expérimentale T = f(m)
ainsi que sa modélisation avec les résultats établis ci-dessus.
2) Influence de la raideur du ressort
A partir du matériel fourni, mettre en place un protocole permettant de mesurer la période d’oscillation du
système masse + ressort pour plusieurs raideurs différentes.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
Mécanique du solide
245
Compléter le tableau ci-dessous :
k (N.m-1)
T (s)
Tracer la courbe
1
f (k ) puis la modéliser.
T2
Modèle :
1
= …………………….
T2
Notes pour le professeur
Pour les mesures, on utilise le même dispositif que précédemment. On dispose de quatre ressorts dont on
connait les raideurs (mesurées à partir d’une courbe d’étalonnage) : 19,8 N.m-1, 24,0 N.m-1, 41,8 N.m-1,
49,6 N.m-1.
La masse suspendue est constituée du support (162 g) et de 8 disques de 48 g chacun, soit un total de 546 g.
L’ensemble des enregistrements se trouve dans le fichier :
OscillationsInfluenceRaideur_CAS.tns.
Ces mesures sont enregistrées dans les séries nommées run1 à
run4 :
- run1 pour une raideur égale à 19,8 N.m-1,
- run2 pour une raideur égale à 24,0 N.m-1,
- run3 pour une raideur égale à 41,8 N.m-1,
- run4 pour une raideur égale à 49,6 N.m-1.
Les couples (k,période) sont saisis dans une page Tableur &
Listes et une colonne pour le calcul de l’inverse de T 2 est
ajoutée.
L’inverse du carré de la période est bien proportionnel à la
raideur du ressort.
En procédant de la même manière que pour la modélisation de
l’influence de la masse, on trouve le modèle demandé :
1
0,045 k .
T2
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246
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
3) Influence de l’amortissement
A partir du matériel fourni, montrer que la période d’oscillation du système masse + ressort dépend très
peu de l’amortissement.
Notes pour le professeur
Pour augmenter l’amortissement, on choisit de coller un disque en carton de diamètre supérieur à 15 cm
(diamètre des disques servant de masses additionnelles).
L’ensemble des enregistrements se trouve dans le fichier : OscillationsInfluenceAmortissement_CAS.tns.
Ces mesures sont enregistrées dans les séries nommées run1 à run3 (oscillations de plus en plus amorties).
Run1 : amortissement très faible.
Run2 : amortissement moyen.
Run3 : amortissement élevé.
On vérifie en effet bien que les périodes de pseudo-oscillations sont très proches de la période propre.
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Mécanique du solide
247
4) Modèle complet de la période d’oscillation en fonction de la masse et la raideur du ressort
m
où α désigne un nombre sans dimension.
k
A partir du modèle obtenu au 1), proposer une méthode de calcul de la valeur du coefficient α.
Montrer que T α
A partir du modèle obtenu au 2), proposer une méthode de calcul de la valeur du coefficient α.
Vérifier la cohérence des deux valeurs obtenues et comparer α à la valeur numérique de 2π. Conclure.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
248
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
PARAMÈTRES D’UN OSCILLATEUR
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Auteur : Frédéric Marquet
Mots-clés : oscillateur harmonique, période d’oscillation, modélisation.
Fichiers associés :
NoticeGoMotion_CAS.pdf, ModelisationCourbe_CAS.pdf.
1. Objectifs
Utiliser le capteur de déplacement Go!Motion associé à l’interface d’acquisition LabCradle pour
déterminer quels sont les paramètres qui influent sur la période d’oscillation d’un oscillateur harmonique
constitué d’une masse et d’un ressort.
Utiliser les fonctionnalités de la calculatrice TI-Nspire pour modéliser l’évolution de la période de
l’oscillateur en fonction de ces paramètres.
2. Énoncé
De quels paramètres dépend la période d’oscillation d’un
oscillateur harmonique constitué d’une masse et d’un
ressort ?
Comment établir la formule donnant la période d’oscillation
en fonction de ces paramètres ?
Pour tenter de répondre à ces questions, on dispose du montage
expérimental présenté ci-contre.
Il est constitué :
- d’une potence à laquelle on peut fixer un ressort,
- de plusieurs ressorts de raideurs connues (de 10 à 50 N.m-1),
- d’une masse variable accrochée au ressort (jusqu’à 0,60 kg),
- d’un capteur de déplacement Go!Motion,
- d’une calculatrice graphique TI-Nspire,
- d’une interface d’acquisition LabCradle.
Par la suite, on notera :
- T la période du pendule,
- m la masse fixée au ressort,
- k la raideur du ressort.
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Mécanique du solide
249
Pour vous aider, des fiches sont à votre disposition :
- Pour le fonctionnement du capteur à ultrasons Go!Motion, se reporter à la fiche NoticeGoMotion.pdf ,
- Pour modéliser une courbe, se reporter à la fiche ModelisationCourbe.pdf.
3. Étude et modélisation de la période d’oscillation
1) Influence de la masse
A partir du matériel fourni, mettre en place un protocole permettant de mesurer la période d’oscillation
d’un système masse + ressort pour plusieurs masses différentes.
Compléter le tableau ci-dessous.
m (kg)
T (s)
Tracer la courbe T² = f(m), puis la modéliser.
Modèle : T² = …………………….
2) Influence de la raideur du ressort
A partir du matériel fourni, mettre en place un protocole permettant de mesurer la période d’oscillation du
système masse + ressort pour plusieurs raideurs différentes.
Compléter le tableau ci-dessous :
k (N.m-1)
T (s)
Tracer la courbe
1
f (k ) puis la modéliser.
T2
Modèle :
1
= …………………….
T2
3) Influence de l’amortissement
A partir du matériel fourni, montrer que la période d’oscillation du système masse + ressort dépend très
peu de l’amortissement.
4) Modèle complet de la période d’oscillation en fonction de la masse et la raideur du ressort
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250
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Montrer que T α
m
où α désigne un nombre sans dimension.
k
A partir du modèle obtenu au 1), proposer une méthode de calcul de la valeur du coefficient α.
A partir du modèle obtenu au 2), proposer une méthode de calcul de la valeur du coefficient α.
Vérifier la cohérence des deux valeurs obtenues et comparer α à la valeur numérique de 2π. Conclure.
Notes pour le professeur
►
A la question 1) on a montré que T 2 a1 m et calculé que a1 3,4 s2.m-1 pour k = 11,7 N.m-1,
►
A la question 2) on a montré que
►
A la question 3) on a montré que l’amortissement n’a que peu d’influence sur T.
1
a 2 k et calculé que a2 0,045 kg-1 pour m = 0,546 kg,
2
T
On peut déjà en déduire que la période T est proportionnelle à m et inversement proportionnelle à k .
La période T est donc proportionnelle à
m
, ce que l’on peut écrire :
k
T α
m
.
k
Détermination de la dimension du coefficient α :
s 2 N.m-1 s 2
α
kg
kg.m.s .m 1 .
2
kg
-1
On peut en conclure que α est un nombre sans dimension.
Calcul de la valeur de α à partir des deux séries de mesures :
- Question 1) : α a1 k 3, 4 11,7 6,3,
- Question 2) : α
1
1
6,4.
a2 m
0,045 0,546
Comparons, comme nous le suggère l’énoncé, cette valeur à 2π : 2π ≈ 6,283. Cette constatation laisse
penser que α peut être égal à 2π.
On peut donc supposer, même s’il faudrait le démontrer par un calcul analytique, que la formule exacte de la
période d’oscillation d’un système {masse + ressort} s’écrit :
T 2π
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m
.
k
Mécanique du solide
251
ÉTUDE ÉNERGÉTIQUE D’UN OSCILLATEUR
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Frédéric Marquet
Mots-clés : oscillateur harmonique, énergie cinétique, énergie potentielle élastique, énergie mécanique.
Fichiers associés :
DeterminationRaideurRessort_CAS.tns, EnergiesOscillateur_CAS.tns,
M21nProf_EnergiesOscillateur_CAS.pdf, M21nElev_EnergiesOscillateur_CAS.pdf,
NoticeGoMotion_CAS.pdf, ModelisationCourbe_CAS.pdf.
1. Objectifs
Utiliser le capteur de déplacement Go!Motion associé à l’interface d’acquisition LabCradle pour
enregistrer les oscillations d’un oscillateur harmonique constitué d’une masse et d’un ressort.
Utiliser les fonctionnalités de la calculatrice TI-Nspire pour tracer l’évolution des énergies cinétique,
potentielle et mécanique de l’oscillateur.
2. Énoncé
Comment évoluent les énergies cinétique, potentielle et
mécanique d’un oscillateur au cours de son mouvement ?
Pour répondre à ces questions, on dispose du montage
expérimental présenté ci-contre.
Il est constitué :
- d’une potence à laquelle on peut fixer un ressort,
- d’un ressort (de raideur inconnue),
- de plusieurs masses,
- d’un capteur de déplacement Go!Motion,
- d’une calculatrice graphique TI-Nspire,
- d’une interface d’acquisition LabCradle.
Par la suite, on notera :
- m la masse suspendue au ressort,
- k la raideur du ressort,
- x la position de la masse par rapport à l’équilibre,
- v la vitesse de la masse,
- Ec, Ep et Em les énergies cinétique, potentielle et mécanique.
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252
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Pour aider les élèves, des fiches sont à leur disposition :
- Pour le fonctionnement du capteur à ultrasons Go!Motion, se reporter à la fiche NoticeGoMotion.pdf ,
- Pour modéliser une courbe, se reporter à la fiche ModelisationCourbe.pdf.
3. Détermination de la raideur du ressort
A partir du matériel fourni, mettre en place un protocole permettant de déterminer le plus précisément
possible la raideur du ressort. On pourra par exemple mesurer l’allongement du ressort pour plusieurs
masses différentes et compléter le tableau ci-dessous :
masse (kg)
allongement (m)
Raideur : k = …………………….
Notes pour le professeur
Pour les mesures, afin de faire varier la masse accrochée au ressort, on a choisi de travailler avec des disques
de 48 g chacun que l’on peut ajouter les uns après les autres. Il est ainsi facile de faire varier la masse m
avec un pas égal à 48 g. Ces disques ont un diamètre de 15 cm, ce qui permet de bien réfléchir les ultrasons
du capteur Go!Motion.
La masse accrochée peut varier entre 162 g (masse du support sans les disques) et plus de 500 g.
Il ne faut pas hésiter à mettre deux ou trois ressorts les uns à la suite des autres sur la potence afin d’avoir
des mouvements d’une amplitude convenable et veiller à ce que la distance entre la masse et le capteur ne
soit pas inférieure à une vingtaine de centimètres.
La courbe représentant l’allongement du ressort en fonction du
poids suspendu se trouve dans le fichier :
DeterminationRaideurRessort_CAS.tns.
Pour chaque mesure, on effectue une moyenne de la position
de la masse mesurée sur 10 secondes. Pour plus de détails
concernant l’utilisation du capteur Go!Motion en mode
d’acquisition manuel, se reporter au fichier d’aide :
NoticeGoMotion_CAS.pdf.
Afin de modéliser la courbe obtenue, plusieurs possibilités
s’offrent à nous.
La première consiste à tracer les données sous forme d’un
nuage de points puis à insérer un curseur pour modifier une
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Mécanique du solide
253
variable k et afficher la droite f1(x) = k·x.
L’ajustement du paramètre k se fait alors « manuellement » en
déterminant quelle est la droite qui semble le mieux convenir.
La seconde méthode, la plus performante, consiste à utiliser
directement la puissance de l’outil de modélisation TI-Nspire.
Pour plus de précisions sur la modélisation de données
expérimentales, se reporter au fichier d’aide :
ModelisationCourbe_CAS.pdf.
Finalement, pour le ressort que nous allons utiliser nous trouvons :
Raideur : k = 11,7 N.m-1.
4. Étude énergétique
L’expression de l’énergie mécanique du système s’écrit : E m
1
1
m v2 k x2 .
2
2
Expliquer pourquoi l’énergie potentielle de pesanteur n’apparait pas directement dans cette expression.
A partir du matériel fourni, mettre en place un protocole permettant d’enregistrer les oscillations du
système masse + ressort.
Grâce aux enregistrements effectués, calculer puis tracer les graphiques représentant l’évolution
temporelle des énergies cinétique, potentielle et mécanique de l’oscillateur. Commenter les résultats
obtenus.
Notes pour le professeur
Si l’on note l la longueur du ressort à un instant t, l0 sa longueur à vide, l1 sa longueur au repos (masse m
suspendue) et x = l – l1, on a alors :
m
d 2x
mg k (l l 0 )
dt 2
Or, à l’équilibre :
l
0 mg k (l1 l 0 ) mg k (l1 l 0 )
x
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254
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
On a donc :
m
d 2x
d 2x
m
k x (1)
k
(
l
l
)
1
dt 2
dt 2
On obtient la même équation différentielle que pour un oscillateur horizontal : le poids P = mg ne rentre
pas en ligne de compte car il est compensé par l’allongement initial du ressort. On peut intuitivement
comprendre qu’il en est de même pour les énergies : l’énergie potentielle du système masse + ressort se
1
résume à k x 2 .
2
A partir de (1), il est aisé d’établir l’intégrale première du mouvement :
Em
1
1
m v 2 k x 2 cte .
2
2
On choisit de faire une acquisition avec :
- une masse m = 0,738 kg,
- une raideur de ressort k = 11,7 N.m-1 (déterminée au 3).
Le calcul théorique de la période d’oscillation donne T 1,6 s.
Les énergies oscilleront donc avec une période T’ 0,8 s.
On choisit de faire une acquisition sur une durée égale à
3 secondes avec un taux d’échantillonnage de 25 mesures / s.
Les enregistrements réalisés se trouvent dans le fichier EnergiesOscillateur_CAS.tns.
Pour plus de détails concernant l’acquisition, se reporter au fichier NoticeGoMotion_CAS.pdf.
Il est pratique de saisir le calcul des énergies dans des boites
de saisie mathématiques d’une nouvelle fenêtre de l’Editeur
Mathématique.
On peut ensuite ainsi créer une page Graphiques pour
afficher :
- l’énergie cinétique Ec,
- l’énergie potentielle Ep,
- l’énergie mécanique Em.
On constate que :
- l’énergie mécanique reste pratiquement constante au cours
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Mécanique du solide
du temps (faible dissipation due aux frottements de l’air),
- chaque minimum de l’énergie cinétique correspond à un
maximum de l’énergie potentielle et inversement,
- les énergies oscillent à une fréquence deux fois plus élevée
que la fréquence d’oscillation de la masse (à cause du « carré »
dans l’expression de l’énergie).
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
255
256
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
ÉTUDE ÉNERGÉTIQUE D’UN OSCILLATEUR
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Auteur : Frédéric Marquet
Mots-clés : oscillateur harmonique, énergie cinétique, énergie potentielle élastique, énergie mécanique.
Fichiers associés :
NoticeGoMotion_CAS.pdf,
ModelisationCourbe_CAS.pdf.
1. Objectifs
Utiliser le capteur de déplacement Go!Motion associé à l’interface d’acquisition LabCradle pour
enregistrer les oscillations d’un oscillateur harmonique constitué d’une masse et d’un ressort.
Utiliser les fonctionnalités de la calculatrice TI-Nspire pour tracer l’évolution des énergies cinétique,
potentielle et mécanique de l’oscillateur.
2. Énoncé
Comment évoluent les énergies cinétique, potentielle et
mécanique d’un oscillateur au cours de son mouvement ?
Pour répondre à ces questions, on dispose du montage
expérimental présenté ci-contre.
Il est constitué :
- d’une potence à laquelle on peut fixer un ressort,
- d’un ressort (de raideur inconnue),
- de plusieurs masses,
- d’un capteur de déplacement Go!Motion,
- d’une calculatrice graphique TI-Nspire,
- d’une interface d’acquisition LabCradle.
Par la suite, on notera :
- m la masse suspendue au ressort,
- k la raideur du ressort,
- x la position de la masse par rapport à l’équilibre,
- v la vitesse de la masse,
- Ec, Ep et Em les énergies cinétique, potentielle et mécanique.
Pour vous aider, des fiches sont à votre disposition :
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Mécanique du solide
257
- Pour le fonctionnement du capteur à ultrasons Go!Motion, se reporter à la fiche NoticeGoMotion.pdf ,
- Pour modéliser une courbe, se reporter à la fiche ModelisationCourbe.pdf.
3. Détermination de la raideur du ressort
A partir du matériel fourni, mettre en place un protocole permettant de déterminer le plus précisément
possible la raideur du ressort. On pourra par exemple mesurer l’allongement du ressort pour plusieurs
masses différentes et compléter le tableau ci-dessous.
masse (kg)
allongement (m)
Raideur : k = …………………….
4. Étude énergétique
L’expression de l’énergie mécanique du système s’écrit : E m
1
1
m v2 k x2 .
2
2
Expliquer pourquoi l’énergie potentielle de pesanteur n’apparait pas directement dans cette expression.
A partir du matériel fourni, mettre en place un protocole permettant d’enregistrer les oscillations du
système masse + ressort.
Grâce aux enregistrements effectués, calculer puis tracer les graphiques représentant l’évolution
temporelle des énergies cinétique, potentielle et mécanique de l’oscillateur. Commenter les résultats
obtenus.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
258
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
ENERGIE POTENTIELLE DE PESANTEUR
(Fiche professeur)
TI-Nspire CAS
Auteur : Eric Tixidor
Mots-clés : expérimentation assistée par ordinateur, acquisition de données, énergie cinétique, énergie
potentielle de pesanteur.
Fichiers associés :
M23nElev_EnergiePotentielle.pdf, EnergiePotentielle_eleve.tns,
EnergiePotentielle_prof.tns, EnergiePotentielle.tnsp
1. Objectifs, prérequis
Compétences expérimentales
Réaliser et exploiter un enregistrement pour étudier l’évolution de la position et de la vitesse d’un système
au cours du mouvement de chute libre.
Définir les énergies cinétique et potentielle du système, et montrer la conversion d'énergie potentielle en
cinétique.
Prérequis
Peu de prérequis sont nécessaires.
Les chapitres précédents ont permis de définir le champs de pesanteur et d'énoncer le principe de
conservation de l'énergie.
La notion d'accélération sera évoquée. On la définira comme "le taux de variation de la vitesse". On
définira également " l'apesanteur" : dans un référentiel en chute libre, les objets ne sont pas soumis à
l'intensité de pesanteur et ne subissent pas les effets de leur poids, ni aucune autre accélération relative. Par
analogie avec les référentiels galiléens vus en Seconde : un objet isolé qui y est immobile ne subit pas
d'accélération.
2. Énoncé
Lors d'un choc frontal d'une voiture sur un obstacle, les dommages dépendent de son énergie cinétique. Il est
toutefois plus facile d'imaginer les dommages subis par comparaison avec la hauteur équivalente de chute.
Proposer une méthode pour déterminer la hauteur équivalente de chute provoquant les mêmes effets
qu'un choc frontal aux vitesses usuelles : 50, 90 et 130 km.h-1.
Définir ainsi l'ENERGIE POTENTIELLE DE PESANTEUR Epp , et l'ENERGIE CINETIQUE EC d'après le
principe de conservation de l'énergie mécanique totale.
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Mécanique du solide
259
3. Matériel
Un jouet, type camion de pompier, avec une face arrière plate.
Le capteur de mouvement Go! Motion. Celui ci permettra
des relevés de position et vitesse au cours du temps avec les
spécificités : résolution 1 mm, plage de mesure : 15 cm à 6 m.
Le capteur 3-Axis Accéléromètre : utilisé ici selon un seul
des 3 axes pour une accélération verticale. Au repos, ce
capteur permet de mesurer l'intensité de pesanteur apparente
selon l'axe de mesure. Résolution : 0,018 m.s-2. Peut être
endommagé s'il subit une accélération de l'ordre de 1 000 g.
L’interface Lab Cradle reliée à un ordinateur muni du
logiciel TI-Nspire Software.
4. Expérimentation
1) Dispositif
Le capteur Accéléromètre est fixé sur l'arrière du véhicule. Le
capteur Go! Motion est disposé de manière à détecter la
position de la face arrière du véhicule en chute libre.
On veillera à disposer un matériau souple pour la réception du
camion, d'une part, pour ne pas endommager celui ci, et
d'autre part, pour ne pas endommager l'accéléromètre non plus
: en effet, après une chute de 1m sur un sol rigide, la valeur
limite de l'accélération supportée par le capteur peut être
atteinte.
Pour éviter tout risque, on préférera utiliser le capteur 25-g
(ref ACC-BTA) qui est plus dédié à ce genre d'expérience.
2) Réglages pour l'acquisition
Relier la prise BTA de l'axe z de l'accéléromètre sur le Lab Cradle (entrée analogique), ainsi que la prise
BTA du capteur Go! Motion sur une entrée numérique.
Lancer le logiciel.
Choisir une nouvelle application DataQuest
à partir de l’écran d’accueil.
Sur la voie Ch1 : clic-droit et sélectionner : 1: Changer d'unité, 2: g.
Disposer le capteur sur un plan horizontal.
Sur la voie Ch1 : clic-droit et sélectionner : 2: Étalonner, 3: Point unique.
Entrer la valeur 1 g pour étalonner le capteur.
Modifier les paramètres d'acquisition.
Clic-droit dans la partie Mode Taux Durée de la fenêtre : 3: Configuration de l'acquisition.
Choisir : Taux (échantillons/seconde) : 50, Durée : au choix, 2 à 5 secondes.
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260
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Sélectionner l'onglet "Courbes"
partie gauche de la fenêtre logicielle.
de l'application et afficher la boite à outils dans la
Comme indiqué ci dessus, afficher, pour le graphique 1, l'accélération mesurée par l'accéléromètre seul, et
non celle du capteur Go! Motion (moins précise).
Démarrer les mesures avec le bouton
capteur Go! Motion.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
. Lâcher ensuite l'objet d'une distance minimale de 15 cm du
Mécanique du solide
261
3) Traitement des données.
Sélection des points correspondants à la chute libre :
On distingue
mouvement.
3
parties
dans
l'enregistrement
du
Partie 1 : l'objet est toujours immobile. L'accélération
mesurée est égale à g, intensité de la pesanteur.
Partie 2 : le capteur est en état d'apesanteur, l'accélération
mesurée est nulle. Il s'agit de la phase de chute libre.
Partie 3 : augmentation rapide de l'accélération, l'objet
ralentit sur une courte durée. C'est l'impact au sol.
Sélectionner la partie de courbe correspondant à la
phase de chute libre (partie 2). Faire ensuite un clic-droit
dans la zone graphique et choisir :
6: Exclure les
sélectionnée.
données,
2:
Région
extérieure
La fenêtre doit alors ressembler à celle qui figure cicontre.
On peut alors n'afficher que le graphique Position-temps
:
Dans la boite à outils Classeur, choisir :
3: Graphique, 1: Afficher le graphique, 2: Graphique
2,
et modifier l'abscisse (cliquer sur l'étiquette temps et
remplacer par vitesse).
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262
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
Modélisation :
Ajustement des courbes sur run1.Position
Clic-droit dans la zone graphique :
Degré 2
1: Analyser, 5: Ajustement des courbes, 2: Degré 2.
Plage : [0, 4.00]
Le résultat obtenu figure ci-contre.
Échantillons : 16
On peut en déduire que la fonction z = f (v) reliant la position z ax² + bx + c
avec la vitesse de l'objet en chute libre peut s'écrire :
a : 0.051360602
z = 0,051 v2 + 0,166,
b : -0.000201550
soit, en modifiant l'origine et en choisissant h = z 0,166
c : 0.155955962
où h désigne la hauteur de chute : h = 0,051 v2.
r² : 0.977862656
5. Conclusion
Insérer une page Calculs, ou bien une page Tableur &
Listes, et calculer les valeurs des hauteurs de chute
correspondantes pour les vitesses mentionnées dans
l'énoncé.
Le tableau de résultats figure ci-contre.
Ici, pour la colonne B, les valeurs des vitesses de la
colonne A (en km.h-1) sont converties en m.s-1.
La formule h = 0,051v² est saisie dans la colonne C.
Les résultats sont alors : 9,8 m , 31,9 m et 66,5 m !
6. Prolongement
1) Énergie potentielle de pesanteur
À l'instant initial (avant la chute libre) : L'énergie potentielle de pesanteur de l'objet est son énergie
potentielle cinétique.
On peut supposer que, plus l'objet est lâché d'une hauteur importante, plus il est massif, plus l'intensité de
pesanteur est importante dans le référentiel d'étude, et plus cette énergie sera importante.
Essayons d'en dégager une loi.
Ouvrir le fichier EnergiePotentielle.tnsp et répondre aux questions. En déduire la loi relative à l'énergie
potentielle de pesanteur.
D'après les informations fournies :
- lorsque l'expérience est réalisée avec un objet de masse m2 = 4*m1 : l'impact est 4 fois plus gros ;
- lorsque l'expérience est réalisée avec une hauteur de chute 4 fois plus importante (même masse), l'impact
est également 4 fois plus important.
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Mécanique du solide
263
On peut supposer que Epp = m.g.h
1
2
2) Énergie cinétique : détermination de la loi EC = mv2
D'après la loi h = 0,051 v2, on a : m.g.h = 0,051 m.g.v².
On peut vérifier que
1
1
1
0,051 . On a alors : m.g.h = mv2 soit : EPP = EC.
2g 2 9,81
2
Au cours de la chute libre, il y a transfert de l'énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique.
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264
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
ÉNERGIE POTENTIELLE DE PESANTEUR
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : expérimentation assistée par ordinateur, acquisition de données, énergie cinétique, énergie
potentielle de pesanteur.
Fichiers associés :
EnergiePotentielle_eleve.tns, EnergiePotentielle.tnsp.
1. Objectifs
Réaliser et exploiter un enregistrement pour étudier l’évolution de la position et de la vitesse d’un système
au cours du mouvement de chute libre.
Définir les énergies cinétique et potentielle du système, et montrer la conversion d'énergie potentielle en
cinétique.
2. Énoncé
Lors d'un choc frontal d'une voiture sur un obstacle, les dommages dépendent de son énergie cinétique. Il est
toutefois plus facile d'imaginer les dommages subis par comparaison avec la hauteur équivalente de chute.
Proposer une méthode pour déterminer la hauteur équivalente de chute provoquant les mêmes effets
qu'un choc frontal aux vitesses usuelles : 50, 90 et 130 km.h-1.
Définir ainsi l'ENERGIE POTENTIELLE DE PESANTEUR Epp , et l'ENERGIE CINETIQUE EC d'après le
principe de conservation de l'énergie mécanique totale.
3. Matériel
Un jouet, type camion de pompier, avec une face arrière plate.
Le capteur de mouvement Go! Motion. Celui ci permettra
des relevés de position et vitesse au cours du temps.
Le capteur 3-Axis Accéléromètre : utilisé ici selon un seul
des 3 axes pour une accélération verticale. Au repos, ce
capteur permet de mesurer l'intensité de pesanteur apparente
selon l'axe de mesure. Il est alors normal de mesurer une
accélération égale à g.
L’interface Lab Cradle reliée à un ordinateur muni du
logiciel TI-Nspire Software.
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Mécanique du solide
265
4. Expérimentation
1) Dispositif
Mettre en œuvre une expérience permettant, l'acquisition simultanée :
- de l'accélération relative pour un occupant du camion
- des positions et vitesses au cours de la chute libre.
On veillera à disposer un matériau souple pour la réception du camion !
2) Réglages pour l'acquisition
Choisir une nouvelle application DataQuest
partir de l’écran d’accueil.
à
Sur la voie Ch1 : clic-droit et sélectionner pour
nouvelle unité : g.
Disposer le capteur sur un plan horizontal.
Sur la voie Ch1 : clic-droit et sélectionner :
Étalonner le capteur à la valeur 1 g.
Modifier les paramètres d'acquisition. Choisir :
Taux (échantillons/seconde) : 50
Durée : au choix, 2 à 5 secondes.
Lancer le logiciel TI-Nspire.
Sélectionner l'onglet "Courbes"
partie gauche de la fenêtre logicielle.
de l'application et afficher la boite à outils dans la
Comme indiqué ci dessus, afficher, pour le graphique 1, l'accélération mesurée par l'accéléromètre seul, et
non celle du capteur Go! Motion (moins précise).
Démarrer les mesures avec le bouton
capteur Go! Motion.
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. Lâcher ensuite l'objet d'une distance minimale de 15 cm du
266
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
3) Traitement des données
Sélection des points correspondants à la chute libre :
Distinguer les 3 parties dans l'enregistrement du mouvement d'après les valeurs mesurées pour l'accélération
:
Partie 1 : l'objet est toujours immobile.
Partie 2 : Le capteur est en état d'apesanteur : il s'agit de la phase de chute libre.
Partie 3 : augmentation rapide de l'accélération : impact.
Sélectionner la partie de courbe correspondant à la phase
de chute libre (partie 2) comme indiqué ci contre.
Faire ensuite un clic-droit dans la zone graphique et
choisir :
6: Exclure les
sélectionnée.
données,
2:
Région
extérieure
Afficher le seul graphique Position-temps :
Dans la boite à outil classeur, faire : 3: Graphique, 1: Afficher le graphique, 2: Graphique 2,
et modifier l'abscisse (cliquer sur l'étiquette temps, et remplacer par vitesse).
Modélisation : Clic-droit dans la zone graphique :
1: Analyser, 5: Ajustement des courbes, 2: Degré 2.
En déduire la fonction z = f (v) reliant la position z avec la vitesse de l'objet en chute libre.
En modifiant l'origine et en choisissant h = z - zo , où h désigne la hauteur de chute et zo la hauteur de chute
initiale, énoncer la loi h = f (v).
5. Conclusion
Insérer une page Calculs, ou bien une page Tableur & Listes, et calculer les valeurs des hauteurs de chute
correspondantes pour les vitesses mentionnées dans l'énoncé. On remplira le tableau suivant.
v en km/h
50
90
130
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v en m/s
hauteur chute en m
Mécanique du solide
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6. Prolongement
1) Énergie potentielle de pesanteur
À l'instant initial (avant la chute libre) : L'énergie potentielle de pesanteur de l'objet est son énergie
potentielle cinétique.
On peut supposer que, plus l'objet est lâché d'une hauteur importante, plus il est massif, plus l'intensité de
pesanteur est importante dans le référentiel d'étude, et plus cette énergie sera importante. Essayons d'en
dégager une loi.
Ouvrir le fichier EnergiePotentielle.tnsp et répondre aux questions. En déduire la loi relative à l'énergie
potentielle de pesanteur.
Epp = ..................
1
2
2) Énergie cinétique : détermination de la loi EC = mv2
D'après la loi h = f (v) déterminée au paragraphe 5 et la loi Epp = f (h), établir l'équation liant EPP à v.
Sachant qu'au cours de la chute libre, il y a transfert de l'énergie potentielle de pesanteur en énergie
cinétique, énoncer la loi Ec = f (v).
Vérifier enfin par un calcul, la valeur de
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1
1
. En déduire que EC = mv2.
2g
2
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Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
AMORTISSEURS D’UN VÉHICULE
(Fiche professeur)
Auteur : Pascal Leroy
TI-Nspire CAS
Mots-clés : période d’une oscillation, ressort, amplitude, fréquence, amortisseur, suspension.
Fichier associé : M11nEleve_Amortisseurs.pdf ; Amortisseurs_prof.tns
1. Objectifs
Mettre en œuvre un protocole expérimental pour vérifier que la fréquence des oscillations d'un système
mécanique dépend très peu de son amplitude.
2. Matériel
Une calculatrice graphique TI-Nspire,
Une interface d’acquisition Lab cradle,
Un capteur de force Vernier,
Un ressort,
Des masses marquées,
Un support vertical.
3. Énoncé
Un automobiliste se rend chez son garagiste pour faire vérifier
ses amortisseurs.
Dans un premier temps, après avoir fortement appuyé sur
l’avant de la voiture et l’avoir relâché, il l’observe osciller
longuement.
Il en conclut qu’il faut changer les amortisseurs, car c’est
« comme s’il n’y en avait pas ! ".
Le client, un peu surpris, cherche à reproduire l’expérience et
appuie à son tour sur le capot de la voiture, mais moins
fortement. Il constate alors que l’amplitude des oscillations est
moins grande mais que leur fréquence semble à peu près
identique.
Il s’interroge :
La fréquence est-elle réellement la même ? Les amortisseurs
sont-il vraiment en mauvais état ?
On se propose de vérifier si la fréquence des oscillations est
indépendante de l’amplitude du ressort de l’amortisseur de
la voiture.
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Mécanique du solide
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4. Attentes du professeur sur le déroulement de séance dans la 1re partie
Le sujet porte sur les contenus du module T7 du programme de baccalauréat professionnel.
La première partie permet de vérifier si l’élève s’est approprié la problématique et s’il est capable
de proposer, en fonction du matériel à sa disposition, un protocole expérimental permettant de
répondre à la question qui lui a été posée :
Notion d’amplitude,
Formulation d’une hypothèse,
Proposition sur un protocole expérimental pertinent et qui permet la détermination des fréquences,
Vérification du vocabulaire scientifique
Il est important que le professeur ne donne pas avant l’appel n°1, la partie concernant la
phase d’expérimentation à l’élève (préparation, réglages des paramètres d’acquisitions…).
5. Conduite de l’activité expérimentale
1) Préparation
Placer le capteur de force sur un support vertical.
Accrocher au capteur un ressort et une masse.
Engager l’interface d’acquisition « Lab cradle » relié au
capteur sur la calculatrice.
Il est important d’adapter le choix de la masse au ressort
pour exploiter correctement les expériences (configuration
de l’acquisition).Une boite de masses marquées est mis à la
disposition de l’élève.
Ouvrir un nouveau document avec l'application Dataquest.
Connecter le capteur à la centrale d’acquisition.
Il est automatiquement identifié ; si celui-ci n’est pas
automatiquement reconnu, appuyer sur la touche b puis
choisir : 1 Expérience, puis A Configuration avancée, et
enfin, 3 Configurer le capteur.
Choisir ensuite le capteur dans la liste proposée.
Pour exploiter deux ou trois enregistrements d’un même
système oscillant, il faut effectuer le réglage du zéro.
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Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
b 1 Expérience 9 Configuration des capteurs
3 Zéro ·.
2) Réglage des paramètres d’acquisition
Effectuer les réglages suivants:
b 1 Expérience, 8 Configuration de l’acquisition
Choisir un Taux (échantillons par seconde) égal à 20,
et une Durée d’acquisition (en secondes) égale à 5.
Le choix de l’acquisition (le taux et la durée) est fonction du
choix du ressort et de la masse. Il doit être choisi par le
professeur et communiqué à l’élève de manière à pouvoir
exploiter correctement les différents enregistrements.
3) Acquisition des données
Écarter la masse de sa position de repos de 5 cm environ
vers le bas, la lâcher et lancer l’acquisition.
b 1 Expérience, 2 Démarrer l’acquisition.
Pour obtenir un second enregistrement avec une amplitude
plus importante du ressort, enregistrer l’acquisition
précédente.
Appuyer sur l’icône
.
Recommencer l’expérience en écartant la masse avec une
amplitude plus importante que la première acquisition (par
exemple environ 10cm).
Pour obtenir une nouvelle acquisition, appuyer sur l’icône
puis enregistrer de nouveau l’ensemble des données
.
Il faut différencier, en termes d’amplitude, les actions produites par le garagiste et le client : Il s’agit donc
ici, de s’assurer que l’élève a bien recommencé de nouvelles acquisitions en écartant la même masse de sa
position de repos avec des amplitudes qui sont toutes différentes, tout en ayant sauvegardé les expériences
précédentes de manière à pouvoir les exploiter par la suite.
Demander à l’élève de commenter oralement les différents enregistrements (force, temps..).
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Mécanique du solide
4) Analyse des données
Pour comparer les deux enregistrements, il est intéressant de
les regrouper sur un même écran.
b 3 Graphique,
5 Sélectionner l’ensemble des données,
4Tout.
Comparer la période des oscillations en réglant la fenêtre
d’acquisition, pour obtenir plus de précisions.
Faire vérifier oralement par l’élève que la fréquence des
oscillations d'un système mécanique dépend très peu de son
amplitude.
b 4 Analyser, 1 Interpoler.
Indiquer ce qui permet au garagiste d’affirmer que les
amortisseurs sont en mauvais état.
La fréquence des oscillations
L’amplitude des oscillations
La durée des oscillations
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272
Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
On peut, si on le souhaite, dans cette partie, faire mesurer à
l’élève la période des oscillations et calculer la fréquence, ici
T 0,70 s et la fréquence égale à 1,43 hertz.
Pour la suite du TP, on peut demander à l’élève de proposer un protocole expérimental qui permet au
garagiste d’affirmer qu’il faut changer les amortisseurs (plonger le ressort et la masse dans un liquide qui va
atténuer l’amplitude du système oscillant).
Si les amortisseurs sont « usés », le système oscille longuement et l’amplitude est grande.
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Mécanique du solide
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AMORTISSEURS D’UN VÉHICULE
(Fiche élève)
TI-Nspire CAS
Mots-clés : période et fréquence d’une oscillation, ressort, amplitude, amortisseur, suspension.
1. Objectifs
Mettre en œuvre un protocole expérimental pour vérifier que la fréquence des oscillations d'un système
mécanique dépend très peu de son amplitude.
2. Matériel
Une calculatrice graphique TI-Nspire,
Une interface d’acquisition Lab cradle,
Un capteur de force Vernier,
Un ressort,
Des masses marquées 100 g, 200 g, 300 g,
Un support vertical.
3. Énoncé
Un automobiliste se rend chez son garagiste pour faire vérifier
ses amortisseurs.
Dans un premier temps, après avoir fortement appuyé sur
l’avant de la voiture et l’avoir relâché, il l’observe osciller
longuement.
Il en conclut qu’il faut changer les amortisseurs, car c’est
« comme s’il n’y en avait pas ! ".
Le client, un peu surpris, cherche à reproduire l’expérience et
appuie à son tour sur le capot de la voiture, mais moins
fortement. Il constate alors que l’amplitude des oscillations est
moins grande mais que leur fréquence semble à peu près
identique.
Il s’interroge :
La fréquence est-elle réellement la même ? Les amortisseurs
sont-il vraiment en mauvais état ?
On se propose de vérifier si la fréquence des oscillations est
indépendante de l’amplitude du ressort de l’amortisseur de
la voiture.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
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Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
4. Amplitude et fréquence des oscillations
La fréquence des oscillations est-elle la même quelle que soit l’amplitude de la stimulation
initiale ?
Indiquer ce qui différencie, en termes d’amplitude, les actions produites par le garagiste et le client.
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..............................................................................................................................................................................
Expliquer ce qui permet au garagiste et au client d’évaluer la fréquence des oscillations du véhicule.
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
Formuler une hypothèse quant au phénomène observé en rayant dans l’affirmation ci-dessous la
proposition incorrecte (en caractère gras) :
« Malgré la différence d’amplitude des actions produites par le garagiste et le client, la fréquence des
oscillations du véhicule est la même / n’est pas la même dans les deux cas. »
Proposer une étude expérimentale de la mesure de l'amplitude du ressort en fonction du temps sachant
que l’on dispose du matériel précisé en page précédente.
Le protocole proposé devra être accompagné d’un schéma légendé et préciser les mesures à réaliser qui
permettront des calculs de fréquences d’oscillations d’un ressort.
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Appel N°1
Appeler le professeur afin de lui présenter le protocole expérimental et justifier oralement le choix de
l’hypothèse.
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Mécanique du solide
5. Conduite de l’activité expérimentale
1) Préparation
Réaliser le protocole et le montage expérimental validé
par le professeur en suivant les indications ci-dessous
permettant l’utilisation du capteur de force.
Placer le capteur de force sur un support vertical.
Accrocher au capteur un ressort et une masse.
Engager l’interface d’acquisition « Lab cradle » relié au
capteur sur la calculatrice.
Ouvrir un nouveau document avec l'application Dataquest.
Connecter le capteur à la centrale d’acquisition. Il est
automatiquement identifié (voir figure).
Effectuer le réglage du zéro.
b 1 Expérience 9 Configuration des capteurs
3 Zéro ·.
2) Réglage des paramètres d’acquisition
Effectuer les réglages suivants:
b 1 Expérience, 8 Configuration de l’acquisition.
Choisir un Taux (échantillons par seconde) égal à 20,
et une Durée d’acquisition (en secondes) égale à 5.
© T³ France 2012 / Photocopie autorisée
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Expérimenter en sciences avec TI-Nspire
3) Acquisition des données
Écarter la masse de sa position de repos de 5 cm environ
vers le bas, la lâcher et lancer l’acquisition.
b 1 Expérience, 2 Démarrer l’acquisition.
Pour obtenir un second enregistrement avec une amplitude
plus importante du ressort, enregistrer l’acquisition
précédente.
Appuyer sur l’icône
.
Recommencer l’expérience en écartant la masse avec une amplitude plus importante que la première
acquisition (par exemple environ 10cm).
Pour obtenir une nouvelle acquisition, appuyer sur l’icône
données
puis enregistrer de nouveau l’ensemble des
.
4) Analyse des données
Pour comparer les deux enregistrements, il est intéressant de les regrouper sur un même écran.
b 3 Graphique,
5 Sélectionner l’ensemble des données,
4Tout.
Comparer la période des oscillations en réglant la fenêtre
d’acquisition, pour obtenir plus de précisions.
b 3 Graphique,
6 Réglages de la fenêtre.
Pour mesurer la période et calculer la fréquence :
b 4 Analyser, 1 Interpoler.
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5) Conclusion
Indiquer si les résultats expérimentaux confirment l’hypothèse formulée dans la partie 4 :
« Malgré la différence d’amplitude des actions produites par le garagiste et le client, la fréquence des
oscillations du véhicule est la même / n’est pas la même dans les deux cas. »
Justifier la réponse.
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Indiquer ce qui permet au garagiste d’affirmer que les amortisseurs sont en mauvais état. Rayer la ou les
propositions incorrecte(s) :
La fréquence des oscillations
L’amplitude des oscillations
La durée des oscillations
Appel N°2
Appeler le professeur afin de lui présenter et justifier oralement les résultats expérimentaux et la
conclusion.
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