Exercice 1 Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes : z1 = cos θ + i sin θ cos θ − i sin θ et z2 = (3 + i)4 Exercice 2 1. z et z 0 sont deux complexes, démontrer que : |z + z 0 |2 + |z − z 0 |2 = 2(|z|2 + |z 0 |2 ). 2. Interpréter géométriquement cette égalité en admettant (provisoirement. . . ) que si M(z) et M’(z 0 ) alors MM’2 = |z − z 0 |2 . Exercice 3 √ 6−i 2 et z2 = 1 − i. On pose z1 = 2 z1 1. Ecrire z1 , z2 et sous forme trigonométrique. z2 π π et sin . 2. En déduire cos 12 12 3. Résoudre dans [−π, +π[ l’équation : √ √ √ √ ( 6 + 2) cos x + ( 6 − 2) sin x = 2. √ (On rappelle que cos a cos b + sin a sin b = cos(a − b)) Exercice 4 √ n est un entier naturel, on pose z = ( 3 + i)n . Déterminer un argument de z et en déduire l’ensemble E des valeurs de n pour lesquelles z est un réel strictement positif. Exercice 5 1. Résoudre l’équation z 2 − 2z + 2 = 0 dans C. Préciser le module et un argument de chacune des solutions. 2. En déduire les solutions dans C de l’équation : (−iz + 3i + 3)2 − 2(−iz + 3i + 3) + 2 = 0. 1 G.Gremillot Exercice 6 A tout complexe z = x + iy, z 6= −1, on associe le complexe Z = 2iz − i . z+1 1. Calculer ZZ puis |Z| en fonction de x et y. 2. Déterminer l’ensemble E1 des points M d’affixe z tels que |Z| = 1. 3. Déterminer l’ensemble E2 des points M d’affixe z tels que Z soit imaginaire pur. Exercice 7 z+1 . z−1 1. Démontrer que |z| = 1 ⇔ z 0 imaginaire pur. Pour tout complexe z 6= 1, on pose z 0 = 2. En déduire que, dans le plan complexe, le lieu géométrique des points M’ d’affixe z 0 lorsque le point M d’affixe z décrit le cercle C de centre O et de rayon 1 privé du point A d’affixe 1. 2 G.Gremillot