DS n°5 - MP physique

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MP 2016/2017
DS n°5
Les deux problèmes de ce sujet sont complètement indépendants..
Il sera tenu le plus grand compte de la précision des réponses, de la qualité de la rédaction ainsi que de
l’orthographe.
Problème n°1: Autour de l’élément calcium
A PROPRIÉTÉS ATOMIQUES (X % du barème)
Le calcium a pour numéro atomique Z = 20. Quelle est sa configuration électronique à l'état fondamental?
Sous quelle forme ionique le rencontre-t-on habituellement?
A quelle famille appartient-il ?
B CRISTALLOGRAPHIE (14 % du barème)
Le calcium Ca existe sous deux formes cristallines qu’on notera Caα et Caβ.
Caα correspond à un arrangement cubique à faces centrées et Caβ cristallise dans un système cubique centré.
B-1 Représenter une maille conventionnelle du calcium α. Quelle est la coordinence d’un atome dans cette
structure?
Le paramètre de la maille pour le Caα est 559 pm. Calculer le rayon de l'atome de calcium, ainsi que la masse
volumique du cristal, en kg.m-3.
B-2 En supposant que le calcium garde le même rayon dans la forme β, calculer le paramètre de la maille cubique
centrée.
La valeur expérimentale est de 448 pm. Qu'en concluez-vous?
Calculer, en kg.m-3, la masse volumique du calcium β à partir de cette valeur expérimentale.
C. Formation de la chaux vive (X % du barème)
Le constituant en calcium le plus abondant de la croûte terrestre est le carbonate de calcium CaCO3(s), à partir
duquel on peut obtenir l’oxyde de calcium (ou chaux vive) CaO(s) et l’hydroxyde de calcium (ou chaux éteinte)
Ca(OH)2(s).
La chaux vive est obtenue par calcination du carbonate de calcium selon la réaction (1):
CaCO3(s)
CaO(s)
+ CO2(g)
(1)
À 1093 K, la constante d’équilibre vaut 0,2 ; à 1373 K, elle vaut 10,2.
C-1 Définir la variance d’un système siège d’un équilibre. Calculer la variance d’un système siège de l’équilibre (1).
C-2 On admet que les enthalpies standard de réaction et les entropies standard de réaction sont indépendantes de
la température dans l’intervalle de température choisi.
Calculer l’enthalpie standard de réaction ainsi que l’entropie standard de réaction de (1).
C-3. En partant d’un état d’équilibre établi à 1093 K, indiquer dans quel sens est déplacé l’équilibre (1) dans le
cas d’une augmentation de température.
C-4 Calculer la température pour laquelle la pression en dioxyde de carbone vaut 1,0 bar à l’équilibre.
C-5- Dans un récipient initialement vide de volume V1 = 41,5 L, maintenu à 1093 K, on introduit 0,25 g de
carbonate de calcium solide. Déterminer les quantités de matière des constituants à l’état final.
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D – Dissolution du carbonate de calcium dans l’eau
Considérons l’équilibre de dissolution de CaCO3 dans un volume V d’eau, à la température T et sous la pression
P° = 1 bar :
CaCO3(s) = Ca 2+ (aq) + CO3 2− (aq)
D-1.
{R 0 } avec pK S = 8,35 .
(rappel : pK S = − log K S )
Rappeler la définition d’un produit de solubilité et exprimer celui de CaCO3, noté KS.
−1
(La concentration standard est notée c° = 1,00 mol.L )
Examinons les équilibres suivants :
CO2(aq) + 2 H 2O(l) = HCO3 − (aq) + H 3O+ (aq)
HCO3
−
(aq)
+ Η 2Ο = CO3
2 H2O(l) = H 3O
+
(aq)
+ OH
2−
(aq)
+ H 3O
+
(aq)
−
(aq)
{E1 }
avec pK a1 = 6,35
{E2 }
avec pK a2 = 10,4
{Ee }
avec pK e = 14,0 .
Le dioxyde de carbone, à saturation, a une concentration maximale dans l’eau qui s’élève à 34,0 mmol.L 1. Les
concentrations étant faibles, les activités des ions en solution sont assimilées à leurs concentrations molaires.
La solubilité S de CaCO3 représente la quantité maximale de ce solide pouvant se dissoudre dans un volume V
unitaire et à la température T ; elle s’écrit :
S = Ca 2+  = CO2(aq)  + HCO3 − (aq)  + CO3 2− (aq)  .
D-2
(
Exprimer les constantes d’acidité K a1 CO 2(aq) HCO3
−
(aq)
)
(
et K a2 HCO3
−
( aq)
CO3 2 − (aq)
)
en fonction
des diverses concentrations.
D-3
Montrer que la solubilité S de CaCO3 vérifie la relation suivante :
 H O +  2 H O +  
 3  +  3  +1 .
S = Ca  = A 

C
 B

2
2+
2
Expliciter les coefficients A, B et C en fonction des constantes Ka1, Ka2, KS et de c°, la concentration
standard.
D-4
Tracer le diagramme de prédominance des espèces CO2, HCO3 et CO32 , à 298 K, en fonction du pH de la
solution.
D-5
Déterminer, dans le domaine de prédominance des ions carbonate (où la solubilité sera notée S3 et
 S3 
 ) la loi de variation de pS3 en fonction du pH (effectuer, si nécessaire, les
 c° 
pS3 = − log 
simplifications utiles).
D-6
Reprendre le même type d’étude dans le domaine de prédominance des ions hydrogénocarbonate
 S2 
 ), puis dans celui du dioxyde de carbone (solubilité notée S1 et
 c° 
(solubilité notée S2 et pS2 = − log 
 S1 
 ).
 c°
pS1 = − log 
S
 en fonction du pH
 c°
La courbe ci-dessous présente le tracé de pS = − log 
D-7
Représenter, sur la figure du document-réponse, chacune des fonctions pS3, pS2 et pS1 en fonction du pH.
D-8
A l’aide de ce tracé, préciser pour quel domaine de pH la solubilité du carbonate de calcium est la
meilleure.
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D-9
On constate expérimentalement que la solubilité de CaCO3 possède une valeur limite supérieure Slim.
Expliquer la raison de cette limite.
D-10
Proposer le domaine optimal de pH pour une eau domestique, sachant qu’elle ne doit pas être trop
agressive (trop riche en CO2), ni favoriser la précipitation de CaCO3.
D-11
Envisager deux techniques pour décarbonater une eau domestique, lors de son traitement préalable à la
distribution.
Une eau trop incrustante est le siège de précipitation du carbonate de calcium, avec comme inconvénients des
dépôts dans les réseaux de distribution, chaudières ou machines à laver, entraînant des pertes énergétiques. Il y a
donc lieu de contrôler sa teneur en CaCO3.
Détermination du titre alcalimétrique d’une eau (TA)
Le TA détermine la teneur en carbonate d’une eau ; il correspond au volume d’acide (exprimé en mL) de
concentration 20,0 mmol.L 1 en ion H3O+ (aq), nécessaire pour doser 100 mL d’eau en présence d’un indicateur
coloré et ce titre s’exprime en degré français : °F.
Dosons une prise d’essai de 50,0 mL d’eau (à pH = 8,3) par une solution d’HCl de concentration 20,0 mmol.L 1,
en présence de phénolphtaléine ; le volume versé à l’équivalence est de 17,5 mL.
D-12
Écrire l’équation de réaction du dosage. Calculer sa constante d’équilibre et conclure.
D-13
Déterminer en °F le TA de cette eau.
Rôle des ions HCO3- dans régulation du pH salivaire
La dégradation des débris alimentaires, par les bactéries présentes dans la salive, produit des ions H3O+; de même,
de nombreuses boissons gazeuses (sodas, jus de fruits...) sont relativement acides. Pour neutraliser très rapidement
cette acidité, les glandes salivaires libèrent des ions HCO3- dans la salive (jusqu'à 6.10-2 mol.L-1) .
On adopte dans la suite les notations K0n pour désigner des constantes d’équilibre thermodynamique et kn pour des
constantes cinétiques.
Il se produit alors les réactions suivantes :
(C2)
HCO3-(aq) + H3O+(aq) = CO2(aq) + 2 H2O(l)
(C3)
CO2(aq) = CO2 (g)
K02=106,3
K 03
Cinétique de la réaction (C2)
On étudie, dans l'eau et à pH=7,2, la réaction directe de (C2) :
HCO3-(aq) + H3O+(aq) → CO2(aq) + 2H2O(l)
k2= 7 105 s-1 mol-1 L
On suppose qu'on peut négliger la réaction inverse.
D-14 On appelle α et β les ordres partiels respectivement par rapport à HCO3-(aq) et H3O+(aq) .
Ecrire la loi de vitesse de la réaction. Déterminer l’ordre global de la réaction.
On suppose pour la suite que α = β et que à le pH de la salive est fixé à 7,2.
D-15. Comment se simplifie la loi de vitesse dans les conditions expérimentales considérées. Evaluer le temps de
demi-réaction vis-à-vis de HCO3-(aq) dans une solution aqueuse dont le pH est fixé à 7,2. Quelle conclusion en
tirez-vous quant à la régulation du pH salivaire ?
Que pensez-vous du conseil suivant :
« mâcher du chewing-gum aide à prévenir les caries et à préserver la bonne santé de nos dents »
(Source :Union Francaise pour la Santé Bucco-Dentaire)
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Problème n°2: Cumulonimbus par temps d’orage
DOCUMENT 1 (d'après le site Web Wikipédia » http://fr.wikipedia.org/wiki/Nuage)
En météorologie, un nuage est une masse visible constituée d'une grande quantité de gouttelettes d'eau (parfois de
cristaux de glace associés à des aérosols chimiques ou des minéraux) en suspension dans l'atmosphère au-dessus de
la surface de la planète. La formation du nuage orageux (ou cumulonimbus) (figure 1) est favorisée par des
conditions chaudes et humides à la surface du sol, mais plus froides et sèches en altitude. Ce nuage est «bourré »
de charges électriques avec une répartition bien spécifique. Selon un processus complexe, les charges positives se
concentrent plutôt au sommet du nuage et les charges négatives à la base. Au voisinage du sol, sous le
cumulonimbus, l'atmosphère se charge positivement par influence.
Seul le cumulonimbus est générateur d'orages.
Figure 1 (Wikipédia - Cliché : Simo Rasanen)
Il s'agit, dans cet exercice, de modéliser la répartition des charges électriques positives et négatives au sein du
cumulonimbus (figure 2) et d'envisager l'apparition de la foudre. L'espace est rapporté, en coordonnées
cartésiennes, à un repère orthonormé direct (Ox, Oy, Oz) de base ( e x , e y , e z ).
Figure 2
Hypothèses de travail
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−
−
Le nuage est un cylindre d'axe vertical (vecteur e z ), de surface de base S et de hauteur H= z3 - z2.
À l'intérieur du cumulonimbus (z2 < z < z3), la densité volumique de charges ρ(z) est une fonction affine de
l'altitude : ρ(z) =
−
−
−
−
ρm
[2 z - (z2 + z3)], avec ρm constante positive.
H
La densité volumique ρ0 > 0 de charges au voisinage du sol, dans l'épaisseur 0 < z < z1, est uniforme.
Les effets de bord sont négligés et toutes les grandeurs envisagées sont unidimensionnelles et ne dépendent
que de l'altitude z.
La norme du champ électrique E(z = 0) et le potentiel V(z = 0) sont supposés nuls au ras du sol.
La permittivité diélectrique, considérée uniforme et constante dans toute l'atmosphère, vaut ε0
Données numériques
ε0 = 8,9 x 10-12 F.m-1.
ρm = 1,0 x 10-9 C m-3
Des mesures donnent :
à l'altitude z1, E(z1) = + 5,0 x 104 V m-1 ;
 z + z3 
5
-1
au centre du nuage E  2
 = -2,5 x 10 V valeur maximale du champ (en valeur absolue),
 2 
z1 = 2,5x102 m ; z2 = 1,0x103 m ; z3 = 1,1x104 m ; S = 2,0x107 m2.
I. Champ et potentiel à l'intérieur et à proximité du nuage
1) Montrer qu’en tout point M de l’espace le champ électrique peut s’écrire E (M ) = E(z). e z
2). Déterminer, en fonction des données de l'énoncé, le champ électrique E(z) :
a) dans l'espace chargé, défini par 0 < z < z1 ;
b) dans l'espace non chargé sous le nuage, c'est-à-dire pour z1 < z < z2;
c) à l'intérieur du cumulonimbus, c'est-à-dire pour z2 < z < z3
3)Le champ électrique E(z) est-il continu ? Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction E(z) pour 0 <
z < z3.
4). Applications numériques
Calculer :
a) la densité volumique de charge ρ0 ;
b) la charge totale Q0 contenue sous le nuage, entre z = 0 et z = z1;
c) la charge totale négative - Q portée par la moitié inférieure du cumulonimbus.
5). La foudre est un phénomène naturel de décharge électrique qui se produit lorsque la différence de potentiel,
entre deux nuages d'orage voisins ou entre un nuage et la terre, engendre un champ électrostatique (électrique)
égal ou supérieur, en valeur absolue, à la valeur Ed = 106 V m-1 dans de l'air humide. Dans ces conditions, le
champ, qualifié de champ disruptif, est responsable de l'ionisation des molécules d'air environnantes et de la
formation d'un milieu conducteur propice aux déplacements des charges électriques, donc de l'apparition de la
foudre.
Y a-t-il, dans l'espace considéré depuis le début de l'exercice, des zones où le champ électrique est disruptif ?
6) Rappeler la relation entre le potentiel V(z) et le champ électrique E(z).
En déduire les expressions de V(z) entre la terre et le nuage, c'est-à-dire :
a) dans l'espace chargé, défini par 0 <- z < z1 ;
b) dans la zone dépourvue de charges, si z1 < z < z2. Sachant que le potentiel est nul au sol par convention
7). Application numérique : calculer la différence de potentiel U = V(z2) - V(z = 0) entre la base du nuage (z =
z2) et le sol (z = 0 m).
II. Effet de pointe, ionisation et foudre
DOCUMENT 2 (d'après le site Web Wikipédia »http://fr.wikipedia.org/wiki/Foudre)
Lorsque des charges électriques négatives descendent du nuage, elles cherchent à rejoindre le sol au plus court, en
empruntant cependant un chemin de bonne conductivité. L'air étant un isolant, elles profitent de tout ce qui leur
offre une moindre résistance électrique pour rejoindre le sol.
Les charges positives accumulées sous l'orage au voisinage du sol (0 < z ≤ z1), en réponse à l'approche de la
charge négative nuageuse, ont tendance à se concentrer sur des objets élevés et pointus, tels que les arbres, les
poteaux et les bâtiments, un phénomène que tentent d'exploiter les paratonnerres. Cette concentration de charges
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a pour conséquence une augmentation importante du champ électrique local. Ce phénomène physique, nommé
«effet de pointe » (aussi appelé «pouvoir des pointes »), vient du fait que le champ électrique est plus fort au
voisinage d'une pointe conductrice chargée de petit rayon de courbure R. Un champ E intense (|E| ≥ Ed = 106 V
m-1) peut avoir pour conséquence l'ionisation des molécules d'air et ainsi la mise à disposition d'un canal ionisé
(nommé traceur) propice au déplacement de la charge négative colossale en provenance du nuage. L'éclair va
pouvoir relier le ciel au sol. C'est le coup de foudre.
L'objet pointu peut être modélisé par une petite sphère conductrice, de centre Ω et de rayon R, portant la charge
q.
8) Calculer le champ électrique et le potentiel électrostatiques en un point M extérieur à la boule.
En déduire qu’en un point M tout proche de la surface de la sphère conductrice(r = R+), on peut écrire :
V (R + )
E (R + ) =
R
On choisira l’origine des potentiels à l’infini.
9) Maintenue à l'altitude z, cette sphère se porte rapidement au potentiel local V(z). Exprimer, en fonction de z et
des données de l'énoncé, le rayon de courbure Rd(z) de la sphère capable de créer le champ disruptif Ed au
voisinage du sol (c'est-à-dire pour 0 < z ≤ z1).
10) L’expérience du cerf-volant de Benjamin Franklin.
L’expérience du cerf-volant de Franklin est une expérience célèbre
proposée par Benjamin Franklin en 1750, et visant à prouver la
nature électrique des éclairs. Son protocole opératoire faire voler
un cerf-volant durant un orage pour le faire frapper par la foudre
frappa les imaginations et le rendit célèbre.
a) Sous le cumulonimbus de la partie I, la clé, assimilée à une
sphère de rayon de courbure Rp = 5,0 x 10-3 m est accrochée à
l’extrémité d’un cerf-volant volant à l'altitude z = 10 m.
La densité volumique de charges locales est estimée à ρ0 = 1,8 x
10-9 C m-3 .
La clé risque-t-elle d'ioniser l'air en favorisant une décharge
disruptive et un déclenchement de la foudre ?
b) Dans une lettre où il décrit son expérience, Benjamin Franklin
écrit
« Il faut élever ce cerf-volant lorsqu’on est menacé de tonnerre, et
la personne qui tient la corde doit être en dedans d’une porte ou
d’une fenêtre, ou sous quelque abri, en sorte que le ruban ne
puisse pas être mouillé, et l’on prendra garde que la ficelle ne
touche pas les bords de la porte ou de la fenêtre »
Expliquer les raisons de ces précautions expérimentales.
Figure 3 : Expérience de Benjamin Franklin
11) Résolution de problème : Récupérer l’énergie des éclairs ?
Combien de temps pourrait-on faire avancer un TGV en récupérant durant un an toute l’énergie issue des éclairs
frappant une grande ville française ?
Cette résolution de problème devra présenter de manière claire une démarche scientifique basée, d’une part sur les
documents fournis, d’autre part sur vos connaissances.
Toute tentative de réponse pertinente, même incomplète, sera prise en compte lors de la notation.
DOCUMENT 3 (d'après un article de « CultureSciences-physiques : quelle est l'origine des orages ? »)
Les nuages d’orage sont des cumulonimbus, gros nuages en forme d'enclume ou de hautes tours. Ils sont composés
à la fois d'eau et de glace. Lors des orages, le cumulonimbus est fortement chargé électriquement. Globalement, le
sommet du nuage est chargé positivement alors que sa base est négative. La partie du nuage qui se trouve en
regard avec la terre étant chargée négativement, le sol se charge positivement par influence.
Par temps d'orage, on peut comparer le système {base du nuage - sol} à un gigantesque condensateur constitué
par l'air placé entre le bas du nuage et le sol. L'isolant entre les deux armatures est l'air ; dans certaines
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conditions, il devient localement conducteur. Il s'établit alors un canal ionisé entre le sol et le nuage dans lequel
une ou plusieurs décharges se produisent. Ces décharges constituent la foudre.
DOCUMENT 4 (d’après « La vie du rail : le TGV Nord-Europe» - Hors Série 1993)
Fiche technique du TGV réseau
Vitesse moyenne
300 km/h
Puissance unitaire aux moteurs de traction
1100kW
Nombre de moteurs de traction
8
DOCUMENT 5 (Données issues de Météo France)
« Le nombre moyen d’impacts de foudre au km2 et par an en France intérieure varie en fonction des régions entre
1 et 2 ».
Problème n°3: Etude d’un dispositif anti-buée d’une lunette astronomique
Pour éviter la formation de buée sur l'objectif d’un appareil optique (lunette, jumelle, appareil photo…) lors des
nuits humides, on utilise une résistance chauffante, constituée d'une fine bande conductrice électriquement,
cerclant la lentille au niveau de sa surface latérale. Il faut alors trouver un compromis entre :
- chauffer suffisamment l'objectif pour éviter (ou éliminer) le dépôt de buée ;
- ne pas créer une trop grande différence de température entre l'objectif et l'air extérieur, ce qui serait
générateur de turbulences déformant les images.
On assimile la lentille L1 à un cylindre de verre, de rayon r1 = 117 mm et d'épaisseur e = 10 mm, de conductivité
thermique λ = 1,2 SI. La résistance transmet 10% de sa puissance chauffante à la lentille au niveau de sa surface
latérale (le reste étant perdu dans l'air et dans le tube de la lunette). Aux interfaces verre/air (faces supérieure et
inférieure de la lentille sur le schéma figure 1), les échanges thermiques sont modélisés par la loi de Newton, avec
un coefficient d'échange h = 5,0 W.m-2.K-1. La température de l'air, quand on s'éloigne suffisamment de la lentille
est uniforme et vaut T0.
On attend qu'un régime stationnaire de transferts thermiques s'établisse et on adopte le modèle d'une distribution
de température T(r) dans la lentille.
Figure 1
1) Rappeler la loi de Fourier dans le verre de la lentille. Dans quelles conditions est-elle utilisable? Retrouver l'unité
internationale de λ par analyse dimensionnelle.
2)
a) À l'aide du premier principe de la thermodynamique appliqué à la tranche de verre comprise entre r et r+dr,
montrer que l'équation différentielle vérifiée par θ = T(r) – T0 peut se mettre, en régime stationnaire, sous la
forme :
δ2 d  dθ 
 r.  = θ
r dr  dr 
On rappelle la loi de Newton relative aux échanges thermiques conducto-convectifs : ϕ = h.(T(r) - T0) où ϕ est le
flux thermique surfacique entre la paroi à la température T(r) et l’air extérieur à la trempérature T0.
b)
c)
λ.e
2.h
Calculer numériquement δ et en proposer une interprétation physique.
Montrer que δ =
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3) Les solutions de l'équation différentielle physiquement pertinentes pour notre problème sont du type θ(r) =
BJ(r) où B est une constante d'intégration et J(r) une fonction sans dimension, représentée figure 6 à l'aide d'un
logiciel de calcul.
Figure 6 Courbe représentative de J(r)
Pour limiter la formation de buée de manière suffisamment efficace, on souhaite que la température du verre soit
supérieure à T0 + 0,5 K sur toute la surface de la lentille. Mais pour éviter des turbulences trop fortes souhaite ne
pas dépasser T0 + 5,0 K dans la zone la plus chaude.
En déduire la valeur optimale de B, qu'on utilisera pour la question suivante.
La résistance est branchée sur une batterie délivrant une tension U = 12 V, supposée constante d'une capacité de
20 A.h (elle peut fournir la même énergie électrique qu'en produisant un courant d'intensité I = 20 A pendant une
heure sous la tension U = 12 V).
4) Exprimer la puissance thermique reçue par la lentille sur sa surface latérale.
On pourra exploiter graphiquement les informations de la courbe (notamment la valeur de sa pente au bord de la
lentille), la valeur de B et les données fournies numériquement.
En déduire la puissance Pélec délivrée par la résistance chauffante.
5) La batterie alimente également, sous la même tension U, le moteur de la monture qui porte la lunette et lui
permet de suivre le mouvement apparent de la planète tout au long de l'observation. Utilisée exclusivement pour
alimenter le moteur, la batterie peut fonctionner pendant 15 heures.
De quel temps de fonctionnement disposera t-on si on utilise en plus le dispositif anti-buée ?
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Prénom
Document réponse – Problème n°1
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