Instabilité des échanges convectifs sous l`effet d`un champ électrique
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ième
Congrès de Mécanique, FS Semlalia, Marrakech 355
Instabilité des échanges convectifs sous
l’effet d’un champ électrique
Abdelhadi BEGHIDJA1*, Djedid TALOUB1’2 , Razik
BENDERRADJI1,3, Nabil SAFER1ة2, Othmane
KHEMIS1
1Laboratoire d’Energétique appliquée et de Pollution (LEAP)
Université Constantine, Algeria .
2Université de Msila, Algeria
3Centre Universitaire de Boumerdes, Algeria
1 Introduction
Les Problèmes de l’instabilité liés à la convection
naturelle dans le cas de couches fluides
horizontales ont attiré l’attention de beaucoup de
chercheurs depuis le travail réussi de Benard [1].
Le début d’apparition de la convection a fait
l’objet d’une excellente étude par Chandrasekhar
[2]. Le déclenchement de la convection naturelle
dans un champ externe comme celui d’un champ
magnétique ou électrique avait été étudié aussi par
différents chercheurs. Les problèmes d’instabilité
liés à ces champs électrique ou magnétique ont été
traités par Turnbull [3,4], Melcher [4] and
Takashima and Aldridge
Les transferts de chaleur résultent alors d’un
écoulement secondaire induit par les forces Electro-
Hydro-Dynamiques (EHD). Les différentes forces à
l’origine de ce phénomène sont données dans une
relation qui expriment la part de chacune de ces
forces dans le déclenchement du mouvement des
particules. le premier terme (1’) représente les
forces de Coulomb, qui naissent de l’interaction de
charge libre
q
dans le fluide avec le champ
électrique
E
. Il est typiquement lié au système de
courant continu et représenté par
qE
. Le deuxième
terme (1’) représente la force exercée sur le fluide
par un champ électrique non constant et est connu
comme la force di-électro-phorétique. Ces forces
sont dominantes dans les systèmes à courant
alternatif seulement. Enfin le dernier terme (1’) est
lié aux forces électrostrictions qui sont en rapport
avec les changements des densités de fluide
auxquels le champ électrique est appliqué, qui reste
insignifiant dans les fluides incompressibles.
Ces phénomènes complexes ont suscité de
nombreuses études, essentiellement dans deux
situations: Dans le premier cas quand on applique
une tension continue à un liquide légèrement
conducteur, c'est la force de Coulomb qui joue le
rôle prépondérant. La seconde est celle de la force
dominante et le force diélectrique ( F = - 1/2 E2
.gradE ), ce qu'est le cas quand on utilise une
tension alternative.
Dans le cas présent, il s'agit de l'examen d'une
troisième situation qui n'a pas été étudiée jusqu'à
présent, ou la force électrique qu'agit est la force de
coulomb due à l'action du champ électrique sur la
charge d'espace injectée par une électrode, et on
suppose que le liquide est isolant par lui-même.
Les ions jouent le rôle de pompes pour drainer les
flux de chaleur en se servant des forces de
Coulomb. Ces mécanismes sont recherchés, en vue
de générer des applications de pompage là où des
mouvements convectifs classiques, sont difficiles à
obtenir tel que l’aérospatial, le nucléaire ou autre.
Ce problème est traité expérimentalement dans la
géométrie de notre situation par deux électrodes
planes parallèles et horizontales, et dans le cas où
le liquide est chauffé par dessous.
Nous traitons ici le cas de l'injection unipolaire.
C’est à dire une électrode seule introduite dans un
liquide supposé parfaitement isolant. Cela
constitue une certaine catégorie de problèmes. Dans
le cas de géométries où l'électrode présente une
grande symétrie (plaques parallèles planes,
cylindres coaxiaux et sphères concentriques), avec
l’hypothèse supplémentaire d'une injection
constante, alors il est facile de voir que l'état
immobile est une solution possible [7]. Pour la
géométrie des plaques parallèles, l'analyse de
l'instabilité [8,9] et discussions qualitatives [11] ont
établi qu'il y a un accouplement positif entre vitesse
et perturbations de la charge de l'espace. Le
problème porte sur quelques analogies avec le
problème Rayleigh-Benard d'une couche
horizontale de fluide chauffée de dessous [12].
Cette analogie est néanmoins limitée à cause de
l'événement d'un mécanisme de l'instabilité non -
linéaire ayant rapport avec la vitesse du mouvement
finie d'ions (alors que le transfert de la chaleur est
un processus diffus dans l'absence de mouvement
fluide). L'analogie avec le problème Rayleigh-
Benard tient d’avantage à considérer les régimes de
convection. Dans les deux cas, les convections
transportant la quantité scalaire (charge ou chaleur),
dominent les mécanismes de la conduction de base.
En effet cette forte analogie a suggéré d’utiliser la
convection électriquement induite pour augmenter
le transfert de la chaleur .
Après avoir obtenu les résultats de base sur
l’électro-convection provoquée par l’injection entre
électrodes parallèles plans, nous nous intéressons
au même problème de l’effet combiné des deux
convections. Quelques évaluations approximatives
des profiles de température et de tension sont
obtenus dans les deux cas de régime de convection :
visqueux dominant et pleinement inertiel
dominant. Nous examinons l'effet de convection sur
le passage de courant électrique expérimentalement
et discutons les résultats en ce qui concerne le cas
de deux plaques.
∂
∂
∇+∇−=
ρ
ρ
ε
ε
T
E
EEqEF
22
2
1
2
1 (1)
qE
,
ε
∇−
2
2
1
E
,
∂
∂
∇
ρ
ρ
ε
T
E
2
2
1
(1’)
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2. CONTEXTE D’ETUDE
2.1. Injection de charge
La solution en équilibre thermodynamique se
caractérise par un état homogène et électro-neutre.
L’introduction d’une électrode dans cette solution
génère une d.d.p. entre le milieu et le métal. Ce
phénomène se caractérise par l’apparition d’une
énergie d’interaction de nature suivante:
a
W
ro
mi e
ε
πε
16
2
=
−
.
Selon le model de répartition du potentiel électrique
formé proche de l’électrode, on distingue trois
régions :
1/Couche compacte : tout prés de la paroi elle se
caractérise par une forte adhésion.
2/Zone de force-Image : présence de force de
coulomb. Elle se présente un peu plus loin de la
couche compacte. La densité de charge volumique
varie selon une forme de type exponentiel comme :
exp(1/X)
3/Couche diffuse : Apparaît dans une zone un peu
plus éloignée de la zone de force–image. Les ions
sont alors, soumis qu’aux forces électrostatiques et
diffusives. Selon la théorie de Blossey la densité de
charge est :
( )
EY
UE
i
X
q
q
a
A.exp
0
−
=
;
−= U
e
X
qq
a
AA
π
16
exp
0
( )
[
]
)2(.2
1
1
B
B
EY
x
KX
−
= (2)
2.2. Effet du champ électrique – théorie
d’Osanger
Dans une telle configuration, la
conductivité d’une solution sous un champ
électrique important n’évolue plus en loi d’Ohm
comme il est habituel mais selon une autre
évolution conforme à la loi de Wien
Osanger propose : Le model cinétique où
les ions sont considérés comme des billes soumises
au mouvement Brownien.
Son résultat traduit la dépendance de la constante
de vitesse de dissociation (
d
k
) avec le champ
appliqué comme suit :
( )
1!)2(
)0( )(
0
2/1
2/1
1
)4(
).(2
)(4
+==
=
=
∑
−
−
∞
=
nnLF
J
Ek Ek
n
n
d
d
L
L
L
β
β
β
β
β
β
β
β
(3)
Où : 1
J
:Fonction de Bessel exprimant la
densité de courant
1
k
, 2
k
: mobilité ionique ;
β
L
: longueur de
parcours et
β
=
(
)
)(
21
2211
kkkT kekeE +
−
(4)
2.3. Paramètres adimensionnels EHD
En EHD on utilise habituellement les
paramètres T, M, et C [8], pour les études de la
stabilité. Le paramètre C exprime la densité de
charge au niveau de l’injecteur. Le paramètre T
exprime le rapport des forces électriques sur celles
visqueuses. Il est utilisé habituellement comme
critère de stabilité. Il est l’équivalent du nombre de
Rayleigh en convention naturelle.. Le paramètre M
exprime le rapport de la mobilité ionique [7]
0
20
εφ
ρ
D
C
c
=
,
K
T
µ
εφ
0
=
,
ρ
ε
K
M1
=
(5)
En utilisant le paramètre adimensionnel C, nous
pouvons établir le régime de faible injection (C « 1)
et un régime de forte injection (C > 10). Dans le cas
d’un régime visqueux dominant, les forces
électriques et visqueuses sont du même ordre de
grandeur. Dans le cas d’une faible injection en
régime visqueux dominant, l’échange se caractérise
essentiellement par un courant Ohmique et un
faible transfert thermique.
2.4. Faible injection/ Ecoulement
visqueux dominant
On définie la densité de courant J par l’expression
de l’équation (6) , où le premier terme exprime la
conduction , le second la convection et enfin le
troisième
la mobilité ionique. Dans le cas d’une faible
injection le terme de la conduction est nul. D’autre
part tout prés de l’électrode le terme de convection
est nul. Ainsi la densité de courant prend la
forme (7)
EKEJ
cc
r
r
r
r
ρµρσ
++=
(6
)
D
KJ
c0
00
φ
ρ
=
r
(7)
ν
φ
ν
0
2
1
)(Re K
TC
uD
VISCEHD
≈=
−
(8)
2.5. Cas d’un gradient de température
de l’équation de l’énergie nous procédons à des
simplifications pour aboutir à l’équation :
QK
t
c
eq
=+
∂
∂
θ
θ
(9)
2.5.1. Etat transitoire
par un changement de variable
τ
=
eq
K
C
on a
eq
K
Q
t−=
θ
(
)
τ
/
log
0
t
t
t
t
−
∆
=
∆
(10)
3. Résultats
Les résultats expérimentaux son représentés sous
forme de courbes. (Voir figure ci-dessous)
4. Discussion et interprétation
Du point de vue de transfert de la quantité scalaire,
le problème de l’injection unipolaire peut être
identifié au problème de Rayleigh Bénard quand
les paquets chauds et froids de l’advection du fluide
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augmentent l’échange de chaleur. Ici le mouvement
convective électrique génère l’extradition des
paquets hautement chargés dans des colonnes et le
retour des paquets faiblement chargés.
Une propriété fondamentale d’un mouvement
convective stable induit par l’injection uniforme
d’une électrode plane dans un fluide d’une valeur
assez élevée de M (>3), est que son amplitude
(vitesse maximum du fluide) est toujours plus
grande que la vitesse moyenne du mouvement
KV/d des porteurs de charges. Par conséquent, le
flux liquide peut entraîner les porteurs de charge
contre les forces exercées par le champ électrique
sur eux et empêche les charges injectées d’entrer
directement dans les colonnes de retour. Dans ces
colonnes la densité de charge prend des valeurs
inférieures que celles moyennées. Il a été montré
que cela mène à un mouvement de convection
soutenu à des valeurs basse de T ou beaucoup plus
basse que Tc critique prédit par l’analyse de
l’instabilité linéaire.
Variation du courant
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
pour plusieure puissances de chauffe
P
1
,P
2
,P
3
,P
4
B V = 20 KV
C V = 15 KV
D V = 10 KV
E V = 5 KV
F V = 0 KV
Data1C
Data1D
Data1E
Data1B
Data1F
N u s s e lt N u
Température DT °c
Cas de la variation de Nusselt en régime
stationnaire en fonction de la tension (v) et la
puissance P (w) appliquées par la variation du
courant, pour
∆
T >
∆
Tc
Les courbes de la figure montre la progression de
Nusselt par rapport à l'échelon de tension appliqué
pour une puissance de chauffe donnée. L'effet
convectif électrique est apparent par la progression
du courant, lié d'une part à l'augmentation de la
puissance de chauffe, d'autre part à la décroissance
de la différence de température :
- Le premier cas, parait évident du fait du rapport
du courant avec la mobilité selon la relation j =
KQE où K: représente la mobilité qui est fonction
directe de la température k = k0(1 +
κθ
).
- Le second cas est lié plutôt à deux étapes
successives et différentes:
A /
D'abord une phase de croissance relativement
rapide de l'ordre de quelques minutes. Durée qui est
du même ordre de grandeur de la constante de
temps (
τ
). Ce qui traduit une certaine dépendance.
B /
Ensuite une phase de croissance lente qui
correspond à quelques heures (1 à 2 jours). Cette
situation s'explique probablement par la variation
de certaines propriétés de fluides (injection,
résistivité,...).
CONCLUSION :
L’influence d’un champ électrique sur
l’augmentation des échanges thermiques est
confirmée. Nous avons mis en outre en évidence
l’existence d’un seuil critique d’instabilité
correspondant à
∆
Tc=1°C où Nusselt évolue de
façon importante et ayant l’allure d’une Gaussienne
essentiellement par rapport à la tension appliquée.
Dans le cas de l’état transitoire, nous avons
validé les approximations effectuées par les
résultats obtenus sur l’équation de la cinétique du
flux de chaleur
Nous avons enfin, observé des phénomènes
d’instabilité manifestés par les éléments
électrochimiques transportant le courant électrique.
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1
/
3
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