DM3 : PROBABILITES Exercice 1 Le nombre de personnes qui

DM3 : PROBABILITES
Exercice 1
Le nombre de personnes qui entrent dans la boulangerie de Michel entre 12h00 et 12h15 est une variable
aléatoire
X
à valeurs dans {0;1;2;3;4} dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
j
01234
P(X=j)
0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
La probabilté qu'un client entré dans cette boulangerie achète du pain est 0,6.
Soit
Y
la variable aléatoire égale au nombre de personnes ayant acheté du pain dans cette boulangerie entre
12h00 et 12h15.
1) Soit
j
et
k
dueux entiers tels que
0⩽j⩽4
et
0⩽k⩽j
.
La probabilité que , entre 12h00 et 12h15,
j
personnes entrent dans la boulangerie et
k
personnes achètent
du pain est :
P((X=j)∩(Y=k))=PX=j(Y=k)P(X=j)
.
Or, l'énoncé donne
P(X=j)
, donc il reste à déterminer
PX=j(Y=k)
, c'est-à-dire la probabilité que
k
personnes achètent du pain sachant que
j
personnes sont entrées dans la boulangerie.
Pour chaque personne entrée dans la boulangerie, il y a deux issues : elle achète ou elle n'achète pas de pain.
Donc, le fait qu'une personne entre dans la boulangerie est une épreuve de Bernoulli, pour laquelle on
appelle « succès » l'issue « la personne achète du pain », dont la probabilité est 0,6, et « échec » l'issue
contraire, dont la probabilité est alors 0,4.
Dans ces conditions, compter le nombre de personnes achetant du pain parmi les
j
personnes entrées dans
la boulangerie revient à compter le nombre de succès lors de la répétition ,
j
fois, de cette épreuve de
Bernoulli de paramètre 0,6, et ceci de façon indépendante, ce qui constitue un schéma de Bernoulli.
L'indépendance vient de l'hypothèse faite dans ce modèle que le fait qu'un client achète du pain n'influence
pas un autre client dans son choix.
On en déduit que la variable aléatoire
Y
qui compte le nombre de personnes achetant du pain parmi les
j
personnes entrées dans la boulangerie suit une loi binomiale de paramètres
j
et 0,6.
D'où :
PX=j(Y=k)=
(
j
k
)
×0,6k×0,4 j−k
.
Ainsi :
P((X=j)∩(Y=k))=
(
j
k
)
×0,6k×0,4j−k×P(X=j)
.
On a alors les probabilités des événements
(X=j)∩(Y=k)
dans le tableau ci-dessous :
X=j
Y=k
01234
0 0,1 0,08 0,064 0,0128 0,00256
1 0,12 0,192 0,0576 0,01536
2 0,144 0,0864 0,03456
3 0,0432 0,03456
4 0,01296
2) Entre 12h00 et 12h15 le nombre de personnes entrant dans la boulangerie est compris entre 0 et 4, on peut
donc appliquer la formule des probabilités totales :
∀k
∈{0;1;2;3;4},
P(Y=k)=∑
j=0
j=4
P((X=j)∩(Y=k))
. La loi de
Y
est donc :
k
01234
P(Y=k)
0,25936 0,38496 0,26496 0,07776 0,01296

Exercice 2
Lors d'une campagne de vaccination, le quart d'une population a été vaccinée contre une maladie
contagieuse.
Au cours d'une épidémie de cette maladie, une équipe de médecins constate qu'il y a, parmi les malades, 9
vaccinés pour 92 non vaccinés. De plus, on sait que sur 100 personnes vaccinées, 18 sont malades.
On rencontre par hasard un individu de cette population.
Quelle est la probabilité que cet individu soit malade sachant qu'il n'est pas vacciné ?
Que pensez-vous de cette campagne de vaccination ?
L'expérience aléatoire consite à rencontrer au hasard un individu de cette population, la loi sous-jacente est
donc une loi uniforme.
On nomme M l'événement « l'individu rencontré est malade » et V l'événement « l'individu rencontré est
vacciné ».
D'après l'énoncé, on a :
P(V)= 1
4
,
PM(V)= 9
9+92=9 101
et
PV(M)= 18
100
.
On obtient alors :
PV(M)= P
(
M∩V
)
P
(
V
)
=PM
( V ) P(M)
1−P(V)=(1−PM(V))P(M) 1−P(V)
et :
P(M)=P(M∩V)
PM(V)=PV(M)P(V) PM(V)
d'où :
PV(M)= (1−PM(V)) PV(M)P(V)
(1−P(V)) PM(V)=
(
1−9
101
)
×18
100 ×1 4
(
1−1
4
)
×9
101
=
92
101×18 100×1 4
3
4×9 101
=92×18
3×9×100 =23×2 3×25 =46 75
La probabilité qu'un individu de cette population rencontré par hasard soit malade sachant qu'il n'est pas
vacciné est
46
75
, c'est-à-dire environ 61%.
Ainsi, une personne vaccinée a 18% de risques d'être malade alors qu'une personne non vaccinée a 61% de
risques de l'être, soit un risque environ 3,5 fois plus grand.
Cette campagne de vaccination est donc efficace.