Théor`eme 1 Soit A une partie d`un espace topologique (E, T ). Alors

Th´eor`eme 1
Soit Aune partie d’un espace topologique (E, T).
Alors la topologie induite TAsur Apar Test la topologie la moins fine qui rende
l’injection i: (A, TA)−→ (E, T) continue.
Preuve
–Il faut montrer que iest continue :
Soit V∈ T . On a i−1(V) = {x∈A , i(x) = x∈V},
d’o`u i−1(V) = V∩Aet i−1(V)∈ TA.
iest bien continue.
–Il faut montrer que toute topologie induite sur Apar Test plus fine que TA.
Comme TAest la seule topologie induite sur Apar Talors c’est bien la plus
fine.
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