L.E.G.T.A. Le Chesnoy D. Blottière TB2 − 2010-2011 Mathématiques Notes sur les nombres complexes et la trigonométrie Table des matières 1 Trois aspects des nombres complexes 2 2 Passage d’un aspect à l’autre 2 3 Formules de trigonométrie et propriétés de θ 7→ eiθ 2 4 Conjugaison complexe 3 5 Nombres complexes et vecteurs du plan 4 6 Propriétés du module 4 7 Propriétés de l’argument 4 8 Remarque sur la forme trigonométrique d’un produit ou d’un quotient 4 9 Formules de Moivre et formules d’Euler 5 10 Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels 5 11 Somme et produit des racines d’un trinôme du second degré 6 12 Équations trigonométriques 6 1 1 Trois aspects des nombres complexes → − On fixe un repère (O; − u ,→ v ) du plan et on oriente le plan dans le sens direct. Un nombre complexe z a trois aspects distincts (forme algébrique, forme trigonométrique, interprétation géométrique) et pourtant très liés. Forme algébrique : Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme z = a + ib, avec a, b ∈ R. a est appelé partie réelle de z et b partie imaginaire de z. Forme trigonométrique : Tout nombre complexe z non nul s’écrit de façon unique sous la forme z = reiθ , où r ∈ R+∗ et θ ∈] − π; π]. eiθ est défini par l’égalité eiθ = cos(θ) + i sin(θ). r est appelé module de z et est noté |z|, θ est appelé argument de z et est noté arg(z). Interprétation géométrique : À chaque point M du plan, on fait correspondre un unique nombre complexe z, appelé affixe de M . De plus, tout nombre complexe est l’affixe d’un unique point du plan. 2 Passage d’un aspect à l’autre Interprétation géométrique Forme algébrique : z = x + iy, avec x et y réels Point M d’affixe z b y M x est l’abscisse de M y est l’ordonnée de M r= r x = r cos(θ) y = r sin(θ) θ − → v b O − → u √ a2 + b 2 θ est solution dans ] − π; π] de a a = cos(θ) = 2 a + b2 r sin(θ) = x r = OM −−→ → θ = (− u ; OM ) [2π] a b = a2 + b 2 r Forme polaire : z = reiθ , avec r un réel positif et θ dans ] − π; π] Remarque : Pour déterminer la forme trigonométrique d’un nombre complexe donné sous forme algébrique, π π π π il est utile de bien connaı̂tre les valeurs des cosinus et sinus des angles remarquables (e.g. : , , , ) ou de 2 3 4 6 savoir les retrouver à l’aide du cercle trigonométrique. 3 Formules de trigonométrie et propriétés de θ 7→ eiθ Conséquences de la définition de cosinus et sinus 1. ∀ θ ∈ R −1 ≤ cos(θ) ≤ 1 et 3. ∀ θ ∈ R cos(−θ) = cos(θ) et 2. ∀ θ ∈ R, k ∈ Z 4. ∀ θ ∈ R −1 ≤ sin(θ) ≤ 1 cos(θ + 2kπ) = cos(θ) 2 2 cos (θ) + sin (θ) = 1. et sin(θ + 2kπ) = sin(θ) sin(−θ) = − sin(θ) Formules d’addition 1. ∀ θ1 , θ2 ∈ R cos(θ1 + θ2 ) = cos(θ1 ) cos(θ2 ) − sin(θ1 ) sin(θ2 ) 2 2. ∀ θ1 , θ2 ∈ R 3. ∀ θ1 , θ2 ∈ R 4. ∀ θ1 , θ2 ∈ R cos(θ1 − θ2 ) = cos(θ1 ) cos(θ2 ) + sin(θ1 ) sin(θ2 ) sin(θ1 + θ2 ) = sin(θ1 ) cos(θ2 ) + cos(θ1 ) sin(θ2 ) sin(θ1 − θ2 ) = sin(θ1 ) cos(θ2 ) − cos(θ1 ) sin(θ2 ) Formules de duplication 1. ∀ θ ∈ R cos(2θ) = cos2 (θ) − sin2 (θ) 2. ∀ θ ∈ R sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ) Les formules de duplication se déduisent des formules d’addition (en posant θ = θ1 = θ2 dans la formule ad hoc). Transformation d’un cosinus en sinus et réciproquement π − θ = sin(θ) 1. ∀ θ ∈ R cos π2 2. ∀ θ ∈ R sin − θ = cos(θ) 2 Ces formules de transformation peuvent se déduire des formules d’addition (en posant θ1 = la formule ad hoc). On peut les retrouver en utilisant le cercle trigonométrique. π et θ2 = θ dans 2 Propriétés de θ 7→ eiθ 1. ∀ θ1 , θ2 ∈ R eiθ1 .eiθ2 = ei(θ1 +θ2 ) . 2. ∀ θ ∈ R, n ∈ Z (eiθ )n = einθ . Remarque : La formule 1 ci-dessus se déduit directement des formules d’addition. eiθ1 .eiθ2 4 (définition de eiθ1 et eiθ2 ) = (cos(θ1 ) + i sin(θ1 ))(cos(θ2 ) + i sin(θ2 )) = [cos(θ1 ) cos(θ2 ) − sin(θ1 ) sin(θ2 )] + i[cos(θ2 ) sin(θ1 ) + cos(θ1 ) sin(θ2 )] = cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ) = ei(θ1 +θ2 ) (formules 1 et 3 de duplication) (définition de ei(θ1 +θ2 ) ) Conjugaison complexe Définition : Soit z = a + ib un nombre complexe, avec a, b ∈ R. Le conjugué de z, noté z, est le nombre complexe défini par z = a − ib. Propriétés algébriques de la conjugaison 1. ∀ z ∈ C z = z si z ∈ R, en particulier 0 = 0 et 1 = 1. z = z. 2. ∀ z ∈ C 3. ∀ z1 , z2 ∈ C z1 = z2 ⇐⇒ z1 = z2 z1 + z2 = z1 + z2 . 4. ∀ z1 , z2 ∈ C 5. ∀ z1 , z2 ∈ C z1 .z2 = z1 .z2 . z1 z1 = . 6. ∀ z1 ∈ C, z2 ∈ C∗ z2 z2 ∗ n n 7. ∀z ∈ C , n ∈ Z z = (z) . 8. ∀ θ ∈ R eiθ = e−iθ . Caractérisation des réels et des imaginaires purs 1. ∀ z ∈ C z ∈ R ⇐⇒ z = z. 2. ∀ z ∈ C z imaginaire pur (i.e. z = ib où b ∈ R) ⇐⇒ −z = z. Conjugaison et symétrie par rapport à l’axe des abscisses Soit M un nombre complexe d’affixe z. Alors le point du plan d’affixe z est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses. 3 5 Nombres complexes et vecteurs du plan → Définition (affixe d’un vecteur) : Soit − w un vecteur du plan et soient A et B deux points du plan tels que −−→ − → → − AB = w . On note zA et zB les affixes respectives de A et B. L’affixe de − w , notée z→ w , est le nombre complexe défini par − z→ w = zB − zA . Ce nombre complexe est indépendant du choix de A et B. On a en particulier − → = zB − zA . z− AB 6 Propriétés du module Module et opérations dans C 1. ∀ z1 , z2 ∈ C |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | 2. ∀ z1 , z2 ∈ C |z1 .z2 | = |z1 |.|z2 | z1 |z1 | ∗ = 3. ∀ z1 ∈ C, z2 ∈ C z2 |z2 | ∗ n 4. ∀z ∈ C , n ∈ Z |z | = |z|n (inégalité triangulaire) Module et longueurs → − − 1. Soit − w un vecteur du plan. Alors ||→ w || = |z→ w |. −−−−→ 2. Soient M1 et M2 deux points du plan d’affixes respectives z1 et z2 , alors M1 M2 = || M1 M2 || = |z2 − z1 |. 7 Propriétés de l’argument Exemples d’arguments √ 1. arg(1) = arg(8) = arg( 2) = 0 et plus généralement arg(a) = 0 si a ∈ R+∗ √ 2. arg(−3) = arg(−9) = arg(− 13) = π et plus généralement arg(a) = π si a ∈ R−∗ π π 3. arg(i) = et arg(−i) = − 2 2 Argument et opérations dans C 1. ∀ z1 , z2 ∈ C∗ arg(z1 .z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) [2π] ∗ 2. ∀ z ∈ C , n ∈ Z arg(z n ) = n arg(z) [2π] z1 = arg(z1 ) − arg(z2 ) [2π] 3. ∀ z1 , z2 ∈ C∗ arg z2 Argument et angles − → zw 2 [2π]. → z− w 1 2. Soient A, B, C des pointsdu plan, tels que A = 6 B et A = 6 C, d’affixes respectives zA , zB , zC . Alors zC − zA −−→ −→ (AB; AC) = arg [2π]. zB − zA → et − → deux vecteurs non nuls d’affixes respectives z−→ et z−→ . Alors (− →; − → 1. Soient − w w w 1 2 1 w2 ) = arg w1 w2 8 Remarque sur la forme trigonométrique d’un produit ou d’un quotient Si z1 et z2 sont des nombres complexes non nuls ayant comme formes polaires z1 = r1 eiθ1 et z2 = r2 eiθ2 , alors • la forme polaire de z1 z2 est r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) , 1 1 est e−iθ2 , z2 r2 r1 z1 est ei(θ1 −θ2 ) . • donc la forme polaire de z2 r2 • la forme polaire de La forme polaire est bien adaptée aux problèmes qui comportent des multiplications ou des divisions de nombres complexes. 4 9 Formules de Moivre et formules d’Euler Formules de Moivre 1. ∀ θ ∈ R, n ∈ Z 2. ∀ θ ∈ R, n ∈ Z (cos(θ) + i sin(θ))n = cos(nθ) + i sin(nθ) (cos(θ) − i sin(θ))n = cos(nθ) − i sin(nθ) Formules d’Euler 1. ∀ θ ∈ R 2. ∀ θ ∈ R eiθ + e−iθ 2 eiθ − e−iθ sin(θ) = 2i cos(θ) = Toutes ces formules se déduisent immédiatement des relations eiθ = cos(θ) + i sin(θ) et (eiθ )n = einθ , où θ ∈ R, n ∈ Z. Une application des formules d’Euler : la linéarisation de polynômes trigonométriques Les formules d’Euler permettent de linéariser des produits du type cosn (θ), sinm (θ) ou cosn (θ) sinm (θ), où θ ∈ R, n, m ∈ N, c’est-à-dire de les transformer en somme de termes du type a cos(αθ) ou b sin(βθ), où a, b, α, β ∈ R. Ces transformations sont particulièrement précieuses dans la recherche de primitives. Exemple de linéarisation : cos4 (θ) 10 eiθ + e−iθ 2 4 = = 1 iθ (e + e−iθ )4 24 = 1 i4θ (e + 4ei2θ + 6 + 4e−i2θ + e−i4θ ) 24 = 1 i4θ (e + e−i4θ + 4(ei2θ + e−i2θ ) + 6) 24 = 1 (2 cos(4θ) + 4 × 2 cos(2θ) + 6) 24 = 1 1 3 cos(4θ) + cos(2θ) + . 8 2 8 (formule d’Euler) (formule du binôme) (formule d’Euler) Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels Théorème (solution(s) dans C de ax2 + bx + c = 0) Soit un trinôme du second degré à coefficients réels ax2 + bx + c (avec a, b, c ∈ R et a 6= 0 donc), et soit ∆ = b2 − 4ac son discriminant. • Si ∆ = 0, alors l’équation ax2 + bx + c = 0 a une unique solution : − b . 2a √ √ −b − ∆ −b + ∆ • Si ∆ > 0, alors l’équation ax + bx + c = 0 a deux solutions réelles : et . 2a 2a √ −b − i −∆ 2 et • Si ∆ < 0, alors l’équation ax + bx + c = 0 a deux solutions complexes conjuguées : 2a √ −b + i −∆ . 2a √ 3 1 2 Application : L’équation x + x + 1 = 0 a deux solutions dans C : j = − + i et j. 2 2 2 5 11 Somme et produit des racines d’un trinôme du second degré Théorème : Soit ax2 + bx + c un trinôme du second degré à coefficients réels. On a l’équivalence : (x1 et x2 sont solutions de ax2 + bx + c = 0) ⇐⇒ (x1 + x2 = − b c et x1 x2 = ). a a Deux applications 1. Connaissant une racine de ax2 + bx + c = 0 (par exemple une de c et a. ≪ évidente ≫), on en déduit l’autre, à l’aide Exemple : On remarque que 1 est solution de 2x2 + 43x − 45 = 0. Comme le produit des racines vaut 45 45 − , on en déduit, sans calcul, que − est l’autre racine. 2 2 x1 + x2 = S 2. Résolution de systèmes du type d’inconnue (x1 , y2 ), où S et P sont des réels donnés. x1 x2 = P x1 + x2 = S D’après le théorème, x1 et x2 sont solutions de si et seulement si x1 et x2 sont racines x1 x2 = P 2 de x − Sx + P . On est donc ramené à résoudre une équation du second degré à coefficients réels, ce que l’on sait faire. Exemple : 12 x1 + x2 = 15 x1 x2 = 26 ⇐⇒ x1 et x2 solutions de x2 − 15x + 26 = 0 ⇐⇒ (x1 = 2 et x2 = 13) ou (x1 = 13 et x2 = 2). Équations trigonométriques Cas d’égalité de cosinus, cas d’égalité de sinus Soient x et a deux nombres réels. x = a [2π] 1. cos(x) = cos(a) ⇐⇒ ou x = −a [2π] 2. sin(x) = sin(a) ⇐⇒ x = a [2π] ou x=π−a [2π] Ces résultats peuvent se retrouver à l’aide du cercle trigonométrique. Étude de l’équation a cos(x) + b sin(x) = c, avec a, b, c ∈ R, avec a et b non nuls, d’inconnue x dans R. • Méthode On introduit le nombre complexe z = a + ib que l’on écrit sous forme trigonométrique : z = reiθ . – En pratique, on peut souvent déterminer θ explicitement, mais pas toujours. Si on ne peut pas, on continue la résolution en gardant simplement θ, défini comme étant l’argument de z. – On a donc a = r cos(θ) et b = r sin(θ). a cos(x) + b sin(x) = c ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ 6 b c a cos(x) + sin(x) = r r r c cos(θ) cos(x) + sin(θ) sin(x) = r c cos(x − θ) = r c En pratique, est souvent une valeur remarquable de cosinus et on est donc ramené à un cas d’égalité de r deux cosinus, que l’on sait traiter. • Exemple : Résolution de √ √ √ 6 cos(x) + 2 sin(x) = 2. On introduit le nombre complexe z = √ |z| = 2 2 √ √ √ 6 + i 2 et on l’écrit sous forme trigonométrique. ! √ √ √ π i 3 et z=2 2 = 2 2ei 6 . + 2 2 √ √ 6 cos(x) + 2 sin(x) = 2 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ L’ensemble des solutions de √ √ √ 6 2 2 cos(x) + sin(x) = |z| |z| π |z| 1 π cos(x) + sin sin(x) = cos 6 6 2 π π cos x − = cos 6 3 π π [2π] x− = 6 3 ou π π [2π] x− =− 6 3 π x= [2π] 2 ou π x=− [2π] 6 √ √ √ 6 cos(x) + 2 sin(x) = 2 est donc o n π o nπ + 2kπ; k ∈ Z ∪ − + 2kπ; k ∈ Z . 2 6 7