1 – Enonc - The General Science Journal

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1!
Une illustration simple de la nécessité d’un lien
entre thermodynamique et relativité
!
Jean'Louis!Tane!([email protected]),!novembre!2012!
Ancien!membre!du!département!de!géologie,!Université!Joseph!Fourier,!Grenoble,!France!
!
Résumé& :& Cet! article!est!une!traduction!française,! revue! et! complétée,!d’un!texte!récemment! publié! en!
anglais!dans!le!même!journal!(octobre!2012).!L’objectif!visé!est!de!montrer!que!la!relativité!'!à!travers!la!
relation!masse'énergie!d’Einstein!'!est!indispensable!à!l’interprétation!thermodynamique!d’un!processus,!
même!lorsque!celui'ci!semble!extrêmement!simple.!
&
Mots+Clés!:!Thermodynamique,!réversibilité,!irreversibilité,!énergie,!entropie,!relativité,!relation!
d’Einstein!
&
Abstract:! ! This! article! is! a! French! translation,! revisited! and! completed,!of!a!text!recently! published! in!
English!in!the!same!journal!(October!2012).!The!aimed!objective!is!to!show!that!relativity!'!through!the!
Einstein!mass'energy!relation!–!is!indispensable!to!the!thermodynamic!interpretation!of!a!process,!even!
when!this!last!one!seems!extremely!simple.!
Keywords: Thermodynamics, reversibility, irreversibility, energy, entropy, relativity, Einstein’s relation!
!
+&1&–&Enoncé&du&problème&&
&
Le contexte auquel nous nous référons est schématisé par la figure 1. Le système pris en
considération est un gaz (gris clair) contenu dans un cylindre équipé d’un piston mobile
(noir). Nous supposons que le cylindre est adiabatique et le piston également et notre objectif
est l’interprétation thermodynamique du processus qui consiste, pour le gaz, à passer de l’état
1 à l’état 2. Le changement d’état est dû à une charge complémentaire déposée sur le piston,
par exemple un petit tas de sable (gris foncé), dont la conséquence est que la pression
extérieure Pe, puis la pression intérieure Pi, passent de la valeur initiale P1 à la valeur finale P2.
!
!!!!!!!!!!!!!!Fig.&1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Etat!1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Etat!2!!
Le sable peut être déposé sur le piston très rapidement ou au contraire très progressivement,
de sorte que le niveau d’irréversibilité du processus n’est pas le même dans tous les cas. Mais
en vertu du premier principe de la thermodynamique, la variation d’énergie interne du gaz,
notée
€
ΔU1
2
, est censée avoir toujours la même valeur. Cette proposition est classiquement
transcrite sous la forme :
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
€
ΔU1
2
irr = ΔU1
2
rev
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1)!

!
2!
!
ou,!en!notation!différentielle!:!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
€
dU1
2
irr = dU1
2
rev
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2)
qui signifie implicitement que dU est une différentielle exacte.
Par définition, la variation d’énergie interne dU est la somme des différents types d’énergie
susceptibles d’intervenir dans le contexte expérimental pris en compte. Les plus fréquemment
évoqués étant la chaleur (dQ) et le travail (dW), le terme dU apparaît souvent sous la forme :
dU = δQ + δW (3)!
!
où!les! symboles!δ!traduisent!le!fait!que!les! termes!δQ et δW, contrairement à ce qui est
admis pour dU, ne sont pas nécessairement des différentielles exactes.
Comme le cylindre et le piston sont supposés adiabatiques, nous avons ici δQ = 0. Au regard
de l’équation 3, nous sommes donc dans un cas particulier correspondant à la condition :
δW = dU (4)!
!
avec la conséquence que le terme δW apparaît lui-même comme une différentielle exacte.
Du point de vue thermodynamique, ceci veut dire que δW peut être écrit dW et doit obéir à la
relation :
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!dWirr =!dWrev!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(5)!
!!!!!!!!
Parmi les outils de base de la physique figurent la relation bien connue :
dW = - PedV (6)!
!
qui!définit!le!travail!reçu!ou!fourni!par!un!système!dont!le!volume!varie!d’une!quantité!
dV!sous!l’effet!d’une!pression!extérieure!Pe.!On peut observer que les eq. 5 and 6 ne sont
pas totalement compatibles l’une avec l’autre et la raison en est la suivante :!
!
En!conditions!d’irréversibilité,!correspondant!à!Pe!≠!Pi,!nous!avons!effectivement!:!
!
dWirr = - PedV (7)
En!conditions!de!réversibilité,!correspondant!à!Pe!=!Pi,!l’éq.!6!prend!la!forme:!
!
! ! ! ! ! !!!!!dWrev = - PidV (8)!
!
de!sorte!qu’il!y!a!une!différence!entre!dWirr!et!dWrev.
Pour une valeur déterminée de dV, cette différence peut être écrite :

!
3!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!dWirr!'!dWrev!=!dV!(Pi!'!Pe)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(9)!
!
c’est'à'dire!:!
!
! ! ! ! ! !!!!!!!!dWirr!=!dWrev!+!dV!(Pi!'!Pe)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(10)!
!
Si! nous! nous! référons! à! la! représentation! schématique! donnée! plus! haut! (fig.! 1),! nous!
concevons!aisément!que!dV!prend!une!valeur!négative!quand!on!a!Pi!<!Pe!et!une!valeur!
positive!quand!on!a!Pi!>!Pe.!Il!en!résulte!que!le!produit!dV(Pi!'!Pe)!est!lui'même!toujours!
positif,!ce!qui!conduit!à!la!conclusion!:!
!
! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!dWirr!>!dWrev!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(11)!
!
Comparé à l’éq. 4, ce résultat signifie que dans le contexte expérimental qui est pris en
compte ici, le terme dU obéirait lui-même à la condition :
! ! ! ! ! !!!!dUirr!>!dUrev!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(12)!
!
Comme! on! peut! le! constater,! l’équation! 12! est!en!désaccord!avec!l’interprétation!
conventionnelle! du! premier! principe! de! la! thermodynamique,! c’est'à'dire! avec! la!
formulation!donnée!par!l’équation!2.!Nous!sommes!donc!confrontés!à!un!problème!qui!
touche!à!la!cohérence!de!la!théorie.
A première vue, il semble difficile d’imaginer qu’une analyse aussi simple que celle qui vient
d’être présentée puisse remettre en cause la validité du premier principe. Nous pouvons être
tentés de penser que la condition dQ = 0, évoquée plus haut est une simplification inadéquate,
attendu que les propriétés adiabatiques d’un dispositif expérimental sont généralement
limitées dans le temps et que le processus qui est examiné ici peut se terminer par un réel
échange de chaleur entre le gaz et l’extérieur. Dans le cas présent, cet échange s’expliquerait
par le fait que, lors du passage de l’état 1 à l’état 2, le gaz subit une compression qui
augmente sa température, générant le besoin, pour lui, d’évacuer de la chaleur vers
l’extérieur, dont la température est supposée constante. On peut alors imaginer que
contrairement à l’échange de travail qui obéit à la condition dWirr!>!dWrev (eq.11), l’échange
de chaleur serait caractérisé par la condition dQirr < dQrev, et que les deux différences se
compensant exactement, on arriverait au résultat final dUirr = dUrev tel qu’il est prévu par la
formulation habituelle du premier principe (eq. 1 et 2).
En fait - et bien que cette donnée ne soit pas considérée comme ayant une valeur générale - un
échange de chaleur entre un système et son environnement est toujours caractérisé par la
condition dQirr > dQrev. La raison de cette situation est directement liée au deuxième principe
de la thermodynamique, ainsi qu’au concept de variation d’entropie classiquement noté dS.
Dans les manuels de physique, le deuxième principe est souvent introduit à travers
l’expression : !
!
! ! ! ! ! !!!!dS!=!dQ/T!!+!dSi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(13)!
!
dont!la!signification!précise!est!:!
!
! ! ! ! ! !dS!=!dQrev!/Te!+!dSi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(14)!

!
4!
!
!
Cette! équation! ayant! la! dimension! d’une! entropie,! l’équation! énergétique! qui! lui!
correspond!est!:!
!
! ! ! ! !!!!!!!!!!!!TedS!=!dQrev!+!TedSi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(15)!
!
dont!la!signification!est!:!
!
! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!dQirr!=!!dQrev!+!TedSi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(16)!
!
Sachant! que! le! terme! dSi!est!toujours!positif!(information! fondamentale! associée! au!
deuxième!principe)!et!le!terme!Te!également!(température!absolue),!le!produit!TedSi!est!
lui'même!toujours!positif.!
!
Par!voie!de!conséquence,!les!termes!dQirr!and!dQrev!sont!liés!entre!eux!par!la!relation:!
!
!! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!dQirr!>!!dQrev!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(17)!
!
Il!ressort!de!cette!constatation!que!lorsque!la!prise!en!considération!de!dQ!est!ajoutée!à!
l’analyse!thermodynamique!du!processus!auquel!nous!nous!intéressons!ici,!le!problème!
qui!a!été!soulevé!avec!l’équation!12,!non!seulement!n’est!pas!résolu,!mais!se!trouve!au!
contraire!renforcé!puisque!la!différence!!entre!dUirr!and!dUrev!en!ressort!accentuée.!
!
+&2&+&Bref&retour&sur&la&solution&suggérée&pour&résoudre&le&problème!
!
En!observant!que!l’équation!12!peut!être!écrite!sous!la!forme!:!!!
!
! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!dUirr,syst!!=!!dUrev,syst!+!dUadd!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(18)!
!
et!en!admettant!que!la!signification!réelle!de!l’équation!entropique!14!est!celle!donnée!
par!les!équations!énergétiques!15!et!16,!nous!voyons!que!le!terme!dUadd!représente!une!
énergie!additionnelle!qui!apparaît! exclusivement!en! conditions!d’iiréversibilité! et!dont!
la!valeur!est!toujours!positive.!!
!
Ainsi!qu’il!a!été!suggéré!dans!des!articles!précédents!(Ref.![1],![2]!and![3]!mentionnées!
en! bibliographie),! l’origine! de! cette! énergie! semble! liée! à! la! relation! masse'énergie!
d’Einstein!E!=!mc2.!Cela!revient!à!dire!que!tout!processus!irréversible!génèrerait,!au!sein!
du! système! auquel! il! se! réfère,! une! énergie! qui! serait! due! à! une! corrélative!
désintégration!de!matière.!Bien!que!la!variation!de!masse,!dans!la!majorité!des!cas,!soit!
trop! faible! pour! être! détectable,! l’augmentation! d’énergie! qui! lui! correspond! apparaît!
comme!un!phénomène!général!qui!donnerait!au!terme!dUadd.syst!la!signification!:!
! ! ! !
! ! ! ! ! !!!!dUadd.syst!=!'!c2dm!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(19)!
!
et!à!l’équation.!18!la!signification!:!
! ! ! ! ! !!!
! ! ! ! ! !!!!dUirr!=!dUrev!!!'!c2dm!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(20)!
!

!
5!
Dans!les! équations!19!and! 20,!le!signe!moins!placé! devant!le!terme! c2dm!apparaît!lui'
même! comme! une! condition! nécessaire! pour! donner! au! terme! dUadd.syst!une!valeur!
positive.! La! procédure! est! identique! à! celle! qui! est! classiquement! utilisée! pour! les!
équations!6!et!8,!où!l’introduction!du!signe!moins!permet!de!donner!au!terme!dW!une!
valeur!positive!quand!le!système!reçoit!du!travail!(car!on!a!alors!dV!<!0)!et!une!valeur!
négative!quand!il!produit!du!travail!(car!on!a!dV!>!0).!!
!
+&3&+&Pourquoi&une&explication&aussi&simple&n’a+t+elle&pas&été&envisagée&plus&tôt&?&&
!
! Il!y!a!probablement!deux!raisons!majeures!à!cette!situation.!
!
! La!première!est!que!la!théorie!thermodynamique!a!été!élaborée!bien!avant!que!la!
théorie!de!la!relativité!n’ait!été!connue.!Dans!ces!conditions!et!même!si!le!raisonnement!
thermodynamique!s’avérait!parfois!difficile!à!suivre,!il!était!impossible!de!lui!associer!un!
concept! emprunté! à! la! relativité! et! c’est! bien! sûr! le! cas! de! la! relation! masse'énergie!
d’Einstein.!!
!
!La!seconde!raison!est!que!malgré!les!difficultés!conceptuelles!qui!viennent!d’être!
évoquées,! l’outil! thermodynamique! s’est! toujours! avéré! efficace! au! plan! pratique.!
Comme! la! validité! d’une! théorie! se! juge! par! son! aptitude! à! être!utilisée!et!non!par!le!
degré!de!facilité!avec!lequel!on!peut!la!comprendre,! il! n’y! avait! pas! lieu! de!considérer!
que!la!théorie!thermodynamique!avait!besoin!d’être!reformulée.!
!
! A!ces!deux!raisons!majeures!se!sont!ajoutées!quelques!circonstance!annexes!qui!
ont!pu!contribuer!à!masquer!le!problème.!
!
!L’une!d’elle!provient!du! fait!que! la!comparaison!entre!les!termes! dWrev!et!dWirr!
est! souvent! établie! selon! une! convention! qui! n’est! pas! celle! des! thermodynamiciens,!
mais!celle!des!ingénieurs.!Ellle!consiste!à!dessiner!des!diagrammes!qui!ne!représentent!
pas! la! fonction! dW! =! '!P
edV,! mais! la! fonction! dW! =! PedV.! Cela! conduit! à! compter! un!
travail!comme!positif!non!pas!quand!il!est!gagné!par!le!système,!mais!quand!il!est!gagné!
par!l’expérimentateur.!Par!voie!de!conséquence,!les!termes!dWirr!et!dWrev!prennent!les!
significations! respectives! dWirr!=!P
e!dV!et!dW rev! =! PidV.! Il! en! résulte! que! la! différence!
dWirr!'!dWrev!prend!elle'même!la!forme!dV(Pe!–!Pi)!dont!la!valeur!est!négative!et!aboutit!
à!la!conclusion!dWrev!>!dWirr.!!D’une!manière!plus!générale,!la!convention!des!ingénieurs!
conduit! assez! fréquemment! les! auteurs! qui! l’utilisent! à! donner! à! l’équation! 3! la!
formulation!dU = δQ - δW, où le signe moins évoque de façon indirecte le fait qu’un travail
fourni par le système (donc perdu par lui) est gagné par l’expérimentateur.!
!
! Sur! un! diagramme! PV! (fig.! 2)! les! graphes! établis! selon! cette! convention! sont!
situés! au! dessus! de! la! courbe! des! abcisses! (axe! représentant! le! volume)! alors! que! les!
graphes! établis! selon! la! convention! des! thermodynamiciens! doivent! être! situés! au!
dessous.!!
!
! A!titre!d’exemple,!la!figure!2!donne!une!illustration!de!ce!qui!se!passe!quand!le!
sable! qui! a! été! déposé! sur! le! piston! est! retiré.! Si! le! retrait! du! sable! est! brutal!
(irréversibilité),! la! pression! extérieure! Pe! passe! immédiatement! de! la! valeur! P2!à!la!
valeur! P1! qu’elle! avait! initialement! et! elle! la! conserve! tout! au! long! du! processus! de!
remontée!du!piston.!L’intégrale!de!la!fonction!dWirr!=!!Pe!dV!(convention!des!ingénieurs)!