Matière et rayonnement

BIOPHYSIQUE – Cours 06, 07 et 08
Pr. PERETTI
06 – 13 et 20/03/07
MATIÈRE ET RAYONNEMENTS
Généralités
Matière
Assemblage ± ordonné d'atomes, d’ions, de molécules
source d'émission ou d'absorption de rayonnement
Atome
Noyau (neutrons et protons) + électron
Molécule
Résulte de l'interaction entre plusieurs atomes
Ordre de grandeur
Atome
0,1 nm = 1 Ǻ (1 nm = 10-9 m)
Noyau
1 Fermi
(1 F = 10-15 m)
A - ORIGINE DES RAYONNEMENTS : ATOMES ET NOYAUX
I.
LES ATOMES
 noyau et les électrons périphériques
 charge électronique totale nulle : nombre de protons= nombre d'électrons
Charge élémentaire
Masse de l'électron
e ou qe = 1,6 . 10 -19 C
Me = 0,91 . 10 -30 kg
A
Z
A : nombre de masse
Z : numéro atomique
X ou X (A,Z)
Éléments isobares : même A
Éléments isotopes : même Z
(exception :3 noms ≠)
-
14
6
C et
14
7N
2
3
H
1
1H
1H
Hydrogène deutérium tritium
234
235
236
92U
92U
92U
1
système d'unités de masse et d'énergie
Unités SI
Autres unités
basées sur deux relations
Energie en Joule
Masse en kg
Ep = q.V
E0 = m.c2
Lie le potentiel V et l’énergie potentielle E
Équivalence masse / énergie
=> Relation d'Einstein
c = vitesse limite en relativité restreinte
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1 eV = 1,60.10-19 J
Ep = qV ; ddp = 1V ; qe = 1,6.10 -19 C
Unités dérivées :
1 keV = 103 eV
1 Mev = 106 eV
1 Gev = 109 eV
Unité de masse :
Le MeV / c2
E0 = m.c2
Ex :
masse de l'électron :
me c2 = 0,9. 10-30 (kg)x (3.108)2 (m/s)2 => J
Unité d'énergie :
l'électron volt
me c2 =
0,9. 10-30 (kg)x (3.108)2 (m/s)2
1,60.10-19 (J/eV) x 106 (eV/MeV)
=> MeV
me = 0,511 MeV/ c2 = 511 KeV/ c2
2ème système d'unités
Unité de masse atomique (uma)
1 uma = 1,66.10 -27 kg
1 uma = 1/12 de la masse de l'atome 1 uma = 931,5 MeV/c2
de carbone 12
Quelques ordres de grandeur d'énergie exprimée en Joule
Big-bang
Énergie solaire incidente sur la surface de la Terre
Énergie libérée par la combustion d'1 l d'essence
Travail d'un coeur humain par pulsation
Énergie d'un électron atomique
Énergie nécessaire pour rompre une liaison dans l'ADN
1068
5. 1024
3. 107
0,5
10-18
10-20
Quelques ordres de grandeur des énergies de liaison exprimées en eV
Def°
Énergie qu'il faut fournir pour détruire une liaison
Arracher par distillation une molécule d'alcool à l'eau
Rompre par électrolyse la liaison covalente retenant H dans H2O
Arracher un électron :
À l'atome d’H
Aux molécules des milieux biologiques
À la couche M de l'atome de tungstène
À la couche K d'un atome de tungstène
Séparer les 4 nucléons (2 protons + 2 neutrons) du noyau d'hélium
en eV :
~ 0,13
4
13
15
2 500
70 000
7.106
Niveaux d'énergie des électrons atomiques
Variation discrète
de l'énergie = non continue
- énergie quantifiée
- valeurs caractéristiques pour chaque type d'atome
Niveaux d'énergie
Répartition des électrons sur les ≠ niveaux
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Approximation
Couches électroniques* En
n=
Modèle atomique de Bohr
Principe d'exclusion de Pauli
* seulement un modèle analytique
Nombre quantique principal
Nombre entier ≥ 1
n=1 => couche K ; n=2 => L ; n=3 => M ….
Chaque couche correspond à une distance donnée rn du noyau
2 particules identiques ne peuvent pas avoir le
même ensemble de nombres quantiques
n, l, s
ml, ms (spin)
Expression approchée des niveaux d'énergie des atomes
Concerne le positionnement des électrons dans l'atome
Relation de Moseley
Z : numéro atomique
En = -E0 (Z – b)2
n2
E0 = - 13,6 eV : constante
b: constante d'écran*
nulle pour les atomes ou les ions hydrogènoïdes
* du point de vue de l'électron, l'écran est
constitué par les autres électrons « qui font
écran »
En : énergie négative
En varie comme (1/ n2)
Si n augmente => on s'éloigne du noyau
=> |En| diminue
Niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène:
Atome d’hydrogène :
1 électron=> pas d'écran=> b=0 ; Z = 1
En = -E0 / n2
n = infini => niveau d'ionisation
n>1 : États excités de l'atome, instables
durée de vie variable (en générale nanoseconde à pico seconde)
E2 = -E0 /4
E3 = -E0 /9
E4 = -E0 /16
n=1 : couche K : état fondamental de l'atome, état stable
E1 = -E0 = -13,6 eV => Longue durée de vie (Indéterminée)
n entier ≥ 1
E0 = - 13,6 eV
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Notion d'énergie de liaison
> Énergie qu'il faut fournir pour arracher l'électron de l'édifice atomique
Wn = Énergie de liaison d'un électron dans la couche n
Wn = -W0 (Z-b)2
Wn = -En => Wn + En = 0
Atome H:
W1 = +13,6 eV
W2 = 3,4 eV
=>
n2
W3 = 1,5 eV
ABSORPTION ET ÉMISSION D'ÉNERGIE PAR LA STRUCTURE ATOMIQUE DE L'ATOME
> 2 Modes d'apport d'énergie à un atome:
1. Particules matérielles incidentes entrant en collision avec l'atome
− Énergie cinétique d'une particule incidente : Eci
− La valeur de Eci doit être comparée aux valeurs des niveaux d'énergie de l'atome
2. rayonnement électromagnétique tombant sur un atome
− Tout rayonnement électromagnétique de fréquence ν peut être considéré comme
constitué d'un faisceau de particules de masse nulle appelées photons
E = h. ν
Relation de Planck-Einstein :
E : Énergie transportée par un photon
h: Constante de Planck = 6,62 . 10-34 (kg.m2.s-1 ou J.s)
λ=c/ν
=> ν = c / λ
Relation entre fréquence ν et longueur d'onde λ
c = 3.108 m/s : Vitesse de la lumière dans le vide
λ:m
E = h.c / λ
E : Joules
λ = hc / E
On peut donc exprimer la longueur d'onde (en nm) du
rayonnement en fonction de l'énergie du photon (en eV)
λ (nm) = 1240 / E (eV)
=> E (eV) = 1240 / λ (nm)
λ (m) = (6,62 . 10-34).(3.108) / E (Joules)
a) Absorption d'un rayonnement électromagnétique par l'atome
Les atomes (les ions ou les molécules peuvent absorber les radiations qu'ils sont capables
d'émettre (ou qui sont émises par d'autres sources).
Ex : lumière incidente blanche (composée d'un très grand nombre de radiations, très proches
les unes des autres)
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- Certaines radiations sont absorbées
- Passage d'un niveau d'énergie discret de l'atome (en général, l'état fondamental) à un
autre état d'énergie discret (état excité)
 Conséquences de l'absorption du point de vue de l'atome:
-
Ionisation
Ei = Wn =0 - En
E0 ≥ Wn
Ec = E0 - Wn
Un électron est lié au noyau si son énergie est négative.
Pour ioniser un atome dans son état fondamental, il faut au moins lui
donner l’énergie : énergie d’ionisation
Conditions pour éjecter un électron de la couche n
Wn = énergie de liaison de l’électron dans la couche n
E0 = énergie du photon incident
Ec = énergie cinétique de l’électron éjecté
Ejection de l’électron : apport d’énergie par
un photon incident
1- rupture de la liaison
2- départ avec énergie cinétique
− Excitation d’un électron de la couche i de l’atome
E0 < Wi
L’énergie est insuffisante pour casser totalement la liaison
Passage à une couche j plus externe => atome à l’état excité
Wi = énergie de liaison de l’électron dans la couche i
E0 = énergie du photon incident
Absorption de rayonnement de fréquence νnp
entre deux niveaux En et Ep :
| En - Ep | = h.νnp = hc / λnp
h: Constante de Planck
= 6,62 . 10-34 (kg.m2.s-1 ou J.s)
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b) Emission: fluorescence ou effet Auger
Emission d’énergie => Réarrangement du cortège électronique
-
Fluorescence
Wi < Wj
Un surplus d’énergie est emporté par le photon de
fluorescence
E = Wi - Wj
= h.νij
= hc / λij
νij = fréquence du rayonnement de
fluorescence
λij = longueur d’onde du rayonnement de
fluorescence
h: Constante de Planck = 6,62 . 10-34
(kg.m2.s-1 ou J.s)
Domaines possibles d’émission :
Lumière visible, rayons X, ultraviolets
Ensemble des radiations = spectre
-
Effet Auger
L’excès d’énergie est communiqué
à un électron qui pourra être éjecté
de l’édifice = électron Auger
Ec = (Wi - Wj)- Wx
Ec = énergie cinétique de l’électron éjecté
Wx = énergie de liaison de l’électron qui sera éjecté
Résumé pour les atomes :
Niveau d’énergie électronique
Mécanismes d’absorption d’énergie :
Mécanismes d’émission d’énergie :
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- Etats excités (instables)
- Etat fondamental (stable)
- Ionisation
- Excitation
- fluorescence
- effet Auger
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II. NOYAU
Constituants du noyau : nucléons (protons et neutrons)
Charge du proton
A
Z
X ou X (A,Z)
+ e ou qe = 1,6 . 10 -19 C
Mp = 1 836, 15 Me
A : nombre de masse = Z + N
Z : numéro atomique : Nombre de protons
Charge du neutron
0
Mn = 1 838, 68 Me
Mp ≈ Mn mais
Mp = 1,007 uma = 938,3 MeV/c2
Mn = 1,009 uma = 939,6 MeV/c2
Approximation de la masse de l'atome:
Matome = Mnoyau + Z.Me
On néglige les énergies de liaison des électrons dans l'atome
En effet, il y a des énergies de liaison dans le noyau =>
MNoyau ≠ Somme des masses des protons et des neutrons
MNoyau < Somme des masses des protons et des neutrons
Il y a un défaut de masse : ΔM
ΔM = Z.Mp +(A-Z).Mn - MNoyau
Masse des protons
masse des neutrons
Énergie de liaison totale ΔE du noyau:
ΔE = ΔMc2 =>
ΔE = Z.Mp.c2 +(A-Z).Mn.c2 - MNoyau .c2
Énergie de liaison moyenne par nucléon : L = f(A)
Dépend de la nature du noyau
ΔE / A = L
Approximativement trois régions :
1- éléments légers: Courbe croissante rapidement
Si on fusionne deux noyaux légers (ex:
deutérium), on obtient un noyau d'énergie de
liaison par nucléon plus grande => il y a libération
d'énergie
La réaction de fusion est exoénergétique. Elle
n'est valable que pour les noyaux légers (ex: projet
ITER de production d'énergie électrique à
Cadarache)
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2- éléments: 40<A<100
L ≈ constante ≈ 8 MeV / nucléon
max: Fer (A= 59,26, L= 8,8 MeV)
3- Éléments lourds : A>100
Courbe décroissante lentement ± Linéaire
Réaction de fission de noyaux lourds qui seront exo-énergétiques
Application: production d'énergie dans les réacteurs nucléaires
Stabilité des noyaux
Les nucléides (nuclides) sont stables quand :
N ≈ Z (éléments légers, Z < 20, il y a autant de protons que de neutrons)
N ≈ 1,5 Z + 10 (éléments lourds, il y a excès de neutrons)
=> les neutrons permettent de stabiliser la répulsion entre protons
Les nucléides situés en dehors de « la vallée de
stabilité » = radio éléments (= noyaux radioactifs
ou radionucléides).
La vallée de stabilité sépare 2 zones :
Zone 1 :
(N / Z) zone1 > (N / Z)vallée de stabilité
Noyau excédentaire en neutrons
Zone 2 :
(N / Z) zone2 < (N / Z)vallée de stabilité
Noyau excédentaire en protons
Niveaux d'énergie des noyaux
Analogie avec l'atome : modèle des couches du noyau
=> niveaux d'énergie quantifiés sur lesquels se répartissent les nucléons
A
Z
A
Z
Am
X
État fondamental
Énergie minimale
X*
États excités
Durée de vie courte < 10-12 s
Instables=> transformation vers un état stable
Z
X
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États métastables
Durée de vie > 10-12 s
Ex : technétium en scintigraphie
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Transition d'un état excité (initial) vers un état plus stable (final)
=> Perte d'un excès d'énergie
a) Émission de photons γ (gamma)
Eγ : Énergie du photon γ
h: Constante de Planck = 6,62 . 10-34 (kg.m2.s-1 ou J.s)
ν : fréquence de l'onde associée aux photons
Eγ = Ei – Ef = h. ν
La variation d'énergie est discontinue => le spectre d'émission est un spectre de raies.
Exemples :
60
60
28
99
99m
43
Co →
Mo →
Ni* →
Tc →
60
28
Ni + photon γ
99
43
Tc + photon γ
Il y a trois types de photons γ :
- 2 keV
- 140 KeV (scintigraphie)
- 142 MeV
b) Conversion interne
> en compétition avec l’émission de photons gamma
L’énergie excédentaire du noyau est transférée à un électron de l'atome (en général proche
du noyau, couche K ou L) qui est éjecté.
Ec = (Ei - Ef) - Wl
Ec : Énergie cinétique de l'électron éjecté :
Ei: énergie initiale de l'état excité
Ef: énergie de l'état plus stable
Wl: énergie de liaison de l'électron
(Ei - Ef) doit être suffisamment grande pour arracher l'électron et lui donner de l'énergie
cinétique.
Effets secondaires :
Perte d’un électron => lacune électronique => réarrangement du cortège électronique
- photon de fluorescence
- électron Auger
Les deux phénomènes sont en compétition.
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PRINCIPALES TRANSFORMATIONS RADIOACTIVES
Lois de base pour toutes les désintégrations :
- conservation du nombre de masse : A
- conservation de la charge électrique : Z
Principaux types de transformations radioactives
Transformations isobariques
(A identique)
-β+
-β- capture électronique
Transformations isomériques
- émission γ
- conversion interne
Transformations par partition
- émission α
- fission nucléaire
Chaque désintégration doit être caractérisée par les éléments suivants :
- noyau initial
- les différents types d'émissions avec leur E et leur %
- période de transformation
- noyaux intermédiaires
- noyau final
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A) Émission α (partition)
noyau père radioactif
A
Z
X
→
Noyau fils
stable ou non
Particule α : noyau d'hélium 4
A-4
Z-2
+
Y
4
He
2
A = (A-4) + 4
Z = (Z-2) + 2
1 particule créée => spectre d'émission sous forme de spectre de raies
Valeurs de l'énergie Ec des particules α
caractéristiques du type de noyau émetteur
Exemples :
Polonium
210
Spectre d'émission
(diminution de Z => flèche dans le sens de la variation)
Po → 20682Pb + 42He
84
Radium
226
Ra → 22286Rn + 42He
88
Le niveau excité du radon 222 se désexcite ensuite vers son état fondamental par émission
γ (0,2 MeV = 4,8 - 4,6)
Remarques :
-
charge et masse élevées
o => interactions nombreuses avec la matière
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o faible distance parcourue dans les tissus mous (~0,03 mm)
o uniquement des thérapies de contact
émission arrêtée par des écrans très légers (manipulation facile)
dangereuse en cas de contact direct ou en cas d'ingestion
-
-
B) Fission nucléaire (partition)
Transformation par partition :
- fragmentation spontanée de noyaux très lourds, en général plus lourd que l'uranium
- produit souvent des noyaux eux-mêmes radioactifs
- souvent avec émission simultanée de neutrons
- utilisée dans les réacteurs nucléaires
- pour la production d'éléments radioactifs artificiels
- (pas d’application médicale directe)
C) Désintégration β noyau père
A
Z
X
→
Noyau fils
Particule β - : électron + Antineutrino (00ν)
A
+
Y
Z+1
0
e +
-1
0
0
ν
A=A
Z = (Z+1) - 1
> Transformation d'un neutron en excédent dans le noyau :
réaction élémentaire
neutron → proton + électron + antineutrino
Exemples :
bismuth
214
Bi → 21484Po + +
83
0
-1
0
e +
ν
0
Bilans énergétiques :
1. en fonction de la masse des noyaux
l'émission β - est possible si :
M (A,Z) c2
Énergie initiale
>
M (A,Z+1) c2 + me c2
M : masse du noyau
me : masse de l'électron
Énergie du noyau fils
2. en fonction des masses atomiques
M (A, Z) = Matome (A, Z) - Z me
Noyau père
et
M (A, Z+1) = Matome (A, Z+1) – (Z+1) me
noyau fils
l'émission β - est possible si :
[Matome (A,Z) - Matome (A,Z+1)] c2 > 0
On néglige les énergies de liaison des électrons des atomes
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Énergie libérée Q
répartie aléatoirement entre électron et antineutrino : Q = Ece- + Ecν
spectre énergétique : continu variant de:
0 (quand l’antineutrino emporte toute l'énergie) à
Ece max (quand l’antineutrino n'emporte aucune énergie)
En fonction des masses des noyaux :
Ece max = [M (A, Z) - M (A, Z+1) - me ] c2
Ece max / 3 = Ece moyenne
En fonction des masses atomiques :
M (A,Z) = Matome (A, Z) - Z me
Noyau père
et
=>
M (A, Z + 1) = Matome (A, Z + 1) – (Z+1) me
noyau fils
Ece max = [Matome (A,Z) - Matome (A,Z+1)] c2
l'émission β - est possible si :
Matome (A,Z) > Matome (A,Z+1)]
On néglige les énergies de liaison des électrons des atomes
Remarques :
 Interaction avec la matière
• Antineutrino : pas d'interaction (probabilité très faible)
• électron:
- nombreuses interactions
- faible distance parcourue (qs mm)
- protection = écran léger
 Cas d'un noyau fils Y à l'état fondamental
X : noyau pére est émetteur de β - pur (seule émission possible)
 Cas d'un noyau fils Y à l'état excité ou métastable
énergie en excès => émission de un ou plusieurs types de photons γ et/ou
conversion interne
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Exemples :
Radioélément père : Molybdène 99 99Mo
Z augmente (flèche orientée vers la droite)
En scintigraphie :
détection externe des photons γ émis par le
technétium 99 métastable (injecté à un
patient)
Radioélément père : cobalt 6027Co >> 6028Ni
γ : 2 énergies possibles (2 niveaux excités)
γ1 = 2,50 -1,33 = 1,17 MeV
γ2 = 1,33 – 0 = 1,33 MeV
Plusieurs types d'émissions β - et γ en
compétition
Radioélément père : iode 131
β2 > β1
β2 = 606 KeV
β1 = 335 KeV
γ1 =
γ2 =
γ3 =
γ4 =
80 keV
284 keV
364 keV
638 keV
D) Émission β +
noyau père
A
Z
X
→
Noyau fils
Particule β - : positon + neutrino (00ν)
A
+
Z-1
Y
0
e +
+1
0
0
ν
Positon : particule instable
Masse = me ; charge = +e
> Transformation d'un proton en excédent dans le noyau :
réaction élémentaire
Proton → neutron + positons + neutrino
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Exemples :
12
7
N → 126C + +
0
+1
e +
0
ν
0
Bilans énergétiques :
1. en fonction de la masse des noyaux
l'émission β + est possible si :
M (A,Z) c2
Énergie initiale
>
M (A, Z -1) c2 + me c2
M : masse du noyau
me : masse du positon
Énergie du noyau fils
2. en fonction des masses atomiques (pas donné en CM / poser la question en TD)
M (A, Z) = Matome (A, Z) - Z me
Noyau père
et
M (A, Z-1) = Matome (A, Z-1) – (Z-1) me– me
noyau fils
l'émission β + est possible si :
[Matome (A, Z) - Matome (A,Z -1)] c2 > 2 mec2
On néglige les énergies de liaison des électrons des atomes
Énergie libérée Q
Répartie entre positon et neutrino : Q = Ece+ + Ecν
Spectre énergétique : continu
En fonction des masses des noyaux :
Ece+ max = [M (A, Z) - M (A, Z - 1) - me ] c2
En fonction des masses atomiques :
M (A,Z) = Matome (A, Z) - Z me
Noyau père
et
=>
émission β + possible si Ece > 0
M (A, Z - 1) = Matome (A, Z - 1) – (Z-1) me
noyau fils
Ece+ max = [Matome (A,Z) - Matome (A,Z -1) - 2 me ] c2
[Matome (A,Z) - Matome (A,Z -1)] c2 > 2 me c2
= 1,02 MeV
Approximation : on néglige les énergies de liaison des électrons des atomes
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Représentation symbolique de l'émission β +
Au moins 2 me c2 d'énergie
disponible
trait vertical : correspond à
une énergie
de 2 x 511 keV
flèche : diminution de Z.
T = 0, 01097 s.
Particularités de l'émission β + : réaction d'annihilation
Devenir d'un positon :
Il épuise son énergie cinétique sous forme
de collisions multiples.
En fin de parcours, il se combine à un
électron = réaction d'annihilation qui donne
naissance à 2 photons γ que l'on peut
détecter
Photons de 511 keV (me c2)
De sens diamétralement opposé
La détection externe des photons est possible (dispositif à coïncidence)
localisation spatiale
=> utilisé en médecine nucléaire : TEP (tomographie à émission de positons)
exemples d'émetteurs : fluor 18 (le plus courant, durée de vie = 2h), oxygène 15 (2 min),
carbone 11, azote 13
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E) Capture électronique
noyau père : noyau lourd car
l’électron est proche du noyau
0
e +
-1
Noyau fils
A
Z
X
→
A
neutrino (00ν)
Y
Z-1
+
0
0
ν
> Capture par le noyau d'un électron d'une couche profonde :
Dans le noyau :
Proton + électron → neutron + neutrino
Conditions énergétiques :
1. en fonction de la masse nucléaire
[ M (A, Z) + me ] c2
Énergie initiale
>
M (A, Z -1) c2
Énergie du noyau fils
2. en fonction des masses atomiques
[Matome (A, Z) - Matome (A,Z -1)] c2
>
Énergie de liaison de l'électron capturé
Effets secondaires :
> Identiques à la conversion interne
Électron capturé par le noyau => lacune électronique => place vacante
=> Réarrangement du cortège électronique (en compétition) :
- fluorescence
- effet Auger
Rappels :
Transformations
isobariques :
Capture électronique
émission β +
émission β -
Résumé pour le noyau :
A
Z
Conditions
énergétiques :
ΔM.c2 > EL ou K
ΔM.c2 > 2 me c2 (1, 02 MeV)
ΔM.c2 > 0
X
Transformations radioactives :
2 types de nucléons (neutron, proton)
Énergie de liaison par nucléon :
L = ΔE / A
noyau dans un état fondamental ou excité
>> fluorescence γ
>> conversion interne
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- émission α
- fission nucléaire
- émission β - émission β +
- émission γ
- capture électronique
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B - CINÉTIQUE DES DÉSINTÉGRATIONS RADIOACTIVES
I - LOIS DE DÉSINTÉGRATION D'UN CORPS RADIOACTIF
-
-
étude au cours du temps
obéissent à des lois statistiques => prévisions de type probabiliste
on ne peut pas dire quand un noyau sera désintégré, mais on peut prédire le nombre de
désintégrations par intervalle de temps
Constante radioactive
λ
Dimension :
[λ] : T-1
Probabilité de désintégration d'un noyau par unité de
temps
Temps-1
Variation du nombre de noyaux :
à l'instant t : nombre N(t) de noyaux actifs pères présents
pendant un intervalle dt : variation dN du nombre de noyaux X
dN = - λ N dt
Équation différentielle
Intégration
dN / N = - λ dt
ln N = - λt + k
Signe – car dN<0 (diminution du nombre de
noyaux radioactifs)
k: constante d'intégration déterminée par les
conditions initiales
à l'instant t = 0 : nombre N0 de noyaux pères X
ln N0 = - λ(t=0) + k
=> k = ln N0
=> ln N = - λt + ln N0
=> ln N - ln N0= - λt
=> ln (N / N0)= - λt
=>
N(t) = N0 e-λt
La variation du nombre de noyaux suit une
fonction exponentielle décroissante :
Courbe de variation de N = f(t)
biophysique06-07-08.doc
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Période du radioélément
T
=>
Vie moyenne du radioélément
N (t=T) = N0 / 2
Temps au bout duquel le nombre
de noyaux N a été divisé par deux
N (t= τ) = N0 / e
Temps au bout duquel il reste N0 / e
noyaux
τ
=>
Relation entre la période T du radioélément et λ :
Τ=1/λ
N (t=T) = N0 / 2
=>
=>
N0 e-λT = N0 / 2
e-λT = ½
- λT = ln ½
λT = ln 2
=>
T = ln 2 / λ
= ln 1 – ln 2
Unité SI : seconde
Variation de N au bout de n périodes :
N(t) = N0 e-λt
e-λT = ½ =>
=>
N (t=nT) = N0 e-λnT
= N0 (e-λT) n
N (t=nT) = N0 (e-λT) n
= N0 (½) n
N (t=nT) = N0 / 2n
Cas particuliers :
- N restant à la fin de 10 périodes
N (t=10 T) = N0
210
=
N0
1 024
≈
N0
1 000
Approximation à retenir
- Temps au bout duquel le nombre de noyaux radioactifs a diminué d'un facteur 10
N (t=nT) = N0 / 2n
=>
=>
biophysique06-07-08.doc
2n = 10
=>
n
=
n ln 2 = ln 10
ln 10 =
2,303
ln 2
0,693
Au bout de 3,3 périodes,
il reste N/10 noyaux
= 3,3 T
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Vie moyenne du radioélément
(durée de vie)
τ=1/λ
Unité SI : seconde
N(t) = N0 e-λt = N0 e-t/τ
=>
Remarques :
N(τ) = N0 e-λτ = N0 e-1 =>
T = ln 2 / λ
= 0,693 / λ
N (t= τ) = N0 / e
= N0/ 2,7 = 0,37 N0
au bout du temps τ, il reste 37 % de N0
=> T = 0,693 τ
=> τ = 1,44 T
II - ACTIVITÉ D'UN RADIOÉLÉMENT
Activité
A(t) = λ N(t)
nombre moyen de noyaux se désintégrant par unité
de temps
Temps-1
1 Bq = 1 désintégration par seconde
1 Ci = 3,7. 1010 Bq
(activité de 1 g de radium 226)
[A] : T-1
Bq : Becquerel
Ci : Curie
Dimension :
Unité SI
Autre unité
Relation entre variation de N et activité :
N (t) = N0 e-λt
A(t) = λ N(t)
A(t) = λ N0 e-λt
=>
Avec
λ = ln 2 / T
A(t) = A0 e-λt
et
A0= λ N0
Évolution de la masse des noyaux radioactifs en fonction du temps :
Soit un corps radioactif de masse m(t)
N(t) : nombre de noyaux radioactifs à l'instant t contenus dans m
Mmol : masse molaire du noyau
NA : nombre d'Avogadro = 6,02 .1023
m(t) = N(t).
Mmol
NA
λ = ln2 / T
=>
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=> m(t) =
A(t). Mmol
λ
NA
m(t) = T . A(t). Mmol
ln2
NA
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Activité résiduelle au bout de n périodes
Et
A(t) = λ N(t)
N (t=nT) = N0 / 2n =>
A (t=nT) = A0 / 2n
Ex : n = 1 période
A(T) =
n = 2 périodes
A(2T) =
n = 3 périodes
A(3T) =
n = 10 périodes
A(10 T) =
A0
21
A0
22
A0
23
A0
210
=
=
=
=
A0
2
A0
4
A0
8
A0
≈
1024
A0
1000
Approximation
à retenir
Activité spécifique : a
a=
A : Activité de la substance radioactive
Quantité totale de substance
Unité : µCi / millimole
III - VARIATIONS RESPECTIVES
DES NOMBRES DE NOYAUX « PÈRES » ET « FILS »
1. Cas d'un noyau fils stable
X1 : radioélément père
N1(t)
λ1 : constante radioactive
Conditions initiales : N1 (t=0) = N10
N1 (t = ∞) = 0
X2 : élément fils stable
N2(t)
Conditions initiales : N2 (t=0) = 0
N2 (t = ∞) = N10
Désintégration de X1 en X2
dN1 = - λ1 N1 dt => N1(t) = N10 e-λ1t
Variation de N2(t) : régie par dN2 = - dN1
dN2 = - dN1 = + λ1 N1 dt
= λ1 N10 e-λ1t dt
Constante K = λ1 N10
Intégration
N2(t)
Ici a = - λ1
N2(t)
= ∫ K e-λ1t dt
= (λ1 N10) (1/- λ1) e-λ1t + C
-λ t
1
= - N10 e
+C
K ∫eat dt = K (1/a).eat + C
Détermination de C par les
conditions initiales
N2 (t=0) = - N10 e0 + C => C = N10
N2(t)
= - N10 e-λ1t + N10
N2(t) = N10 (1 - e-λ1t )
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Courbes de variations de N1 en N2 en fonction du temps
Pour t = T1, il reste N10 / 2
noyaux radioactifs
Pour t = ∞, il ne reste que des
noyaux stables fils :
N1 = 0
N2 = N10
2. Cas d’un noyau fils instable = cinétique des filiations radioactives
X1 : radioélément père
N1(t)
λ1 : constante radioactive
Conditions initiales : N1 (t=0) = N10
N1 (t = ∞) = 0
X2 : radioélément fils
N2(t)
λ2 : constante radioactive
Conditions initiales : N2 (t=0) = 0
X3 : élément « petit » fils stable
N3(t)
N2 (t = 0) = 0
N1(t) = N10 e-λ1t
Désintégration de X1 en X2
Noyaux X2
À l'instant t N2(t) noyaux X2
Pendant l'intervalle dt
Il y a simultanément :
- λ2 N2 dt
+
Équation différentielle du 1er
ordre à coefficients constants et
avec 2nd membre non nul
Conditions initiales
Intégration, solution :
+ λ1 N1 dt
dN2 = - λ2 N2 dt + λ1 N1 dt
A1(t) = A10 e-λ1t
Disparition spontanée par
émission radioactive
Production à partir de X1
(dN2 / dt ) + λ2 N2 = λ1 N1 = λ1 N10 e-λ1t
N2 (t=0) = 0
N2(t) = N10 (λ1 / λ2 - λ1) (e-λ1t - e-λ2t)
A2(t) = λ2 N2 = A10 (λ2 / λ2 - λ1) (e-λ1t - e-λ2t)
A10 = λ1 N10
N3(t)
Noyaux X3 Production uniquement à partir de X2
dN3 = + λ2 N2 dt
X3 stable => A3(t) = 0
Pas de radioactivité
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Représentation graphique de l'activité
tm : Activité maximale
des noyaux X2
Pour tm : A1 = A2 point
max de A2(t)
Activité maximale de X2
à tm :
A2 max => dA2 =
dt
dN2
dt
=
0
(dN2 / dt ) + λ2 N2 = λ1 N1 =>
=>
λ2 N2 = λ1 N1
A2(t = tm) = A1(t = tm)
Calcul de tm , instant du maximum
On a :
A1(t) = A10 e -λ1t
A2(t = tm) = A1(t = tm) =>
et
A10
A2(t) = A10
λ2
λ2 - λ1
(e-λ1tm - e-λ2tm) =
λ2
λ2 - λ1
(e-λ1t - e-λ2t)
A10 e -λ1tm
=> λ2 (e-λ1tm - e-λ2tm) = (λ2 - λ1) e -λ1tm
=> λ2 e-λ1tm - λ2 e-λ2tm = λ2 e -λ1tm - λ1 e -λ1tm
=> λ2 e-λ2tm = λ1 e -λ1tm
=>
=> tm =
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λ2
λ1
= e –tm (λ1 - λ2)
ln (λ2 / λ1)
λ2 - λ1
=
ln λ2 - ln λ1
λ2 - λ1
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Cas particuliers :
1) Cas où T1 > T2 => λ1 < λ2
Quand t est suffisamment grand : on sait que e -λ2t tend plus vite vers zéro que e-λ1t
=> on néglige e -λ2t
A2(t) =
A10
λ2
λ2 - λ1
(e-λ1t - e-λ2t) =
A2(t) ≈
A10
λ2
λ2 - λ1
e-λ1t
A1(t) =
A10 e-λ1t
A2(t)
=
λ2
A1(t)
λ2 - λ1
*utilisé dans les générateurs isotopiques
Équilibre de régime*
= T1
= constante :
T1 – T2
Représentation graphique
Exemple : générateur de technétium radioactif (scintigraphie)
99
42
Mo
T1=67h
β-
→
99m
Tc
43
→
99
43
Tc
T2=6h
γ
En médecine nucléaire, livraison
de molybdène => on prélève le
technétium quand on en a
besoin.
Au bout d'une semaine, il faut un
autre générateur.
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2) Cas où T1 >> T2 => λ1 << λ2
On utilise l'approximation e -λ1t ≈ 1 (valide quand l'écart est très grand)
A1(t) =
A10
e-λ1t ≈
A2(t) =
A10
λ2
λ2 - λ1
A2(t) ≈
A10
Pour t grand,
A10
(e-λ1t - e-λ2t)
(1 - e-λ2t)
e-λ2t ≈ 0
=> A2(t)
≈ A1(t)
≈ A10
Représentation graphique
Pour t assez grand
=> équilibre
séculaire
Exemple :
226
Ra →
88
T1= 1620 ans
222
86
Rn + 42He
→ 21884Po + 42He
>> T2= 4,2 jours
3) Cas où T1 << T2 => λ1 >> λ2
e-λ1t tend rapidement vers 0
A2(t) ≈
A10
λ2
λ2 - λ1
e-λ2t
Période du noyau
« père » << période
du noyau fils
=> le noyau fils ne
dépend plus de T1,
il se désintègre
selon sa propre
période
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