12 triangles mystiques - Questions types du bac

Douze triangles isocèles mystiques
- Avant-propos -
La symbolique du triangle est présente quasiment partout, dans toutes les civilisations, toutes les croyances, tous les
mouvements ésotériques et occultes. Dans quasiment tous les cas, il s’agit de triangles isocèles. Mais est-ce toujours
les mêmes ? Certains ont une forme plus étirée que d’autres, certains ont des propriétés géométriques particulières.
Ce document dresse la liste de ces principaux triangles isocèles et vous aidera ainsi à facilement les distinguer et
pouvoir identifier quelle est leur signification ou quelle organisation éventuelle les représente et ainsi ne pas tout
mélanger... Nous parlerons également de pentagones et d’hexagones, très présents dans la symbolique mystique, et
nous verrons quels liens ils ont avec les triangles, quelle est leur origine et donc à quoi ils correspondent.
1Généralités sur les triangles isocèles
Tout le monde sait ce qu’est un triangle isocèle : un triangle avec au moins deux côtés de même longueur. Mais
tous n’ont pas la même forme : certains sont plus étirés, d’autres plus aplatis.
triangle aplati triangle étiré
Pour caractériser la forme d’un de ces triangles (à un coefficient de similitude près), une seule grandeur suffit.
Mais on a le choix pour cette grandeur. On peut prendre l’angle θau sommet principal ou encore ce qu’on appelle
son format, à savoir le rapport entre deux de ses dimensions. On utilise généralement deux types de formats :
•le format intérieur, noté fiqui est le rapport de la hauteur het de la demi-base b
2:
fi=h
b/2=2h b
•le format extérieur, noté fequi est le rapport du côté extérieur cet de la demi-base b
2:
fe=c
b/2=2c b
θ
2
θ
2
b
2
b
2
h
c c
Figure 1 – Les différentes grandeurs en jeu dans un triangle isocèle.

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Les formules qui relient toutes ces grandeurs sont données ci-dessous.
•D’après le théorème de Pythagore :
c2=h2+b2
4(⋆)
En divisant la relation (⋆) par b2
4:
f2
e=f2 i+ 1
•D’après les relations métriques dans un triangle rectangle, on a :
tan θ
2=b 2h
D’où :
θ= 2 arctan b
2h= 2 arctan 1 fi
2Liste des triangles isocèles mystiques
Nous allons classer les triangles par ordre croissant des formats intérieurs donc du plus aplati au plus étiré.
2.1 Triangle d’argent ou triangle d’or « large »
Il s’agit d’un triangle dont la base a pour longueur le nombre d’or ϕ=1+√5
2et les autres côtés 1.
Son format extérieur est alors :
fe=1
ϕ/2=2 ϕ=4
1 + √5=41−√5
1−5=√5−1
Son format intérieur s’obtient ensuite via le calcul suivant :
f2
i=f2 e−1 = √5−12−1 = 5 −2√5
D’où :
fi=q5−2√5
54 54
ϕ
1 1
Caractéristiques
•Angle au sommet : 108˚
•Angles à la base : 36˚
•Format intérieur : p5−2√5≈0,7265
•Format extérieur : 2
ϕ= 2ϕ−2 = √5−1≈1,236
Il s’agit d’un triangle très aplati que l’on rencontre dans le toit de certains édifices. C’est le seul triangle dont
l’angle au sommet est le triple des angles à la base.
Figure 2 – Une charpente dont la section est un triangle d’or
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Ce triangle d’or « large » apparaît également dans le pentagone régulier comme son homologue le triangle d’or
étroit (1)(voir section 2.12, page 16). En effet, dans un pentagone l’angle au centre du cercle circonscrit a pour
mesure \ A1OA2=360
5= 72˚. On a donc \
OA2A1=180−72
2= 54˚et \
A1A2A3= 2 ×54 = 108˚.
OA1
A2
A3
Figure 3 – Un pentagone et son triangle d’or « large ».
Ce triangle d’or peut, à un coefficient de similitude près, se décliner sous deux autres variantes remarquables :
ϕ+ 1
ϕ ϕ
1
ϕ−1ϕ−1
On les obtient par multiplication ou division par ϕet en utilisant les relations :
ϕ2=ϕ+ 1 et 1
ϕ=ϕ−1
Ce triangle d’or « large » apparaît fréquemment comme, par exemple, dans la forme du bombardier B2, avion
mythique.
Figure 4 – L’avion furtif B2 de Northrop Grumman
À ce sujet, on peut également citer, de façon très anecdotique, l’île de Pâques dont la forme n’est pas sans rappeler
celle de cet avion. L’île de Pâques contient trois anciens volcans (Rano Kau, Terevaka et Puakalike) qui forment
un triangle ayant des proportions très proches de celles du triangle d’or « large ».
1. Et c’est pour le distinguer de son homologue, le triangle d’or « étroit », que certains lui préfère l’appellation de triangle d’argent.
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Figure 5 – L’île de pâques et son triangle d’or
Contre-exemple : les molécules ne font pas dans le mysticisme. Par exemple, dans la molécule d’eau, l’angle
formé par l’atome d’oxygène et les deux atomes d’hydrogène mesure entre 104˚et 105˚environ. Nous n’avons donc
pas affaire, ici, à un triangle d’or dont l’angle au sommet est 108 ˚, ni à un triangle sacré dont l’angle au sommet
mesure 106˚(voir section suivante).
Figure 6 – La molécule d’eau
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On pourrait en dire autant de l’angle de la molécule tétraédrique du méthane (CH4) dont l’angle au centre (formé par
l’atome de carbone et deux atomes d’hydrogène) est environ de 109,5˚(exactement arccos(−1/3) ou 2 arctan√2)
ce qui, là encore, ne correspond pas tout à fait au triangle d’or.
Ceci étant dit, n’oublions pas que les molécules vibrent et que ces angles sont des moyennes.
2.2 Triangle isocèle basé sur le triangle sacré « 4/3/5 »
Il s’agit d’un triangle dont la demi-base a pour longueur 4, la hauteur 3 et pour côté 5. Il est construit sur le célèbre
triangle rectangle 3/4/5 (triangle pythagoricien par excellence ou triangle « sacré »). Sa forme est très proche du
triangle d’or « large ».
53 53
4 4
5 5
3
Caractéristiques
•Angle au sommet : 106,28˚
•Angles à la base : 36,87˚
•Format intérieur : 3
4=0,75
•Format extérieur : 5
4= 1,25
Ce triangle est utilisé par les maçons de l’époque médiévale car il est très facile à réaliser à l’aide de la corde à 13
nœuds (et donc 12 intervalles, 12 = 3 + 4 + 5). On l’appelle encore le triangle de l’arpenteur. Voir également la
section 2.5, page 8.
Figure 7 – La corde à 13 nœuds.
Cette corde à 13 nœuds permet de construire un angle droit sans équerre.
2.3 Triangle isocèle rectangle (demi-carré)
Il s’agit du fameux triangle qui a tant tourmenté les pythagoriciens, le triangle formé par deux côtés consécutifs
d’un carré et sa diagonale. Les pythagoriciens cherchaient désespérément quel nombre d’unités ndonner au côté de
l’angle droit pour que l’hypoténuse (qui mesure alors 2n2) soit également un certain nombre entier d’unités. Cela
revient à chercher un entier ntel que 2n2soit un carré. Un tel nombre n’existe pas car √2 est irrationnel. Mais
les pythagoriciens ne connaissaient que les entiers et les proportions d’entiers. Ils avaient fini par en arriver à la
conclusion que la diagonale d’un carré de côté 1 est un nombre incommensurable.
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