INSA Toulouse Section IFCI Cycle Préparatoire Année 2016-2017 Examen final d’Outils Mathématiques Calculatrices et documents autorisés Le barème est donné à titre indicatif. Exercice 1 Nombres complexes (2pts). Mettre sous forme exponentielle le nombre complexe z = 1 − i , et donner son inverse Exercice 2 Fonctions usuelles (2pts). Résoudre l’équation suivante : exp(x + 1) 2 − exp (x + 1) 2 = 0. Exercice 3 Logique (3pts). Démontrer que la proposition suivante est vraie : ( P et Q ) ⇒ ( non(P ) ou Q ) . Exercice 4 Logique (5pts). Considérons les propositions suivantes, que l’on supposera toutes vraies : 1. ( non(Q) et P ) ⇒ non(S) , 2. S ⇒ ( non(P ) ou Q ) , 3. P ⇒ ( R ou S ) , 4. ( S et Q ) ⇒ non(P ) , 5. ( R et non(S ou Q) ) ⇒ T , 6. R ⇒ ( non(P ) ou non(Q) ) . Si l’on suppose de plus que P est vraie, que peut-on dire sur la valeur de vérité de T ? 1 . z Exercice 5 Raisonnement (4pts). Démontrer par l’absurde la proposition suivante : si n est le carré d’un nombre entier non nul, alors 2n n’est pas le carré d’un nombre entier. Autrement dit : ( ∃k ∈ IN∗ , n = k 2 ) ⇒ ( ∀l ∈ IN, 2n 6= l2 ) . √ Indication : on pourra utiliser le fait que 2 est un nombre irrationnel. Exercice 6 Division euclidienne de polynômes (2pts). Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne des polynômes suivants : A(x) = x4 − 7x2 + 9 et B(x) = x2 − 2 . Exercice 7 Factorisation de polynômes (3pts). Factoriser dans IR[x] et C[x] le polynôme suivant : P (x) = x3 + x2 + x + 1 . Exercice 8 Décomposition en éléments simples (4pts). Décomposer en éléments simples sur IR la fonction rationnelle suivante : F (x) = (x2 x . − 4)(x2 + 4) Bonus (3pts) : déterminer la décomposition en éléments simples de F sur C. FIN