MATH 204 ÉNONCÉS DES EXERCICES 2 A. ZEYTİN (1) Déterminez tout les sous-groupes de A3 , A4 , S3 et S4 . Lequels sont normaux? (2) Pour les groupes est leurs sous-groupes suivants, déterminez tout les éléments de G/H explicitement, montrez que H est normal, et donc construissez la table de multiplication de G/H: I G = D2·5 et H = hσi = {e, σ, σ2 , . . . , σ4 }1 I G = A4 et H = {(1), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} I G = S4 et H = {(1), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} (3) Montrez que Sn n’est pas un groupe abélien pour n ≥ 3. (4) Déterminez l’ordre des éléments suivants: I (1, 2)(3, 4) ∈ S6 I (1, 2, 3)(4, 5, 6) ∈ S6 I (1, 2, 3)(4, 5, 6, 7) ∈ S7 1 −1 I ∈ SL2 (R) 1 0 (5) Déterminez le plus grand entier naturel k tel que les groupes donnés possède un élément d’ordre k: I Dn I S5 I S6 I S7 I Sn I A4 (6) Décidez si les applications suivantes sont homomorphismes: I ϕ : R −→ Z x 7→ dxe I ϕ : R −→ Z x 7→ bxc I ϕ : R \ {0} x −→ R \ {0} 7→ |x| I ϕ : M(n, R) A −→ 7→ R det(A) (7) Soient G, G 0 deux groupes; où G est abélien et ϕ : G −→ G 0 un homomorphisme. I Montrez que im(ϕ) est un sous-groupe abélien de G 0 . I En déduisez que si ϕ est surjectif, alors G 0 est un groupe abélien. (8) Soit F(R, R) l’ensemble de fonctions de R vers R. 1 Rappelez que σ est la rotation de pentagone régulier d’angle 2π/5. I Montrez que F(R, R) est un groupe abélien sous l’addition définié par: (f + g)(t) = f(t) + g(t). I Rappelez que (R, +) est un groupe abélien. Pour un nombre réel to fixé, montrez que l’application: ϕto : F(R, R) f(t) −→ 7→ R f(to ) est un homomorphisme. Est-il injectif?, surjectif? Déterminez ker(ϕ). (9) Soit C([0, 1], R) est l’ensemble de fonctions continues de [0, 1] vers R. Montrez que ϕ : C([0, 1], R) −→ R Z1 f 7→ f(t)dt 0 est un homomorphisme, où R est considéré comme un groupe sous l’addition usuelle. Est-il injectif?, surjectif? Déterminez ker(ϕ). (10) On considère Z et Z/nZ comme un groupe sous l’addition. Montrez que pour tout n ∈ N, l’application ϕ : Z −→ Z/nZ m 7→ [m] est un homomorphisme. Est-il injectif?, surjectif? Déterminez ker(ϕ). (11) Soit ϕ : G −→ G 0 un homomorphisme et H un sous-groupe de G. Montrez que I si H est un sous-groupe de G alors ϕ(H) = {g 0 ∈ G 0 : g 0 = ϕ(h) pour certain h ∈ H} est un sous-groupe de G 0 . I si H 0 est un sous-groupe de G 0 alors ϕ−1 (H 0 ) = {g ∈ G : ϕ(g) ∈ H 0 } est un sous-groupe de G 0 . (12) Soient G un groupe quelconque, go ∈ G un élément fixé de G. Montrez que l’application ϕ : Z −→ G définié par ϕ(n) = (go )n est un homomorphisme. (13) Soient G, G 0 , G 00 trois groupes, ϕ1 : G −→ G 0 et ϕ2 : G 0 −→ G 00 homomorphismes. Montrez que ϕ2 ◦ϕ1 : G −→ G 00 est un homomorphisme. (14) Soit G un groupe et soit Aut(G) l’ensemble d’isomorphismes de G vers G2 . I En utilisant Exercice 13 montrez que Aut(G) est un groupe. I Pour go ∈ G fixé, montrez que l’application: ιgo : G x −→ G 7→ go xg−1 o −→ Aut(G) est un automorphisme de G, donc un élément de Aut(G). I Montrez que l’application: ϕ: G g 7→ ιg est un homomorphisme. (15) Montrez que il n’existe pas un isomorphisme entre: I (R, +) et (C, +) I (Q, +) et (Z, +) I (R, +) et (Q, +) (16) Montrez que si n 6= m alors il n’existe pas un isomorphisme entre Sn et Sm . (17) Soit G un groupe. Montrez que l’application ϕ : G −→ G, définie par ϕ(x) = x−1 est un isomorphisme si et seulement si G est abélien. 2 Un tel isomorphisme est appellé un automorphisme de G.