Devoir à la maison n 7

© Laurent Garcin
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Devoir à la maison no 7
Problème 1 —
Dans tout ce problème, le mot entier désignera un entier naturel supérieur ou égal à 1 et le mot ensemble
désignera un ensemble de tels entiers.
Partie I –
Pour un ensemble A et un entier n, on définit :
I le nombre νn (A) d’éléments de A compris entre 1 et n i.e. νn (A) = card(A ∩ J1, nK) ;
νn (A)
I la proportion δn (A) d’entiers de A parmi ceux compris entre 1 et n i.e. δn (A) =
.
n
La limite de la suite (δn (A)), si elle existe, est appelée densité de A dans N∗ et est notée δ(A).
1. Déterminer, si elles existent les densités de
a. N∗ ;
b. d’un ensemble fini E ;
c. de l’ensemble 2N des entiers pairs ;
d. de l’ensemble C des carrés d’entiers ;
e. de A =
[
k∈N
K22k , 22k+1 K ;
f. de l’ensemble D des entiers dont l’écriture décimale ne comporte pas de 0.
2. Soient (an )n>1 une suite strictement croissante d’entiers et A = {an , n ∈ N∗ }.
a. Que vaut νan (A) ?
Å
b. Montrer que si A possède une densité, alors δ(A) est la limite de la suite
3.
n
.
an
ã
c. Montrer que aνn (A) 6 n < aνn (A)+1 .
Å ã
n
d. Montrer que si la suite
possède une limite l, alors δ(A) = l.
an
a. Soient p ∈ N et q ∈ N∗ . Déterminer la densité de l’ensemble A des entiers congrus à un entier p
modulo q.
b. Soit α un réel supérieur ou égal à 1. Déterminer la densité de A = {bnαc | n ∈ N∗ }.
Partie II –
1. Soient A et B deux ensembles. Montrer que si trois des quatre ensembles A, B, A ∪ B et A ∩ B ont une
densité, alors le quatrième également et qu’alors
δ(A) + δ(B) = δ(A ∪ B) + δ(A ∩ B)
2. Que dire dans le cas où A et B sont deux ensembles disjoints possédant une densité ?
3. Si A possède une densité, montrer que A = N∗ \ A possède également une densité. Que vaut celle-ci ?
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4. On dit qu’un ensemble est négligeable s’il possède une densité nulle. Que dire d’une partie d’un ensemble
négligeable ?
5. Soit A un ensemble de densité δ et B un ensemble négligeable. Que dire de A ∪ B ?
Partie III –
Soit B un ensemble infini dont les éléments sont rangés en une suite strictement croissante (bn )n>1 . On appelle
densité relative d’un ensemble A dans B la limite, si elle existe, de la suite de terme général
δn (A|B) =
card(A ∩ {bk , 1 6 k 6 n})
n
On note alors cette densité relative δ(A|B).
1. On se propose tout d’abord d’établir le lemme suivant. Soit (un ) une suite réelle et (pn ) une suite d’entiers
divergeant vers +∞ vérifiant pn 6 pn+1 6 pn + 1. Montrer que (un ) est convergente si et seulement
si (upn ) l’est et que dans ce cas, elles ont la même limite.
2. Soient A et B deux ensembles tels que A ∩ B et B possèdent une densité avec B non négligeable. Montrer
que pour tout n suffisamment grand, δn (A|B) = δνn (B) (A|B)δn (B). En déduire que A possède une densité
δ(A ∩ B)
relative dans B et que δ(A|B) =
.
δ(B)
3. On dit que deux ensembles A et B sont indépendants si A, B et A ∩ B possèdent une densité et si
δ(A ∩ B) = δ(A)δ(B).
a. Montrer qu’un ensemble négligeable est indépendant de tout ensemble ayant une densité.
b. Soient A et B deux ensembles possédant une densité non nulle. Montrer que A et B sont indépendants
si et seulement si A possède une densité relative dans B et δ(A|B) = δ(A).
4. Pour un entier p, on note Mp l’ensemble des entiers multiples de p. Étudier l’indépendance de Mp et Mq
pour des entiers p et q.
5. Soient A et B deux ensembles infinis dont les éléments sont rangés en des suites strictement croissantes
(an )n>1 et (bn )n>1 . On note AB = {abn , n ∈ N∗ }. Montrer que si A et B ont des densité, alors AB également
et que, dans ce cas, δ(AB ) = δ(A)δ(B).
Partie IV –
On note P l’ensemble des nombres premiers et (pn )n>1 la suite strictement croissante formée de ceux-ci. On
note Ak l’ensemble des multiples de pk pour k > 1.
ã
k Å
Y
1
1. Soit k > 1. Justifier que
Ai possède une densité Pk et que Pk =
1−
.
pi
i=1
k
\
i=1
2. Montrer que lim Pk = 0.
k→+∞
3. En remarquant que
k
\
Ai contient tous les nombres premiers à partir de pk+1 , justifier que lim sup δn (P) 6
n→+∞
i=1
Pk .
4. En déduire que P est de densité nulle.
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