D EVOIR MAISON N° Pour le : Terminale S E XERCICE : 10 points On rappelle que la probabilité d’un évènement A sachant que l’évènement B est réalisé se note p B (A). Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l’urne : • si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires. • si la boule tirée est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules noires supplémentaires. On tire ensuite au hasard une seconde boule de l’urne. On note : • B 1 l’événement : « on obtient une boule blanche au premier tirage » • B 2 l’événement : « on obtient une boule blanche au second tirage » • A l’événement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ». 1. Dans cette question, on prend n = 10. 3 a. Calculer la probabilité p (B 1 ∩ B 2 ) et montrer que p (B 2 ) = . 4 b. Calculer p B 2 (B 1 ) en utilisant les résultats précédents. 3 c. Montrer que p(A) = . 10 2. On prend toujours n = 10. Huit joueurs réalisent l’épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l’évènement A. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire réelle X ? b. Déterminer p(X = 3). (On donnera la réponse à 10−2 près). c. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X . 3. Dans cette question n est un entier supérieur ou égal à 1. 1 Existe-t-il une valeur de n pour laquelle p(A) = ? 4 2011-2012 1 Florent Lebreton C ORRIGÉ DE L’ EXERCICE 1. Dans cette question, on prend n = 10. a. On a l’arbre de probabilités suivant : 10 B40 502 B30 401 B2 20 B30 502 B10 401 B2 b. c. 2. a. b. 30 40 30 3 p (B 1 ∩ B 2 ) = p (B 1 ) × p B 1 (B 2 ) = × = = = 0, 6. ³ ´40 ³50 ´ 50 5 30 10 3 On calcule de même p B 1 ∩ B 2 = p B 1 × p B 1 (B 2 ) = × = = 0, 15. 50 40 20 D’après la loi des probabilités totales : ´ 3 3 ³ 12 + 3 15 3 = = = = 0, 75. p (B 2 ) = p (B 1 ∩ B 2 ) + p B 1 ∩ B 2 = + 5 20 20 20 4 3 p (B 1 ∩ B 2 ) 5 3 4 4 On a p B 2 (B 1 ) = = 3 = × = = 0, 8. p (B 2 ) 5 3 5 4 ´ ³ ´ 3 1 3 ³ 3 3 6 3 = + = = = 0, 3. On a p(A) = p B 1 ∩ B 2 + p B 1 ∩ B 2 = × + 4 5 20 20 20 20 10 3 On a une loi binomiale de paramètres n = 8 et p = p(A) = . 10 La probabilité d’avoir 3 fois l’évènement A est donc grâce à ce qui précède : Ã !µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 8 3 3 3 8−3 8 × 7 × 6 3 3 7 5 1− = ≈ 0, 254 ≈ 0, 25. 3 10 10 3×2 10 10 c. On a E(X ) = n × p = 8 × p = 0, 3. 12 3 = = 2, 4 ; car X suit une loi de Bernoulli de paramètres n = 8 et 10 5 3. On reprend l’arbre précédent, mais en ajoutant n boules : 30+n B102 40+n 30 B40 1 B2 10+n B302 40+n B10 401 B2 30 10 10 30 15 Ici p(A) = × + × = . 40 40 + n 40 40 + n 40 + n 1 15 1 D’où p(A) = ⇐⇒ = ⇐⇒ 60 = 40 + n ⇐⇒ n = 20. On ne perd pas de vue que n est un 4 40 + n 4 entier naturel donc 40 + n > 0 et ainsi le dénominateur ne s’annule pas. 2011-2012 2 Florent Lebreton