633. Python. Pour n ≥ 1, on note π(n) le nombre d`entiers

633. Python. Pour n ≥ 1, on note π(n) le nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux à n.
a) Ecrire une fonction prem(n) qui renvoie vrai si n est premier et faux sinon.
b) Ecrire une fonction piprime(n) qui renvoie π(n).
{101,102,…,106}. En déduire une conjecture sur la limite de n⁄π(n).
c) Afficher les valeurs de n⁄π(n) pour n
d) On suppose savoir ∀n ≥ 2,π(n) ≤ 2ln2
⋅ Confirmer la conjecture de la question précédente.
On note (Ek ) l’équation n = kπ(n) d’inconnue n, avec k
Q.
e) Montrer que toute solution de (Ek) est inférieure ou égale à 22k.
f) Trouver informatiquement les solutions de (E11⁄2).
g) On étudie maintenant (Ek) pour k
solution de (Ek).
N, k ≥ 2. On pose Fk = {n ≥ 2,n ≤ kπ(n)}. Montrer que Fk est fini et que son plus grand élément est
634. Python. On note φ(n) l’indicateur d’Euler de n, U
z).
a) Donner les fonctions liste(n), qui renvoie {k
φ(d).
b) Montrer que Xn - 1 =
c) Montrer que
d) Montrer que Φn
l’ensemble des racines de l’unité d’ordre exactement n dans C*, et Φd =
(X -
{1,…,n} ; pgcd(k,n) = 1}, puis phi(n) qui renvoie φ(n), puis sumphi(n), qui renvoie
Φd.
ϕ(d) = n.
Z[X]. On pose Qp = Xp - 1 et n = pqr.
e) Soit p < q < r des nombres premiers tels que p + q > r. On pose P =
f) Montrer qu’il existe S
. Montrer que Φn =
.
Q[X] tel que ϕn - P = XpqS.
g) Montrer que le coefficient de Xr dans Φn est - 2.
635. Python.⋆ Pour n ≥ 1, on note En = {0,1,…,n - 1} et Sn le groupe des permutations de En . En Python, une permutation σ
Sn est
représentée par la liste σ(0),…,σ(n - 1) .
Pour i
En , la période de i pour σ
Sn est le plus petit entier p tel que σp(i) = i. On le note Per(σ, i).
a) Justifier l’existence de Per(σ,i) et montrer qu’elle est plus petite que n. Préciser l’ordre de σ en fonction des Per(σ,i).
b) Ecrire une fonction qui retourne la période d’un élément i pour une permutation σ.
c) Ecrire une fonction qui retourne la liste des périodes, pour une permutation σ, des éléments de En . Application : σ = [3,6,7,0,2,1,8,5,4,9].
d) Soit σ
Sn . On définit une relation Rσ sur En par : xRσy⇐⇒∃k
Z,y = σk(x).
e) Montrer que Rσ est une relation d’équivalence.
On appelle orbite d’un élément x de En sa classe d’équivalence. On la note Ωσ(x).
f) Montrer que Ωσ(x) =
x,σ(x),…,σp-1(x)
où p = Per(σ,x).
g) Ecrire une fonction qui retourne la liste des orbites d’une permutation σ.
l’ensemble des polynômes réels à coefficients dans {0,1}.
639. Python.⋆ On note
a) Soient P et Q dans
. Montrer que P(-2) = Q(-2) si et seulement si P = Q.
b) Soit N Z . Montrer qu’il existe P
pour N = 2015.
640. Python. Soient
tel que N = P(-2). Écrire une fonction Python de variable d’entrée N et calculant P . Donner P
l’ensemble des polynômes à coefficients dans {0,1} et W =
a) Tracer dans le plan complexe les racines des éléments de
b) Montrer que W est stable par z
c) Soient P
C;∃P
,P(z) = 0 .
de degré inférieur ou égal à 7.
z et que W \{0} est stable par z
1⁄z.
W non nul et z une racine non nulle de P . Sans perte de généralité, on peut supposer P(0) = 1. Supposons |z| < 1 et
⋅ Montrer que Q(z) ≤
posons Q(X) = P(X) - 1 -
d) Soit z
z
W tel que |z| > 1. Montrer que
≤
e) Soient A =
≤
et en déduire
⋅
⋅
et
B=
. Donner pour les ensembles A et B des équations de la forme f(x, y) = 0 et g(x,y) = 0.
Tracer A et B sur le même graphique que la figure précédente.
f) Soit Pn = 1 + X + X3 +
+ X2n+1. Montrer qu’il existe un unique xn
R tel que Pn (xn ) = 0, puis que xn
[-1,0[.
g) Montrer que (xn) converge vers un élément de A.
641. Python. Soient P
R[X] et Z(P) l’ensemble de ses racines. Pour (h,γ)
a) (On pourra utiliser numpy.poly1d) crire un script retournant h = maxα
valeur de h et diverses valeurs de γ. Que peut-on conjecturer ?
b) Soit (α, z)
Z(P)
R × U, on pose Ph,γ (z) = P(z + ih) - γP(z - ih).
Imα. Déterminer l’ensemble des racines de Ph,γ pour cette
C2. Montrer : |z+ih-α|2|z+ih-α|2-|z-ih-α|2|z-ih-α|2 = 8hImz (Rez-Reα)2+(Imz)2+h2-(Imα)2 .
c) Prouver la conjecture.
644. Python. On utilisera la classe numpy de polynômes de la bibliothèque numpy.poly1d. On définit un polynôme par la liste décroissante
de ses coefficients ; par exemple, p = np.poly1d([1,2,3]) définit P(X) = X 2 + 2X + 3. Les opérations sur les polynômes se font à l’aide des
opérateurs infixes +, *, * *, etc. Le polynôme P(Q) se calcule par p(q) et le quotient de la division euclidienne de P par Q par p⁄q.
a) On pose P = X3 - 1, Q = (X - 1)2 et R = (X2 - 6X + 9). Montrer que P divise R(Q) - X. Montrer que R est le seul polynôme de degré 2 tel
que P divise R(Q) - X.
Dans toute la suite, on se donne P et Q dans C[X], non constants.
b) On suppose qu’il existe R
C[X] tel que P divise R(Q) - X. Montrer que ∀a
C, deg(pgcd (P, Q - a)) ≤ 1.
c) On note n = deg P . On suppose que, pour toute racine complexe α de P , on a :
deg(pgcd (P, Q - Q(α))) ≤ 1. Soit T =
λkXk tel que P divise T(Q).
d) Montrer que, si α ⁄= β sont racines de P , alors Q(α) et Q(β) sont des racines distinctes de T.
e) On note m la multiplicité de α comme racine de P , et q celle de Q(α) comme racine de T . Montrer que q ≥ m.
f) Qu’en déduit-on sur (λ0,…,λn-1) ?
g) On admet à présent l’existence de R tel que P divise R(Q) - X. Faire un bilan des questions précédentes.
h) On note P+ le demi-plan Rez > 0. Soient A et B dans
= B.
645. Python. Pour n
N, on pose Pn =
(X - k)
n(C)
dont les spectres soient inclus dans P+ , et telles que A2 = B2. Montrer que A
R[X] et Rn =
R(X).
a) i) Écrire une fonction qui calcule Rn(x).
ii) Écrire une fonction qui trace x
Rn(x) pour (x,Rn(x))
[4,8] × [-5,5].
{0,…,n - 1}, montrer que Rn admet exactement un zéro dans l’intervalle ]k, k + 1[ ; ce zéro est noté an,k.
b) i) Pour k
ii) Écrire une fonction qui calcule numériquement an,k.
iii) On fixe k
N. Étudier expérimentalement le comportement de (an,k)n≥k.
c) i) L’entier k
N étant fixé, étudier la convergence de (an,k)n≥k.
ii) Donner un développement asymptotique à deux termes de a n,k quand n → +∞.
647. Python. On pose Ln la matrice triangulaire inférieure d’ordre n dont le terme d’indice (i, j)
binomial
a) Calculer L
{0,…,n - 1}2 est le coefficient
.
pour p
{1,…,10}. Conjecturer la forme de L
b) Quel est le nombre d’opérations minimal pour obtenir L
pour tout (n,p)
N*2.
?
c) On pose Xn = (1,x,…,xn-1). Calculer LntXn.
d) Conjecturer la forme de LntLn.
e) Montrer, pour tout (i,j)
N2 :
=
⋅ Prouver la conjecture de la question précédente.
648. Python.⋆ On considère n ≥ 2 joueurs, numérotés de 1 à n, participant à un tournoi où chacun affronte tous les autres, sans égalité
possible dans une rencontre. On définit la matrice A = (ai,j)1≤i,j≤n de la manière suivante : ai,i = 0, ai,j = 1 si i a gagné contre j, ai,j = -1 si j a
gagné contre i.
a) Ecrire une fonction renvoyant une matrice de tournoi aléatoire.
b) Calculer les déterminants de telles matrices pour des entiers n pairs et impairs. Qu’observe-t-on ?
c) Démontrer la propriété postulée pour les n impairs.
d) i) Soit Jn = (1)1≤i,j≤n. Calculer det(Jn - In).
ii) Soient M et N deux matrices à coefficients entiers telles que M - N ait tous ses coefficients pairs. Montrer que detM et detN ont même
parité.
iii) Démontrer la propriété postulée pour les n pairs.
n
658. Python. Soient n N*, A
n(R) à coefficients strictement positifs. Pour x = t(x 1,…,xn) et y = t (y1 , … , yn ) dans R , on écrit x ≤ y
si, pour tout i, xi ≤ yi et x < y si, pour tout i, xi < yi .
a) Écrire un programme Python qui renvoie la valeur propre de module maximal d’une matrice passée en argument.
b) Tester ce programme pour dix matrices à coefficients pris aléatoirement dans [1,2[.
c) Soit S =
i) Soit λ
.
Rn tel que 0 ≤ x,
S. Montrer qu’il existe x
xi = 1 et λx ≤ Ax.
ii) Soit λ une valeur propre complexe de A. Montrer que |λ|
S.
iii) Montrer que S est majoré et expliciter un majorant.
iv) Montrer que S est compact.
v) Soit α = maxS. Montrer que α est une valeur propre de A strictement positive associée à un vecteur propre strictement positif.
d) Conclusion ?
660. Python. a) On pose A =
.
i) Calculer A5 , A10, A20 et A50. Conjecture ?
ii) Calculer les valeurs propres de A. Démontrer la conjecture.
b) Soit n impair.
i) Coder en Python M =
. Vérifier pour n = 9.
ii) Montrer que la somme des coefficients de chaque ligne est une constante S.
iii) On pose B = (1⁄S)M. Montrer que 1 est valeur propre de B et que toutes les autres valeurs propres sont de module strictement inférieur
à 1.
iv) En déduire la limite de (Bn)n
N.
Vérifier pour n = 9.
661. Python.⋆ Pour A = (ai,j)
n(C)
et B
p(C),
on note A ⊗ B la matrice de
np (C
):A⊗B=
.
a) Soit A =
. Définir une fonction Aotimes(B) retournant A ⊗ B. Calculer A ⊗ B lorsque B =
. Les matrices obtenues sont-elles diagonalisables ?
b) Montrer que ⊗ est bilinéaire. Calculer tr(A ⊗ B).
c) Montrer que pour tout (A,Aʹ,B,Bʹ)
nC)
×
nC)
×
p(C)
×
p(C),
on a :
puis lorsque B =
(A ⊗ B)(Aʹ ⊗ Bʹ) = (AAʹ) ⊗ (BBʹ). Qu’en déduire sur A ⊗ B si A et B sont inversibles ?
d) On suppose A semblable à Aʹ et B semblable à Bʹ. Que dire de A ⊗ B et Aʹ⊗ Bʹ ?
e) Quel est le rang de A ⊗ B ?
f) On suppose A et B diagonalisables. Montrer que A ⊗ B est diagonalisable.
g) Réciproquement, on suppose A ⊗ B diagonalisable, avec A≠0 et B≠0.
i) Montrer que B n’est pas nilpotente.
ii) On suppose A triangulaire ; montrer que B est diagonalisable.
iii) Conclure dans le cas général.
iv) Le résultat reste-t-il le même pour des matrices à coefficients réels ?
663. Python. a) Ecrire une fonction Python qui calcule, pour A
b) On considère le polynôme caractéristique χA =
n(C),
(-1)kσkXn-k, où (σk)k
la liste : tr(A),tr(A2),…,tr(An) .
{1,…,n}
sont les fonctions symétriques élémentaires et σ0 = 1.
Ecrire un code Python permettant d’obtenir les coefficients σk, en déterminant une relation de récurrence vérifiée par les fonctions
symétriques élémentaires et les sommes de Newton Sk =
675. Python. Soit A
λ , où λ1 , … , λn sont les valeurs propres.
nR).
a) Montrer qu’il existe une matrice A orthogonale et une matrice T triangulaire supérieure telles que A = OT. Ind. On pourra commencer par
le cas où A est inversible.
La fonction numpy.linalg.qr de Python donne une telle décomposition.
b) On pose N1 (A) =
|ai,j|. Montrer que N1 admet un minimum mn et un maximum Mn sur
n(R).
c) Utilisation de Python.
i) Ecrire une fonction randO(n) qui génère une matrice aléatoire A et qui renvoie la matrice orthogonale O de la question précédente.
ii) Ecrire une fonction N1 de la variable matricielle A qui renvoie N1(A). On pourra utiliser les fonctions numpy.sum et numpy.abs.
iii) Ecrire une fonction test(n) qui, sur 1000 tests, renvoie le minimum et le maximum des valeurs de N1 pour des matrices orthogonales
aléatoires.
d) Déterminer la valeur de mn. Pour quelles matrices, ce minimum est-il atteint ? Montrer qu’il y a un nombre fini de telles matrices.
e) Montrer que Mn ≤ n
680. Python. Soient n
constante.
. Montrer que M 3 < 3
N avec n ≥ 2 et A
.
n(R).
On cherche à établir l’existence de Ω
a) Démontrer le résultat pour n = 2 et expliciter, en fonction de A, une matrice Ω
b) On pose A =
c) Soit Γ =
n (R
) telle que tΩAΩ ait sa diagonale
SO2(R) telle que t ΩAΩ a sa diagonale constante.
. Donner, à l’aide de python, B orthogonalement semblable à A de diagonale constante.
. Montrer que Γ est compact.
Γ
d) Soit f : M
sup(i,j)
{1,…,n}
2
. Montrer que f présente un minimum.
e) En déduire le résultat annoncé.
681. Python. Soit S la sphère unité de Rn. Pour M
n(R), on note λ1(M), λ2(M), …, λn (M) ses valeurs propres triées dans l’ordre
croissant. Pour un sous-espace vectoriel F non nul de E, on note : RM(F) = maxX F∩StXMX.
a) Montrer que RM(F) est bien défini.
b) En Python. i) Ecrire une fonction qui, pour M
n(R),
renvoie la liste de ses valeurs propres triées par ordre croissant
λ1(M),λ2(M),…,λn(M) .
ii) Ecrire une fonction qui, pour (A,B)
n(R)
2
distincts, renvoie la liste des :
{1,…,n}.
pour k
iii) Tester cette fonction pour des matrices symétriques aléatoirement choisies.
c) Soient M
n(R)
et (v1,…,vn) une base de vecteurs propres associés respectivement à λ1 (M), λ2 (M),…,λn(M). On fixe d
i) Montrer que RM V ect(v1,…,vd)
{1,…,n}.
= λd(M).
ii) Soient F de dimension d et G = V ect(vd,…,vn). Montrer que S ∩ F ∩ G≠∅. En déduire que RM (F) ≥ λd(M).
d) Soient F et G des sous-espaces vectoriels tels que F ∩ G≠{0}, (A,B)
e) Soit (l, k, m)
f) Soit (A, B)
n(R)
2
et C = A + B. Montrer que RC(F ∩ G) ≤ RA(F) + RB(G).
{1,…,n} tel que k + n = l + m. Montrer que λk(C) ≤ λl(A) + λm(B).
n(R)
2
688. Python. On fixe Q
≤ 1, pour k dans {1,…,n}.
. Montrer :
C[X] non constant. Pour M
R, on pose ΓM =
z
C, Q(z) > M .
a) i) Déterminer ΓM lorsque Q(X) = Xd.
ii) On suppose Q de degré 1. Montrer qu’il existe R > 0 tel que C \D(0,R) ⊂ ΓM.
iii) Montrer que ce résultat est vrai pour tout polynôme Q non constant.
iv) Pour (a, b,c,d)
R4, on note :
Δ(a, b, c, d) =
. crire une fonction permettant de visualiser Δ(a, b,c,d) ∩ ΓM en fonction de Q
et M. On pourra utiliser numpy.imshow ou numpy.contourf. Tester cette fonction pour différents polynômes. Que constate-t-on ?
b) Pour a
Q(a + reiθ)
C et r > 0, on admet :
2
dθ=
⋅ On suppose qu’il existe a
C et r > 0 tels que : ∀z
D(a,r) Q(z) ≤ Q(a) . Montrer que Q est constant.
c) Soit S un compact non vide de C. On note ∂S sa frontière.
Montrer que sup z
S
Q(z) = supz
∂S
Q(z) .
d) Montrer que ΓM est connexe par arcs (on pourra s’intéresser aux composantes connexes par arcs non bornées de ΓM).
e) Démontrer le résultat admis à la question b) .
689. Python. Dans l’espace vectoriel E =
0 et f(1) = 1 et I = id[0,1]. Pour f
(f(3x - 2) + 1)⁄2 si x ]2⁄3,1].
0
[0,1], R muni de la norme de la convergence uniforme, on considère : E0,1 =
E0,1, on pose T(f) : [0,1] → R où T(f)(x) = f(3x)⁄2 si x
a) Ecrire un programme Python qui prend une fonction f de E0,1, un réel x
[0,1⁄3[, T(f)(x) = 1⁄2 si x
f
E,f(0) =
[1⁄3,2⁄3] et T(f)(x) =
[0,1] et qui retourne T(f)(x). Tracer les graphes de I et de T(I).
a) Montrer que T est une application de E0,1 dans lui-même.
b) Montrer que E0,1 est un sous-espace affine de E.
c) Montrer que T est k-lipschitzienne sur E0,1 pour un certain k < 1.
d) Ecrire une fonction récursive qui prend en argument un entier naturel n, une fonction f
de T5(I).
e) Montrer la convergence uniforme de
690. Python. Pour n
Tn(f)
n
N
pour tout f
E0,1 et qui retourne Tn (f). Tracer le graphe
E0,1.
xk.
N, soit Pn : x
a) Tracer les représentations graphiques de Pn pour 0 ≤ n ≤ 5, sur [-2,2].
b) Étudier le signe de Pn ainsi que les variations de Pn.
c) Montrer que Pn présente un minimum an atteint en un seul point.
d) Étudier la suite (an).
691. Python. Pour a ≥ 0 et n
N*, on pose un(a) =
n+a
.
a) Montrer que un(a) → e.
b) Donner des fonctions u(n,a), qui donne la valeur de un(a), et t(a,p,q), qui trace la ligne polygonale dont les sommets sont les (k,u k(a)) pour
p ≤ k ≤ q. Appliquer à a = 0,4, a = 0,5 et a = 0, 49 et conjecturer la monotonie de (un(a)).
c) On admet que, pour a = 0,49, u décroît d’abord et croît ensuite. Donner une fonction qui détermine la valeur de n telle que un(a) soit
minimal.
d) Soit, pour x > 0, F(x) =
décroît.
-x. Montrer que F est strictement croissante. Montrer que, si a ≥ 1⁄2, u croît et que, si a ≤-1 + 1⁄ln2, u
e) Déterminer les valeurs de a telles que u soit ultimement croissante et celles pour lesquelles u est ultimement décroissante.
693. Python. Pour n
N*, on pose Pn =
(X - k) et Rn =
=
⋅
a) Définir une fonction Python R(n,x) calculant Rn(x).
b) Tracer le graphe de Rn sur [-4,8] avec 200 points et des ordonnées dans [-5,5].
c) Montrer que Pʹn s’annule en un unique point αn,k de l’intervalle ]k,k + 1[, pour tout k
{0, … , n - 1}.
d) Ecrire une fonction qui donne une approximation de αn,k.
e) On fixe k à 0 puis à 10. Conjecturer le comportement de (an,k)n>k.
f) Montrer que (an,k)n>k converge. On pourra comparer Rn et Rn-1.
g) Trouver la limite puis un équivalent de 1⁄(an,k - k). En déduire un développement asymptotique de (an,k)n>k à deux termes.
694. Python. On définit (xn) et (yn) par x0 = 0, y0 = 0 et, pour n
N, xn+1 =
, yn+1 =
a) Montrer que (xn) et (yn) sont bien définies.
b) Calculer les 10 premiers termes de (xn) et (yn). Conjecturer le comportement des suites.
c) En supposant la convergence de (xn) et (yn), déterminer leurs limites possibles.
d) Montrer la convergence de (xn) et (yn).
e) Montrer que (xn) et (yn) ne peuvent être monotones, même à partir d’un certain rang. Donner un rang n0 à partir duquel les limites sont
approchées à 10-3 près.
695. Python. On considère l’ensemble S des suites réelles (zn)n
∀n
N , zn+2 =
a) Soit (αn )n
N
N
vérifiant :
+ zn.
S et (βn)n
N
S telles que (α0,α1) = (1,1) et (β0,β1) = (0,1).
i) l’aide de Python, écrire une fonction z(n,a,b) qui donne la liste des n + 1 premiers termes de la suite (zn )n
ii) Afficher la liste des 20 premiers termes de (αn)n
N
et (βn)n
N
S telle que (z0,z1) = (a,b).
N.
Conjecture ?
iii) Conjecturer la limite de αn⁄βn lorsque n tend vers + ∞.
iv) Expliciter αn et βn en fonction de n.
En donner des équivalents et déterminer la limite de αn⁄βn lorsque n tend vers + ∞.
v) Peut-on en déduire un équivalent de zn pour (zn)n
b) On considère, pour x
R la suite (un)n
N
N
S?
définie par : u0 = x et ∀n
N,un+1 =
⋅
i) Ecrire une fonction u(x,n) donnant la liste des n + 1 premiers termes de la suite.
ii) Montrer que (un)n
N
tend vers 1.
696. Python. Soient a,b
0
([a,b], R). On suppose qu’il existe c
R avec a < b et f
2
]a,b[ tel que f|[a,c] décroît strictement et f|[c,b] croît
strictement. On note M la solution > 0 de M + M = 1 et on définit par récurrence la suite
n≥0. Pour n = 0 : (a0 , b0 ) = (a, b). Soit n
N. On pose ln = bn - an et λn = an + M2ln, μn = an + Mln. Si f(λn ) ≥ f(μn ), on pose an+1 = λn et bn+1 = bn ; si f(λn) < f(μn), on pose an+1 = an et
bn+1 = μn .
a) Montrer que les suites (an) et (bn) convergent vers c ; déterminer ln.
b) Tester l’algorithme sur la fonction sin puis sur une fonction affine par morceaux.
699. Python. Soit g : t
R+*
. On pose, pour n
N*, un = g(n).
a) Quelle est la nature de la série de terme général un ?
b) On note Rn =
uk. Montrer : ∀n
c) Montrer que Rn - arctan
- arctan
N*,2arctan
=O
d) Écrire un programme calculant la somme de la série
≤ Rn ≤ 2arctan
.
un à 10-3 près.
.
700. Python. Pour tout n N*, on pose un = 0 si 9 apparaît dans l’écriture décimale de n et un = 1⁄n sinon. Pour n N, on note Sn =
Tn = S10n+1-1 - S10n-1 et An l’ensemble des entiers compris entre 10n et 10n+1 - 1 dont l’écriture décimale de comprend pas de 9.
uk,
a) Ecrire trois fonctions u, S et T qui renvoient respectivement un, Sn et Tn. On rappelle l’existence de la fonction str et de la méthode find des
chaînes de caractères.
b) Montrer que la série de terme général un converge.
⋅
c) Montrer que Tn =
d) En déduire
Tn ≤ Tn+1 ≤
Tn -
Tn.
⋅
e) Donner un encadrement de Tn en fonction de T3 et de q = 1 704. Python. Soient a > b > 0 et (γ) l’arc paramétré :
avec t
[-π, π].
a) Tracer (γ) avec 100 points avec une même échelle en x et en y.
b) Définir une fonction L(a,b) calculant L(a,b) = 4a
c) On pose αk =
N. crire une fonction α(k) calculant αk et représenter (αk )0≤k≤10.
, pour tout k
→ R par g(x) =
d) On définit g :
i) Montrer : ∀x
,∀k
.
N,g(k)(x) = -k!αk(1 - x)-k+1⁄2.
αkxk = -(n + 1)αn+1
ii) Montrer : g(x) +
iii) En déduire : ∀n
N,∀x
et μ = c⁄a.
d t avec c =
n
, pour n
≤
[0,1[,
709. Python. On définit, pour x = (xi)1≤i≤n
(R+*)n et λ = (λi)1≤i≤n
N et x
[0, 1[.
.
(R+)n tel que λ1 +
+ λn = 1 : A(x,λ) =
λixi et G(x,λ) =
x
.
a) Déterminer une inégalité entre A(x,λ) et G(x,λ).
b) Ecrire une fonction Python permettant de calculer A et G.
c) Ecrire une fonction Python permettant de générer aléatoirement x = (x i)1≤i≤n
d) Comparer
f) Montrer que : ln
et λ = (λi )1≤i≤n
(R+)n tel que λ1 +
+ λn = 1.
sur un exemple de telles familles x et λ, où l’on a posé xʹ = (1 - xi)1≤i≤n.
et
e) On pose, pour (u,v)
n
R+ × R+* :J(u,v) =
=
λi xi - A(x,λ)
g) Démontrer la conjecture de la question d) .
d t. Montrer la définition de J et l’égalité : (u - v)2J(u,v) =
2
J xi,A(x,λ) .
+ ln
⋅
712. Python. On pose g(x) = 4x3 + 6x2 - 3⁄2 et, pour x > 1⁄2 : f(x) =
Soit x > 1⁄2. On définit une suite un(x)
*
n
N
⋅
par : u1(x) = x et, pour k ≥ 1, uk+1 (x) = g uk(x) . On pose, pour n
N* :Pn(x) =
⋅
a) Programmer les fonctions f(x) et P(n,x) en Python.
b) Calculer f(
) - Pn(
) pour n
{1,2,3}.
c) Montrer que pour tout x > 1⁄2, l’équation f(x) =
d) Montrer que un(x)
*
n
N
f(y) possède une unique solution y = g(x).
est strictement croissante et tend vers + ∞.
e) Montrer que Pn(x) → f(x).
f) Montrer : f(x) - Pn(x) ~
714. Python. On considère a
~
f(x) - Pn-1(x)
3
1
R et xa une fonction de
lorsque n → +∞. Commentaire ?
(R+, R) vérifiant xa(0) = a et ∀t
R, xa ʹ(t) = cos t + cos(xa(t)).
a) Utiliser la méthode d’Euler pour tracer le graphe de xa sur [0,T] pour diverses valeurs de a et de T.
b) Si x
0
([0, T], R) = E, on pose ϕ(x) : t
a + sint +
cos(x(s))d s. Montrer : ∀n
N , ∀(x, y)
E2,∀t
[0,T], |ϕn(x)(t) - ϕn(y)(t)|≤
∥x - y∥∞.
c) Avec les notations précédentes, soit x
propriétés de xa.
E. Montrer que (ϕn(x)) converge uniformément vers un élément z de E, et que z vérifie les
716. Python. On définit la suite de fonctions (SN)N
N
par : ∀N
N , ∀x
R \ Z,SN(x) =
=
⋅
+
a) Ecrire une fonction S(N,x) renvoyant SN(x).
b) Ecrire une fonction prenant trois paramètres N, a et b et traçant le graphe de SN sur le segment [a, b].
c) Montrer que la suite (SN) converge simplement sur R \ Z vers une fonction que l’on notera S.
d) Montrer que la convergence est uniforme sur tout segment de R \ Z.
e) Montrer que S est continue sur R \ Z, impaire et 1-périodique.
f) Montrer : ∀x
R \ Z,S
g) Montrer que la fonction f : x
+S
= 2S(x).
πcotan(πx) - S(x) vérifie la même relation.
h) Montrer que f se prolonge par continuité sur R. En déduire S.
717. Python. Pour n
N, on pose an =
et l’on s’intéresse à la fonction S définie par : S(x) =
a)i) Donner une relation entre an+1 et an.
ii) Ecrire une fonction seqa(n) qui renvoie la liste des (n + 1) premières valeurs de (ak).
⋅
iii) Ecrire une fonction somp(n,x) qui renvoie la somme partielle
⋅
iv) Tracer le graphe de S100 sur [-4,001;4,001] en limitant la fenêtre des ordonnées à [-5, 5].
∞
b) Montrer que S est définie de de classe
c) i) Montrer que ∀t
,
antn.
=
ii) En déduire que S(x) =
sur R \ Z-.
d t pour tout x > 0.
d) Donner un équivalent de S en 0 et en + ∞.
722. Python. On note A l’ensemble des polynômes à coefficients dans N et, pour tout n
a) Montrer que An est fini pour tout n
b) Montrer : ∀n
N, u2n+1 = u2n et ∀n
c) Montrer : ∀n
N,u2n =
N : An =
P
A,P(2) = n .
N. On note un son cardinal. Calculer u0, u1 et u2 .
N*, u2n = u2n-1 + un.
uk.
d) Ecrire un programme Python qui renvoie la liste des 100 premiers termes de la suite (un).
e) Quelle conjecture peut-on faire sur le rayon de convergence de
723. Python. Pour n
a) Montrer : ∀n
unzn ? La démontrer.
N, on note Bn le nombre de partitions d’un ensemble à n éléments. On notera que B 0 = 1.
N, Bn+1 =
(n k) Bk.
b) Écrire une fonction Bell(n) donnant (B k)0≤k≤n.
c) Montrer que le rayon de convergence R de la série entière de terme général
d) Soit f : x
xn. Déterminer une équation différentielle dont f est solution. Exprimer f. Donner une expression de B n.
] - R,R[
e-x2⁄2 d x =
727. Python. On donne
a) On pose fn : t
.
tne-t.
i) Montrer que fn est intégrable sur R+ pour tout n
ii) Calculer In =
xn est strictement positif.
N.
fn(t)d t.
iii) Quel est le maximum de fn sur R+ ? On note tn la valeur en laquelle ce maximum est atteint. Que vaut fn(tn) ?
iv) Montrer qu’il existe une fonction gn telle que : In = fn(tn)
gn(u)d u.
b) i) Tracer le graphe de gn pour n = 1,2,5,10,102,103,104. Conjecture ?
ii) Montrer que In = nne-n
hn (x) = 1
hn(x)d x avec :
⋅
exp
c) i) Étudier la convergence simple de (hn) ?
ii) Tracer le graphe de hn pour n = 1,2,5,10,102,103,104.
iii) Peut-on dominer la suite (hn) ?
iv) En déduire la formule de Stirling.
732. Python. a) Soit (r,θ)
[0,1[ × R. Montrer que
Pr(θ)d θ pour r
b) Calculer
r|n|einθ
n
Z
est sommable et calculer sa somme Pr (θ).
[0,1[.
c) Tracer avec Python les graphes des Pr, pour r
d) Soit δ
e) Soit f
f) Pour r
]0, π[. Déterminer limr→10
.
Pr(θ)d θ et limr→1-
Pr(θ)d θ.
(R, R) 2π-périodique. Montrer que f est bornée et uniformément continue sur R .
[0, 1[, on pose fr : x
f(x - θ)Pr(θ)d θ.
R
Montrer que fr est 2π-périodique bornée et uniformément continue sur R.
g) Montrer que (fr)r
[0,1[
converge uniformément vers f lorsque r tend vers 1-.
h) Tracer plein de courbes pour fr et f sur l’intervalle [-4π,4π] lorsque f est la fonction 2π-périodique telle que ∀x
734. Python. Pour n
N*, on définit fn : R → R par fn(x) =
a) i) Justifier que fn est de classe
∞
[-π,π[,f(x) = x2.
exp(-n2x2).
. Etudier ses variations.
ii) Justifier que les fn dont intégrables sur R et que leurs intégrales sont toutes égales à une constante que l’on note C.
b) Avec Python :
i) tracer les graphes des fn sur [-5,5] pour n
{1,2,…,7} ;
ii) conjecturer la valeur de C.
On admettra désormais que C = 1.
c) Soit g une fonction intégrable sur R.
i) Montrer la définition de : fn*g : x
ii) Montrer que fn * g = g * fn.
fn(y)g(x-y)d y et g*fn : x
fn(x-y)g(y)d y.
iii) Montrer que fn * g est de classe
1
sur R.
iv) Expliquer comment on pourrait montrer que fn * g est de classe
∞
sur R.
d) On suppose de plus g bornée. Montrer que (fn * g)(x) → g(x) en tout point x où g est continue.
737. Python. On considère l’équation différentielle (E) : (1 - x)3yʹʹ = y.
a) Justifier l’existence de f :] -∞,1[→ R solution de (E) et vérifiant f(0) = 0 et fʹ(0) = 1. Tracer le graphe de f sur [0;0,9].
∞
b) Montrer que f est de classe
c) Pour n
.
N , on pose an =
d) Montrer que : ∀n
. Trouver une relation de récurrence liant les an.
N, |an|≤ 4n.
d) Étudier le signe de f sur [0,1[. Déterminer la limite en 1 - de f.
739. Python. On considère une suite (Xn) de variables indépendantes suivant la loi de Bernoulli (1⁄2) à valeurs dans {0,1} (avec ≪ pile ≫
= 1). Si L N*, on considère l’événement ≪ il n’y a pas deux piles consécutifs dans les L premiers lancers ≫.
a) Écrire un programme simulant N expériences aléatoires (de ces L lancers) et renvoyant la proportion d’expériences pour lesquelles
l’événement B est réalisé.
b) Calculer P(B) pour L = 2,3,4.
c) Soit AN l’événement ≪ on n’obtient que des piles à partir de l’indice N ≫ et A l’événement ≪on n’obtient que des piles à partir d’un
certain rang ≫. Montrer que P(AN) = 0, puis que P(A) = 0.
d) On considère l’univers Ω = {0,1}N* . On admet qu’il existe sur cet univers une tribu et une probabilité P tels que X n soit la variable qui à ω
= (ϵk)k≥1 associe ϵn. Montrer que A est infini et dénombrable.
740. Python. ⋆ a) Soit (Ω,
,P) un espace probabilisé, X une variable aléatoire à valeurs dans N , (X n)n≥1 une suite de variables aléatoires
i.i.d suivant la loi de X et N une variable aléatoire indépendante des X i et à valeurs dans N. Pour ω
a) Soient
X,
S,
N
les séries génératrices de X,S et N. Montrer : ∀t
[0,1],
S (t)
=
N•
Ω, on pose S(ω) =
Xk(ω).
X(t).
b) On suppose que X et N possèdent une espérance. Montrer que S possède une espérance et la calculer.
c) On suppose que X et N ont un moment d’ordre 2. Montrer que S possède un moment d’ordre 2 et calculer E(S2 ).
d) On étudie la transmission du nom de famille au cours des générations dans une société patriarcale. On suppose que le nombre de
descendants masculins d’un individu suit une loi de Poisson de paramètre λ ]0,+∞[. On note Z0 le nombre d’individus masculins au début
de l’étude, Zn le nombre de descendants à la n-ième génération. On suppose que Z0 = 1.
i) Écrire une fonction python renvoyant le nombre de descendants masculins à la n-ième génération.
ii) Fixer λ et n. Calculer une moyenne, sur un grand nombre de mesures, du nombre de descendants masculins. Comparer à E(Z n).
743. Python. a) On s’intéresse à la première apparition du motif 10 dans un tirage infini de pile ou face, indépendants et non truqués (pile=1
et face=0). On note Ai : ≪ le motif 10 apparaît pour la première fois au rang i ≫ (c’est-à-dire que le 1 est en position i - 1 et le 0 en
position i), qi = P(Ai) et T la variable aléatoire donnant le rang d’apparition du motif.
i) Ecrire un programme Python calculant la moyenne d’apparition du motif. Conjecture ?
ii) Montrer que P
= 1.
iii) Décrire An, pour n ≥ 2 et en déduire qn.
iv) Montrer que T est d’espérance finie et calculer son espérance.
b) On s’intéresse maintenant à la première apparition du motif 11. On note toujours T la variable aléatoire donnant le rang de première
apparition du motif et qn = P(T = n), n ≥ 2.
i) Calculer avec Python la moyenne d’apparition du motif. Conjecture ?
ii) Montrer que q2 = 1⁄4, q3 = 1⁄8 et ∀n ≥ 4,,qn =
+
⋅
iii) Montrer que T est d’espérance finie et calculer son espérance.
746. Python. Un fumeur a un paquet de N cigarettes dans chacune de ses deux poches. chaque fois qu’il veut fumer, il choisit une poche au
hasard pour prendre une cigarette. Il répète cela jusqu’à ce qu’il tombe sur un paquet vide. Soit XN la variable aléatoire qui donne le nombre
de cigarettes restant dans l’autre paquet à ce moment-là.
a) crire une fonction Python qui simule l’expérience et retourne XN. Faire la moyenne pour 1000 tests.
b) Proposer un espace probabilisé (Ω,T,P) qui modélise l’expérience.
c) Exprimer la loi de XN.
d) Montrer que (2N -k)P(XN = k + 1) = 2(N -k)P(XN = k). Calculer l’espérance de XN puis donner un équivalent de E(Xn).
e) Déterminer la loi et l’espérance de la variable aléatoire qui associe le nombre de cigarettes restantes dès qu’un des paquets est vide.
747. ⋆ Python. a) i) crire une fonction S(n,p) qui simule une variable aléatoire Sn = Y⁄n, où Y suit une loi binomiale
ii) En déduire une fonction test(n,p) qui affiche les courbes interpolant les points (k,Sk), puis
remarque-t-on ?
b) i) Soient t
R et x
(n,p).
et
. Que
[-1,1]. Montrer que exp(tx) ≤ (1 - x)e-t + (1 + x)et.
ii) On considère une variable aléatoire X telle que |X|≤ 1 et E(X) = 0. Montrer que exp (tX) est d’espérance finie et que : E exp(tX) ≤ cht ≤
exp(t2⁄2).
c) i) Soient X1 , …,Xn des variables aléatoires centrée indépendantes telles que, pour tout i, |Xi | ≤ ai . On pose Sn =
≤ exp
Xi. Montrer E
.
ii) Soit ϵ > 0. Montrer : P(Sn > ε) ≤ exp
.
a) En choisissant une bonne valeur de t, montrer : P(Sn > ε) ≤ exp
.
d) Commenter le résultat observé à la première question.
748. Python. Soit h définie sur [0,1] par : h(x) = -xlnx si x≠0 et h(0) = 0. Soit X une variable aléatoire réelle. On définit l’entropie de X
par H(X) =
h P(X = x) (si la famille est sommable).
a) i) Ecrire une fonction entropie(p) qui renvoie un couple (e,d), avec e = H(X) et d = e-lnn, où n est le nombre de valeurs prises par la
variable aléatoire X et p la liste des probabilités correspondantes.
ii) Ecrire une fonction loibin(n,p) et loiuni(N) qui renvoient respectivement la liste des probabilités d’une variable aléatoire suivant
respectivement les lois
(n,p) et U {0,…,N} .
iii) Calculer H(X) lorsque X ~
(15,2⁄5) puis lorsque X ~ U({0,…,15}).
iv) Montrer que toute variable aléatoire prenant un nombre n fini de valeurs admet une entropie avec 0 ≤ H(X) ≤ lnn.
v) Caractériser les cas d’égalité.
b) On considère une urne avec une boule noire et une boule rouge. On tire une boule : si elle est rouge, on s’arrête ; sinon, on la remet dans
l’urne avec une autre boule noire et l’on recommence. On note X le nombre de tirages, avec X = 0 si l’on n’obtient jamais de boule rouge. La
variable aléatoire X admet-elle une espérance ? une entropie ?
⋅ Montrer que l’on définit bien ainsi une loi. La variable aléatoire X admet-elle une
c) Pour n ≥ 2, on pose P(X = n) = ln2
espérance ? une entropie ?
750. Python. l’instant n = 0, une urne contient une boule blanche et une boule noire. l’instant n N * , on tire une boule au hasard. Si c’est
une boule blanche, on la remet et l’on ajoute une boule blanche et une boule noire. Si c’est une boule noire, on la remet et l’on ajoute deux
boules noires.
a) Ecrire une fonction Python qui prend en argument le nombre n de tirages et qui renvoie une liste L telle que L[i] soit égal au nombre de
boules blanches à l’instant i.
b) Effectuer environ 100 simulations pour n = 30. partir de ces simulations, tracer :
- le nombre moyen de boules blanches à l’instant i en fonction de i ;
- le carré du nombre moyen de boules blanches à l’instant i en fonction de i.
Quelle conjecture peut-on proposer ?
c) On note pn,r,s la probabilité d’avoir r boules blanches et s boules noires à l’instant n et : H(z, u, v) =
pn,r,survszn.
i) Que vaut pn,r,s si r + s≠2n + 2 ?
ii) Montrer que
E(Xn)zn, où Xn est la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanches à l’instant n.
(z,1,1) =
iii) Montrer que pn+1,r,s =
pn,r-1,s-1 +
751. Python. Soit M = (mi,j)1≤i,j≤n
pn,r,s-2.
n(R)
telle que mn,1 = m1,2 =
= mn-1,n = 1, les autres termes étant nuls.
a) Donner un polynôme annulateur de J.
On pose ak = e2ikπ⁄n. On considère un mobile qui se déplace sur les a k, qui à l’instant 0 est en a0 et qui, à chaque instant, fait un pas dans le sens
direct ou dans le sens indirect avec équiprobabilité et indépendance. On note S m la position de ce mobile à l’instant m.
b) Donner une fonction qui renvoie saut(n,m), position du mobile à l’instant m. Donner de même une fonction qui renvoie proba(n,m,N),
liste à n éléments contenant la proportion des N expériences aléatoires qui amènent le mobile en position a k (k = 0,…,n - 1) à l’instant m.
c) On suppose que n ≥ 3 est un entier impair. On note U m le vecteur colonne tel que Um (k) = P(Sm = k). Trouver A telle que U m+1 = AUm.
Donner le spectre de A, puis déterminer la limite de P(Sm = k) lorsque m tend vers + ∞.
d) Étudier le cas où n ≥ 2 est pair.
752. Python. On dispose d’une urne contenant N dés : Nr dés rouges, Nv dés verts et Nb dés bleus. On note pα = Nα⁄N la probabilité de tirer
un dé de couleur α {r,v,b}. Chaque dé possède 4 faces numérotées de 1 à 4. Pour le dé rouge, la probabilité d’obtenir 4 est de 1⁄2 et les
autres faces sont équiprobables. Pour le dé vert, les faces sont équiprobables. Pour le dé bleu, les faces paires sont équiprobables, les faces
impaires sont équiprobables, la probabilité d’obtenir une face paire étant deux fois plus grande que celle d’obtenir une face impaire.
a) Pour α
{r, v,b}, Xα est le numéro obtenu en lançant un dé de couleur α. Déterminer la loi de Xα .
b) Ecrire en Python les fonctions Xr(n), Xv(n) et Xb(n) qui simulent n lancers. Proposer une méthode pour vérifier la validité de ces
fonctions et la mettre en œuvre.
c) On tire un dé de l’urne et on le lance. On note X la variable aléatoire donnant le résultat du lancer. Exprimer la loi de X, son espérance m
et sa variance σ2 en fonction de pα .
d) On tire 3 dés avec remise et l’on note X, Y et Z les variables aléatoires donnant le résultat de ces 3 lancers. Exprimer l’espérance de W =
(X + Y + Z)2 et de T = XY Z en fonction de m et σ2 .
e) On tire un dé de l’urne, on le lance et l’on obtient 4. Quelle est la probabilité que le dé soit rouge ? crire un programme Python permettant
de le vérifier lorsque pr = 4⁄7, pv = 2⁄7 et pb = 1⁄7.
f) On tire 15 dés avec remises. On note R, V et B le nombre de dés respectivement rouges, verts et bleus. Calculer P(R = 4,V = 2,B = 9).
g) Même question pour un tirage avec remise.
753. Python. Soit (Ω,
a) Montrer que 1⋃
P
=
,P) un espace probabilisé. Pour A
Ai
=1-
(-1)k-1
, on note 1A sa fonction indicatrice.
(1 - 1Ai). En déduire :
où Jk(n) est l’ensemble des parties à k éléments de {1, …,n}.
P
b) On définit une permutation σ comme une liste σ(0),…,σ(n- 1) . Coder une fonction T(s) renvoyant l’indice du premier point fixe de la
permutation s.
c) On a défini ainsi une variable aléatoire T sur 𝔖n muni de la probabilité uniforme. Coder une fonction donnant P(T = n). Afficher P(T = n)
pour n {3,…,9} et une valeur approchée de 1⁄e. On pourra utiliser la fonction permutations du module itertools ainsi que de la syntaxe for
s in permutations(n).
d) On revient au cas général. On note Ei =
σ
𝔖
i) Que vaut P(Ei) ? P(Ei ∩ Ej), pour i≠j ? P
ii) Pour k
{0,…,n - 1}, montrer que : P(T ≤ k) =
,σ(i) = i
, pour J
P(T ≤ k).
ii) On admet
. Montrer que E(T) = n - (n + 1)
=
{0, … , n - 1}.
Jk(n) ?
⋅ En déduire P(T = n) et montrer que
(-1)j+1
e) i) Montrer que E(T) = n -
pour i
P(T = n)
n≥2
converge.
⋅ En déduire un équivalent de E(T) lorsque n tend vers + ∞.
iii) Montrer l’égalité admise à la question précédente.
754. Python.Un pion se déplace sur des cases numérotées par les entiers naturels. Initialement, il se trouve sur la case 0 et à chaque instant, il
se déplace d’un nombre strictement positif de cases. On note Y i la variable aléatoire donnant le nombre de cases parcourues lors de la i-ème
étape. On suppose que les Y i sont indépendantes et suivent la même loi. On pose : Sn =
= P(Y 1 = i) et u(t) =
Y i qui donne la position du pion à l’instant n, fi
fiti.
a) On suppose que Y 1 - 1 suit la loi de Bernoulli de paramètre p
]0,1[.
i) Ecrire une fonction qui prend un paramètre entier k et qui renvoie 1 si le pion atteint la case k et 0 sinon.
ii) Ecrire une fonction qui, sur une trentaine d’essais, renvoie la proportion de fois où le pion atteint la case k. Comparer à 1⁄E(Y 1).
b) On note Ek l’événement : ≪ le pion atteint la case k ≫ et uk = P(Ek).
i) Décrire l’événement Ek à l’aide des variable aléatoires Sn.
ii) Calculer P Ek ∩{Y 1 = j}
iii) En déduire ∀k
pour 1 ≤ j ≤ k.
N*,uk =
iv) Justifier la définition de f(t) =
uk-jfj.
uktk et montrer que f(t) =
⋅
v) Calculer f dans le cas où Y 1 - 1 suit la loi de Bernoulli de paramètre p
]0,1[ et en déduire les uk .
vi) On suppose que Y 1 prend un nombre fini de valeurs et que les entiers k tels que P(Y 1 = k)≠0 sont premiers entre eux dans leur ensemble.
Montrer que (uk) tend vers 1⁄E(Y 1 ).