633. Python. Pour n ≥ 1, on note π(n) le nombre d`entiers

633. Python. Pour n ≥ 1, on note π(n) le nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux à n.
a) Ecrire une fonction prem(n) qui renvoie vrai si n est premier et faux sinon.
b) Ecrire une fonction piprime(n) qui renvoie π(n).
c) Afficher les valeurs de n⁄π(n) pour n {101,102,…,106}. En déduire une conjecture sur la limite de n⁄π(n).
d) On suppose savoir ∀n ≥ 2,π(n) ≤ 2ln2 ⋅ Confirmer la conjecture de la question précédente.
On note (Ek ) l’équation n = kπ(n) d’inconnue n, avec k Q.
e) Montrer que toute solution de (Ek) est inférieure ou égale à 22k.
f) Trouver informatiquement les solutions de (E11⁄2).
g) On étudie maintenant (Ek) pour k N, k ≥ 2. On pose Fk = {n ≥ 2,n ≤ kπ(n)}. Montrer que Fk est fini et que son plus grand élément est
solution de (Ek).
634. Python. On note φ(n) l’indicateur d’Euler de n, U l’ensemble des racines de l’unité d’ordre exactement n dans C*, et Φd = (X -
z).
a) Donner les fonctions liste(n), qui renvoie {k {1,…,n} ; pgcd(k,n) = 1}, puis phi(n) qui renvoie φ(n), puis sumphi(n), qui renvoie
φ(d).
b) Montrer que Xn - 1 = Φd.
c) Montrer que ϕ(d) = n.
d) Montrer que Φn Z[X]. On pose Qp = Xp - 1 et n = pqr.
e) Soit p < q < r des nombres premiers tels que p + q > r. On pose P = . Montrer que Φn = .
f) Montrer qu’il existe S Q[X] tel que ϕn - P = XpqS.
g) Montrer que le coefficient de Xr dans Φn est - 2.
635. Python.⋆ Pour n ≥ 1, on note En = {0,1,…,n - 1} et Sn le groupe des permutations de En . En Python, une permutation σ Sn est
représentée par la liste σ(0),…,σ(n - 1) .
Pour i En , la période de i pour σ Sn est le plus petit entier p tel que σp(i) = i. On le note Per(σ, i).
a) Justifier l’existence de Per(σ,i) et montrer qu’elle est plus petite que n. Préciser l’ordre de σ en fonction des Per(σ,i).
b) Ecrire une fonction qui retourne la période d’un élément i pour une permutation σ.
c) Ecrire une fonction qui retourne la liste des périodes, pour une permutation σ, des éléments de En . Application : σ = [3,6,7,0,2,1,8,5,4,9].
d) Soit σ Sn . On définit une relation Rσ sur En par : xRσy⇐⇒∃k Z,y = σk(x).
e) Montrer que Rσ est une relation d’équivalence.
On appelle orbite d’un élément x de En sa classe d’équivalence. On la note Ωσ(x).
f) Montrer que Ωσ(x) = x,σ(x),…,σp-1(x) où p = Per(σ,x).

g) Ecrire une fonction qui retourne la liste des orbites d’une permutation σ.
639. Python.⋆ On note l’ensemble des polynômes réels à coefficients dans {0,1}.
a) Soient P et Q dans . Montrer que P(-2) = Q(-2) si et seulement si P = Q.
b) Soit N Z . Montrer qu’il existe P tel que N = P(-2). Écrire une fonction Python de variable d’entrée N et calculant P . Donner P
pour N = 2015.
640. Python. Soient l’ensemble des polynômes à coefficients dans {0,1} et W = z C;∃P ,P(z) = 0 .
a) Tracer dans le plan complexe les racines des éléments de de degré inférieur ou égal à 7.
b) Montrer que W est stable par z z et que W \{0} est stable par z 1⁄z.
c) Soient P W non nul et z une racine non nulle de P . Sans perte de généralité, on peut supposer P(0) = 1. Supposons |z| < 1 et
posons Q(X) = P(X) - 1 -⋅ Montrer que Q(z) ≤ et en déduire ≤⋅
d) Soit z W tel que |z| > 1. Montrer que ≤⋅
e) Soient A = et
B = . Donner pour les ensembles A et B des équations de la forme f(x, y) = 0 et g(x,y) = 0.
Tracer A et B sur le même graphique que la figure précédente.
f) Soit Pn = 1 + X + X3 + + X2n+1. Montrer qu’il existe un unique xn R tel que Pn (xn ) = 0, puis que xn [-1,0[.
g) Montrer que (xn) converge vers un élément de A.
641. Python. Soient P R[X] et Z(P) l’ensemble de ses racines. Pour (h,γ) R × U, on pose Ph,γ (z) = P(z + ih) - γP(z - ih).
a) (On pourra utiliser numpy.poly1d) crire un script retournant h = maxαZ(P) Imα. Déterminer l’ensemble des racines de Ph,γ pour cette
valeur de h et diverses valeurs de γ. Que peut-on conjecturer ?
b) Soit (α, z) C2. Montrer : |z+ih-α|2|z+ih-α|2-|z-ih-α|2|z-ih-α|2 = 8hImz (Rez-Reα)2+(Imz)2+h2-(Imα)2.
c) Prouver la conjecture.
644. Python. On utilisera la classe numpy de polynômes de la bibliothèque numpy.poly1d. On définit un polynôme par la liste décroissante
de ses coefficients ; par exemple, p = np.poly1d([1,2,3]) définit P(X) = X2 + 2X + 3. Les opérations sur les polynômes se font à l’aide des
opérateurs infixes +, *, * *, etc. Le polynôme P(Q) se calcule par p(q) et le quotient de la division euclidienne de P par Q par p⁄q.
a) On pose P = X3 - 1, Q = (X - 1)2 et R = (X2 - 6X + 9). Montrer que P divise R(Q) - X. Montrer que R est le seul polynôme de degré 2 tel
que P divise R(Q) - X.
Dans toute la suite, on se donne P et Q dans C[X], non constants.
b) On suppose qu’il existe R C[X] tel que P divise R(Q) - X. Montrer que ∀a C, deg(pgcd (P, Q - a)) ≤ 1.
c) On note n = deg P . On suppose que, pour toute racine complexe α de P , on a :
deg(pgcd (P, Q - Q(α))) ≤ 1. Soit T = λkXk tel que P divise T(Q).
d) Montrer que, si α ⁄= β sont racines de P , alors Q(α) et Q(β) sont des racines distinctes de T.
e) On note m la multiplicité de α comme racine de P , et q celle de Q(α) comme racine de T . Montrer que q ≥ m.

f) Qu’en déduit-on sur (λ0,…,λn-1) ?
g) On admet à présent l’existence de R tel que P divise R(Q) - X. Faire un bilan des questions précédentes.
h) On note P+ le demi-plan Rez > 0. Soient A et B dans n(C) dont les spectres soient inclus dans P+ , et telles que A2 = B2. Montrer que A
= B.
645. Python. Pour n N, on pose Pn = (X - k) R[X] et Rn = R(X).
a) i) Écrire une fonction qui calcule Rn(x).
ii) Écrire une fonction qui trace x Rn(x) pour (x,Rn(x)) [4,8] × [-5,5].
b) i) Pour k {0,…,n - 1}, montrer que Rn admet exactement un zéro dans l’intervalle ]k, k + 1[ ; ce zéro est noté an,k.
ii) Écrire une fonction qui calcule numériquement an,k.
iii) On fixe k N. Étudier expérimentalement le comportement de (an,k)n≥k.
c) i) L’entier k N étant fixé, étudier la convergence de (an,k)n≥k.
ii) Donner un développement asymptotique à deux termes de an,k quand n → +∞.
647. Python. On pose Ln la matrice triangulaire inférieure d’ordre n dont le terme d’indice (i, j) {0,…,n - 1}2 est le coefficient
binomial .
a) Calculer L pour p {1,…,10}. Conjecturer la forme de L pour tout (n,p) N*2.
b) Quel est le nombre d’opérations minimal pour obtenir L ?
c) On pose Xn = (1,x,…,xn-1). Calculer LntXn.
d) Conjecturer la forme de LntLn.
e) Montrer, pour tout (i,j) N2 : = ⋅ Prouver la conjecture de la question précédente.
648. Python.⋆ On considère n ≥ 2 joueurs, numérotés de 1 à n, participant à un tournoi où chacun affronte tous les autres, sans égalité
possible dans une rencontre. On définit la matrice A = (ai,j)1≤i,j≤n de la manière suivante : ai,i = 0, ai,j = 1 si i a gagné contre j, ai,j = -1 si j a
gagné contre i.
a) Ecrire une fonction renvoyant une matrice de tournoi aléatoire.
b) Calculer les déterminants de telles matrices pour des entiers n pairs et impairs. Qu’observe-t-on ?
c) Démontrer la propriété postulée pour les n impairs.
d) i) Soit Jn = (1)1≤i,j≤n. Calculer det(Jn - In).
ii) Soient M et N deux matrices à coefficients entiers telles que M - N ait tous ses coefficients pairs. Montrer que detM et detN ont même
parité.
iii) Démontrer la propriété postulée pour les n pairs.
658. Python. Soient n N*, A n(R) à coefficients strictement positifs. Pour x = t(x1,…,xn) et y = t (y1 , … , yn ) dans Rn, on écrit x ≤ y
si, pour tout i, xi ≤ yi et x < y si, pour tout i, xi < yi .
a) Écrire un programme Python qui renvoie la valeur propre de module maximal d’une matrice passée en argument.

b) Tester ce programme pour dix matrices à coefficients pris aléatoirement dans [1,2[.
c) Soit S = .
i) Soit λ S. Montrer qu’il existe x Rn tel que 0 ≤ x, xi = 1 et λx ≤ Ax.
ii) Soit λ une valeur propre complexe de A. Montrer que |λ| S.
iii) Montrer que S est majoré et expliciter un majorant.
iv) Montrer que S est compact.
v) Soit α = maxS. Montrer que α est une valeur propre de A strictement positive associée à un vecteur propre strictement positif.
d) Conclusion ?
660. Python. a) On pose A = .
i) Calculer A5 , A10, A20 et A50. Conjecture ?
ii) Calculer les valeurs propres de A. Démontrer la conjecture.
b) Soit n impair.
i) Coder en Python M = . Vérifier pour n = 9.
ii) Montrer que la somme des coefficients de chaque ligne est une constante S.
iii) On pose B = (1⁄S)M. Montrer que 1 est valeur propre de B et que toutes les autres valeurs propres sont de module strictement inférieur
à 1.
iv) En déduire la limite de (Bn)n N. Vérifier pour n = 9.
661. Python.⋆ Pour A = (ai,j) n(C) et B p(C), on note A ⊗ B la matrice de np (C ) : A ⊗ B =
.
a) Soit A = . Définir une fonction Aotimes(B) retournant A ⊗ B. Calculer A ⊗ B lorsque B = puis lorsque B =
. Les matrices obtenues sont-elles diagonalisables ?
b) Montrer que ⊗ est bilinéaire. Calculer tr(A ⊗ B).
c) Montrer que pour tout (A,Aʹ,B,Bʹ) nC) × nC) × p(C) × p(C), on a :

(A ⊗ B)(Aʹ ⊗ Bʹ) = (AAʹ) ⊗ (BBʹ). Qu’en déduire sur A ⊗ B si A et B sont inversibles ?
d) On suppose A semblable à Aʹ et B semblable à Bʹ. Que dire de A ⊗ B et Aʹ⊗ Bʹ ?
e) Quel est le rang de A ⊗ B ?
f) On suppose A et B diagonalisables. Montrer que A ⊗ B est diagonalisable.
g) Réciproquement, on suppose A ⊗ B diagonalisable, avec A≠0 et B≠0.
i) Montrer que B n’est pas nilpotente.
ii) On suppose A triangulaire ; montrer que B est diagonalisable.
iii) Conclure dans le cas général.
iv) Le résultat reste-t-il le même pour des matrices à coefficients réels ?
663. Python. a) Ecrire une fonction Python qui calcule, pour A n(C), la liste : tr(A),tr(A2),…,tr(An).
b) On considère le polynôme caractéristique χA = (-1)kσkXn-k, où (σk)k{1,…,n} sont les fonctions symétriques élémentaires et σ0 = 1.
Ecrire un code Python permettant d’obtenir les coefficients σk, en déterminant une relation de récurrence vérifiée par les fonctions
symétriques élémentaires et les sommes de Newton Sk = λ, où λ1 , … , λn sont les valeurs propres.
675. Python. Soit A nR).
a) Montrer qu’il existe une matrice A orthogonale et une matrice T triangulaire supérieure telles que A = OT. Ind. On pourra commencer par
le cas où A est inversible.
La fonction numpy.linalg.qr de Python donne une telle décomposition.
b) On pose N1 (A) = |ai,j|. Montrer que N1 admet un minimum mn et un maximum Mn sur n(R).
c) Utilisation de Python.
i) Ecrire une fonction randO(n) qui génère une matrice aléatoire A et qui renvoie la matrice orthogonale O de la question précédente.
ii) Ecrire une fonction N1 de la variable matricielle A qui renvoie N1(A). On pourra utiliser les fonctions numpy.sum et numpy.abs.
iii) Ecrire une fonction test(n) qui, sur 1000 tests, renvoie le minimum et le maximum des valeurs de N1 pour des matrices orthogonales
aléatoires.
d) Déterminer la valeur de mn. Pour quelles matrices, ce minimum est-il atteint ? Montrer qu’il y a un nombre fini de telles matrices.
e) Montrer que Mn ≤ n . Montrer que M 3 < 3 .
680. Python. Soient n N avec n ≥ 2 et A n(R). On cherche à établir l’existence de Ω n (R ) telle que tΩAΩ ait sa diagonale
constante.
a) Démontrer le résultat pour n = 2 et expliciter, en fonction de A, une matrice Ω SO2(R) telle que t ΩAΩ a sa diagonale constante.
b) On pose A = . Donner, à l’aide de python, B orthogonalement semblable à A de diagonale constante.
c) Soit Γ = . Montrer que Γ est compact.