Régression et modèle de mélange pour le débruitage de signaux E. Côme Co-direction : T. Denoeux (UTC) P. Aknin (INRETS) Institut National de Recherche sur les Transports et leur Sécurité (INRETS) 2, avenue du général Malleret-Joinville 94114, Arcueil [email protected] Etienne Côme () Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 1/8 Introduction Introduction Objectifs : Débruitage et paramétrisation de signaux d’inspection des circuits de voie ⇒ Pour le diagnostic des condensateurs d’accord 700 600 500 400 300 200 100 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 4 x 10 Signal d’inspection zoom sur quelques chaı̂nettes A priori : Signal = succession de chaı̂nettes (polynômes du second degré) Présence d’un bruit non symétrique (2 sources) et d’espérance non nulle Etienne Côme () Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 2/8 Introduction Pourquoi un modèle de régression ? I Information utile pour le diagnostic dans les points de rebroussement ⇒ Filtrage spectral peu adapté (disparition des points de rebroussement) I Classe de fonctions de régression bien définie (polynôme degré 2) I Coefficients des polynômes peuvent aussi servir de descripteur pour le signal Etienne Côme () Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 3/8 Introduction Pourquoi un modèle de régression ? I Information utile pour le diagnostic dans les points de rebroussement ⇒ Filtrage spectral peu adapté (disparition des points de rebroussement) I Classe de fonctions de régression bien définie (polynôme degré 2) I Coefficients des polynômes peuvent aussi servir de descripteur pour le signal Problème Présence d’un bruit non symétrique (2 sources physiques) et d’espérance non nulle Etienne Côme () Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 3/8 Introduction Pourquoi un modèle de régression ? I Information utile pour le diagnostic dans les points de rebroussement ⇒ Filtrage spectral peu adapté (disparition des points de rebroussement) I Classe de fonctions de régression bien définie (polynôme degré 2) I Coefficients des polynômes peuvent aussi servir de descripteur pour le signal Problème Présence d’un bruit non symétrique (2 sources physiques) et d’espérance non nulle Solution Modèle de bruit prenant en compte cette particularité : Le Modèle de Mélange Estimation des paramètres de régression et du mélange grâce à un algorithme de type ”Generalized EM” Etienne Côme () Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 3/8 Le modèle Le modèle Les données : Le signal est représenté par un échantillon indépendant ((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )) issu du couple (x, y ) où x est la variable indépendante, et y la variable dépendante Etienne Côme () Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 4/8 Le modèle Le modèle Les données : Le signal est représenté par un échantillon indépendant ((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )) issu du couple (x, y ) où x est la variable indépendante, et y la variable dépendante Le modèle : Etienne Côme () y = ax 2 + bx + c + ε PK 2 f (ε) = k=1 πk N (ε; µk , σk ) Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 4/8 Le modèle Le modèle Les données : Le signal est représenté par un échantillon indépendant ((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )) issu du couple (x, y ) où x est la variable indépendante, et y la variable dépendante Le modèle : y = ax 2 + bx + c + ε PK 2 f (ε) = k=1 πk N (ε; µk , σk ) Avantages : Permet de modéliser diverses situations (bruit non symétrique) Adapté au problème à résoudre Etienne Côme () Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 4/8 L’Estimation L’Estimation Densité de y : f (y ; Ψ) = K X N (y ; ax 2 + bx + ck , σk2 ) k=1 où ck = c + µk , Ψ = (a, b, ck , σk2 ) , k ∈ {1..K } est le vecteur paramètre du modèle Estimation par Maximum de Vraisemblance grâce à un algorithme de type ”Generalized EM” Etienne Côme () Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 5/8 L’algorithme L’algorithme L’étape E : L’étape E est similaire à l’étape E de l’algorithme EM classique pour les modèles de mélange. L’étape M : Maximisation ou Croissance ? L’étapes M est délicate Il est possible de maximiser analytiquement / (a, b, ck ) pour σk fixé Réciproquement il est possible de maximiser / σk pour (a, b, ck ) fixé Il est donc possible de garantir la croissance de la vraisemblance entre l’itération q et l’itération q + 1 ⇒ Algorithme de type ”Generalized EM” Etienne Côme () Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 6/8 Problème d’identification du signal Problème d’identification du signal Quel signal ? L’algorithme GEM permet de trouver les paramètres Ψ = (a, b, ck , σk2 ) , k ∈ {1, K } Différentes solutions sont envisageables pour reconstruire le signal : . Choix d’un mode (nécessite des connaissances a priori) . Calcul de l’espérance (hypothèse : Bruit d’espérance nulle) Etienne Côme () Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 7/8 Résultats & perspectives Résultats & perspectives 0.05 0.045 440 0.04 420 0.035 0.03 400 0.025 380 0.02 0.015 360 0.01 340 320 0.005 200 400 600 800 1000 1200 0 -80 -60 -40 -20 0 20 40 (A gauche) Signal réel et signal débruité ; (à droite) histogramme et densité mélange estimée du bruit Perspectives : Test quantitatifs (données simulées) Etienne Côme () Modèle de mélange pour le débruitage 19 mars 2006 8/8