Angles 1 1. Vocabulaire. Soit l`angle de sommet O et de côtés [Ox et

Angles 1
1. Vocabulaire.
Soit l'angle de sommet O et de côtés [Ox et [Oy
On le note:
n
x
Oy
Mesure de l'angle:
n
38mes xOy
=
°
ou par abus de language :
n
38xOy =°
Remarque
En notant l'angle
n
x
Oy , on note en fait deux angles:
l'angle saillant dont la mesure est inférieure à 180° et
l'angle rentrant dont la mesure est supérieure à 180°.
Dans la suite, on ne considère que l'angle saillant,
que l'on appelle simplement angle.
2. Angles correspondants. Angles supplémentaires. Angles opposés par le sommet.
Exemples
n
x
Oy et sont des angles complémentaires
n
yOz
n
x
Oy et sont des angles supplémentaires
n
yOz
nn
27 63 90xOy yOz+=°+°=°
nn
45 135 180xOy yOz
+
=°+ °= °
n
x
Oy et
n
zOt sont des angles opposés par le sommet
n
n
30xOy zOt
=
=°
Définitions
Deux angles sont complémentaires et si la somme de leurs mesures vaut 90°.
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut 180°.
Deux angles sont opposés par le sommet si les côtés de l'un sont le prolongement des côtés de l'autre.

Angles 2
Propriété des angles opposés par le sommet (admise sans démonstration).
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
3. Angles alternes-internes. Angles complémentaires.
Définitions
Soient:
• deux droites '
x
x et ' yy
• ' une sécante aux deux droites zz
•
{
}
''Oxxzz=∩ et
{
}
''' Oyyzz=∩
alors,
n
n
' et ' '
x
Oz yO z sont correspondants
n n
' et ' '
x
Oz y O z sont alternes-internes
Propriétés (admises sans démonstration)
Si '// '
x
xyy alors les angles correspondants et les angles altenes-internes ont la même mesure.
Si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors '// '
x
xyy.
Si deux angles correspondants ont la même mesure, alors '// '
x
xyy.

Angles 3
4. Somme des angles d'un triangle. Somme des angles d'un quadrilatère.
Somme des angles d'un triangle
n
n
n
75 60 45 180BAC CBA ACB++ =°+°+°=°
La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Démonstration
Soit la parallèle à DE
B
C passant par A.
n
n
et CBA DAB sont alternes-internes et , donc: //DE BC
n
n
CBA DAB=
n
n
et ACB CAE sont alternes-internes et , donc: //DE BC
n
n
ACB CAE=
n
n n
, et DAB BAC CAE sont supplémentaires, donc :
n
n n
180DAB BAC CAE
+
+=°
Finalement :
n
n
n
n
n n
180CBA BAC ACB DAB BAC CAE++=++=°
Somme des angles d'un quadrilatère non croisé
n
n
n
n
45 80 85 150 360BAC CBA DCB ADC
+
++=°+°+°+°=°
La somme des angles d'un quadrilatère non croisé vaut 360°.

Angles 4
Démonstration
Soit un quadrilatère non croisé (Viereck) quelconque. ABCD
On peut partager en deux triangles et . ABCD ABC ACD
n
n
n
n
B
AD CBA DCB ADC++ +
n
n
n
n
n
n
n
n
BAD DCB
CAD BAC CBA ACB DCA ADC=+++++
n
n
n
n
n
n
180 180
B
AC CBA ACB CAD DCA ADC
°°
=+++++
360=°
5. Bissectrice d'un angle.
Définition
La bissectrice d'un angle
est la droite qui partage
l'angle en deux angles de
même mesure.
(
)
n
Oy biss xOz=
6. Triangles isocèles. Triangles équilatéraux.
Définition
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés
de même longueur.

Angles 5
Propriétés (admises sans démonstration)
Si un triangle a deux angles de même mesure,
alors il est isocèle.
Si un triangle est isocèle, alors il a deux angles
de même mesure.
Cas particulier (triangle équilatéral)
Définition
Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois
côtés de même longueur.
Propriétés (admises sans démonstration)
Si un triangle a trois côtés de même mesure,
alors il a trois angles de 60°.
Si un triangle a deux angles de 60°, alors il est
équilatéral.
7. Triangles rectangles.
Définition
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle
droit.