Angles 1 1. Vocabulaire. Soit l`angle de sommet O et de côtés [Ox et

Angles
1
1. Vocabulaire.
Soit l'angle de sommet O et de côtés [Ox et [Oy
n
On le note: xOy
n = 38°
Mesure de l'angle: mes xOy
n = 38°
ou par abus de language : xOy
Remarque
n , on note en fait deux angles:
En notant l'angle xOy
l'angle saillant dont la mesure est inférieure à 180° et
l'angle rentrant dont la mesure est supérieure à 180°.
Dans la suite, on ne considère que l'angle saillant,
que l'on appelle simplement angle.
2. Angles correspondants. Angles supplémentaires. Angles opposés par le sommet.
Exemples
n et n
xOy
yOz sont des angles complémentaires
n+n
xOy
yOz = 27° + 63° = 90°
n et n
xOy
yOz sont des angles supplémentaires
n+n
xOy
yOz = 45° + 135° = 180°
n et zOt
n sont des angles opposés par le sommet
xOy
n = zOt
n = 30°
xOy
Définitions
Deux angles sont complémentaires et si la somme de leurs mesures vaut 90°.
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut 180°.
Deux angles sont opposés par le sommet si les côtés de l'un sont le prolongement des côtés de l'autre.
Angles
Propriété des angles opposés par le sommet (admise sans démonstration).
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
3. Angles alternes-internes. Angles complémentaires.
Définitions
Soient:
• deux droites xx ' et yy '
•
•
zz ' une sécante aux deux droites
{O} = xx '∩ zz ' et {O '} = yy '∩ zz '
alors,
n' et n
xOz
yO ' z ' sont correspondants
n' et n
xOz
y ' O ' z sont alternes-internes
Propriétés (admises sans démonstration)
Si xx '// yy ' alors les angles correspondants et les angles altenes-internes ont la même mesure.
Si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors xx '// yy ' .
Si deux angles correspondants ont la même mesure, alors xx '// yy ' .
2
Angles
4. Somme des angles d'un triangle. Somme des angles d'un quadrilatère.
Somme des angles d'un triangle
n + CBA
n+n
BAC
ACB = 75° + 60° + 45° = 180°
La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Démonstration
Soit DE la parallèle à BC passant par A.
n et DAB
n sont alternes-internes et DE // BC , donc: CBA
n = DAB
n
CBA
n
n sont alternes-internes et DE // BC , donc: n
n
ACB et CAE
ACB = CAE
n , BAC
n et CAE
n sont supplémentaires, donc : DAB
n + BAC
n + CAE
n = 180°
DAB
n + BAC
n+n
n + BAC
n + CAE
n = 180°
ACB = DAB
Finalement : CBA
Somme des angles d'un quadrilatère non croisé
n + CBA
n + DCB
n+n
BAC
ADC = 45° + 80° + 85° + 150° = 360°
La somme des angles d'un quadrilatère non croisé vaut 360°.
3
Angles
4
Démonstration
Soit ABCD un quadrilatère non croisé (Viereck) quelconque.
On peut partager ABCD en deux triangles ABC et ACD .
n + CBA
n + DCB
n+n
BAD
ADC
n
n
n
n
n+n
= CAD
+ BAC + CBA + ACB + DCA
ADC
n
BAD
n
DCB
n + CBA
n+n
n + DCA
n+n
= BAC
ACB
ADC
+ CAD
180°
180°
= 360°
5. Bissectrice d'un angle.
Définition
La bissectrice d'un angle
est la droite qui partage
l'angle en deux angles de
même mesure.
6. Triangles isocèles. Triangles équilatéraux.
Définition
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés
de même longueur.
n
( Oy ) = biss xOz
Angles
Propriétés (admises sans démonstration)
Si un triangle a deux angles de même mesure,
alors il est isocèle.
Si un triangle est isocèle, alors il a deux angles
de même mesure.
Cas particulier (triangle équilatéral)
Définition
Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois
côtés de même longueur.
Propriétés (admises sans démonstration)
Si un triangle a trois côtés de même mesure,
alors il a trois angles de 60°.
Si un triangle a deux angles de 60°, alors il est
équilatéral.
7. Triangles rectangles.
Définition
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle
droit.
5
Angles
Propriétés
Si un triangle est inscrit dans un demi-cercle, alors
il est rectangle.
Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans
un demi-cercle.
Démonstration
Soit ABC un triangle inscrit dans le demi-cercle de diamètre [ BC ] .
Montrons que ABC est rectangle en A.
n
BAC
n + OAC
n
= BAO
1
n + 2OAC
n
= ⋅ 2 BAO
2
1 ⎛n n n n⎞
= ⋅ ⎜ OBA
BAO + OAC + N
ACO ⎟
N + ⎟
2 ⎜⎝ CBA
n
n
n
ACB ⎠
BAC
1 n n n
= ⋅ CBA
+ BAC + ACB
2
= 12 ⋅180°
(
(
)
)
= 90°
Réciproquement, soit ABC un triangle rectangle en A.
Montrons que ABC est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [ BC ] .
Soient O le milieu de [ BC ] et A’ le symétrique de A par rapport à O.
n = 90°
mil [ BC ] = mil [ AA '] ∧ BAC
⇒ ABA ' C est un parallélogramme avec un angle droit
⇒ ABA ' C est un rectangle
⇒ OA = OB = OC
⇒ A, B et C sont sur le cercle de centre O et de diamètre [ BC ]
6
Angles
Exercices pour s’entraîner
1) Sur la figure exacte ci-dessous
n = 28° ; CBD
n = 84° et DCB
n = 35°.
AE // BD ; BED
Déterminez les angles du triangle ABE.
n = 40° ; PQ = PR ; RQ = RS et PQ // RS.
2) Sur la figure (exacte) ci-contre, QPR
Déterminez les angles du triangle RSI.
3) Sur la figure exacte ci-dessous, ABDF est un carré, ABE et BCD sont des triangles
équilatéraux. Déterminez les angles du triangle DEC.
7
Angles
8
4) Dans un triangle isocèle, la différence entre deux des angles vaut 96°. Alors un des angles de ce
triangle vaut
A : 24° B : 32° C : 48° D : 124° E : Il n’existe aucun triangle ayant la propriété énoncée.
5) Si les angles extérieurs α ', β ' et γ ' sont proportionnels à 4, 5 et 6, alors les angles intérieurs
correspondants α , β et γ sont proportionnels à
A : 3,2 et 1
B : 4,2 et 1
C : 4,3 et 1
D : 7,5 et 3
E : 20, 15 et 8
6) Que vaut l’angle intérieur d’un polygone régulier à douze côtés ?
A : 168°
B : 150°
C : 135°
D : 133°20’
E : 120°
7) La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un polygone convexe est 3240°.
Quel est le nombre de côtés de ce polygone ?
8) Sur un demi-cercle de diamètre [ AB ] et de centre O, soit C tel que n
AOC = 9° et D tel que
n = 21° . Quel est, en degrés, la mesure principale ( ≤ 180° ) de l’angle des droites AC et BD.
BOD
Angles
9
9) Dans la figure (exacte) ci-dessous,le triangle ABC est isocèle de sommet principal A et le
n = δ ; DEB
n = ε et EFC
n =φ ,
triangle DEF, qui lui est inscrit est équilatéral. Si FDA
laquelle des relations suivantes est toujours vraie?
A : 2ε = δ + φ
B : 2ε = δ − φ
C : 2δ = ε + φ
D : 2δ = ε − φ
E : δ + ε + φ = 120°
10) Dans la figue (imprécise), P' est le symétrique de P par rapport à QR et Q' est le symétrique de Q
n vaut 50°, quelle est la mesure de l'angle QSP
n?
par rapport à PR. Si l'angle PRQ
Q'
P
R
S
Q
P'
11) Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, quelle est la mesure de l'angle n
ABG ?
A : 45°
B : 60°
C : 90°
D : 120°
H
E
G
F
D
A
E : 135°
C
B
Angles
Réponses
1)
n = CBD
n = 84°
BAE
n
AEB = 180° − 84° − 35° − 28° = 33°
n = 180° − 84° − 33° = 63°
EBA
2)
n = QPR
n = 40°
SRI
n = PRQ
n = 180° − 40° = 70°
RQP
2
n = QSR
n = ISR
n = 180° − 110° = 35°
RQS
2
n
RIS = 180° − 40° − 35° = 105°
10
Angles
3)
n = DBA
n = FDB
n=n
BAF
AFD = 90°
n
n
n
n = DCB
n = BDC
n = 60°
BAE = EBA = AEB = 60° ; CBD
n = 90° − 60° = 30°
DBE
n = EDB
n = 180° − 30° = 75°
BE = BD ⇒ BED
2
n = 75° + 60° = 135°
EDC
n = 60° + 30° = 90°
CBE
n = ECB
n = 180° − 90° = 45°
BE = BC ⇒ BEC
2
n
CED = 75° − 45° = 30°
n = 180° − 135° − 30° = 15°
DCE
11
Angles
12
4)
n
n = CBA
n = 180° − ACB ; α = β = 180° − γ
BAC
2
2
1°) cas de figure : γ − α = 96° ⇔ γ = α + 96°
(2) dans (1) : α =
180° − (α + 96° )
γ = 28° + 96° = 124°
2
( 2)
⇔ α = 28°
2°) cas de figure : α − γ = 96° ⇔ γ = α − 96°
(3) dans (1) : α =
(1)
( 3)
180° − (α − 96° )
⇔ α = 92°
2
γ = 92° − 96° = −4° impossible, car γ > 0 .
Par conséquent, un des angles mesure 124°.
5)
⎛
⎞
α '+ β '+ γ ' = (180° − α ) + (180° − β ) + (180° − γ ) = 540° − ⎜ α + β + γ ⎟ = 360°
⎜ ⎟
180°
⎝
⎠
4k + 5k + 6k = 360° ⇔ k = 24° ⇒ α ' = 4 ⋅ 24° = 96° ; β ' = 5 ⋅ 24° = 120° ; γ ' = 6 ⋅ 24° = 144°
α = 180° − α ' = 180° − 96° = 84° ; β = 180° − β ' = 180° − 120° = 60° ; γ = 180° − γ ' = 180° − 144° = 36°
α 84° 7 γ 60° 5
=
= ;
=
= ⇒ α , β et γ sont proportionnels à 7,5 et 3.
β 60° 5 β 36° 3
Angles
6) Mesure d’un angle d’un polygone régulier à n côtés : 2 ⋅
13
360°
n = 180° − 360°
n
2
180° −
360°
= 180° − 30° = 150°
12
360°
Triangle équilatéral : n = 3 : 180° −
= 180° − 120° = 60°
3
360°
= 180° − 90° = 90°
Carré : n = 4 : 180° −
4
Si n = 12 : 180° −
360° ⎞
⎛
7) D’après (6) : n ⎜180° −
⎟ = 3240° ⇔ 180°n − 360° = 3240° ⇔ n = 20
n ⎠
⎝
8) Soit E le point d’intersection de AC et BD, alors
180° − 9° 171°
n=n
n = ODB
n = 180° − 21° = 159° = 79,5°
OAC
ACO =
=
= 85,5° ; DBO
2
2
2
2
n
DOC = 180° − 9° − 21° = 150°
n = 360° − OCE
n − EDO
n − DOC
n = 360° − ⎛ 180° − 171° ⎞ − ⎛180° − 159° ⎞ − 150° = 15°
CED
⎜
⎟ ⎜
⎟
2 ⎠ ⎝
2 ⎠
⎝
Angles
14
9)
180° − α
α
n=n
ACB = β =
= 90° −
ABC est un triangle isocèle de sommet principal A, donc : CBA
2
2
La somme des angles du triangle BED vaut 180°, donc :
n = 180° − ⎛ 90° − α ⎞ − ε = 90° + α − ε
BDE
(1)
⎜
⎟
2⎠
2
⎝
n , EDF
n et FDA
n sont supplémentaires, donc:
Les angles BDE
( 2)
n = 180° − EDF
n − FDA
n = 180° − 60° − δ = 120° − δ
BDE
(1)
et ( 2 ) : 90° +
α
2
− ε = 120° − δ ⇔ δ − ε = 30° −
α
2
( 3)
La somme des angles du triangle ECF vaut 180°, donc :
n = 180° − ⎛ 90° − α ⎞ − φ = 90° + α − φ
CEF
( 4)
⎜
⎟
2⎠
2
⎝
n , FED
n et DEB
n sont supplémentaires, donc:
Les angles CEF
( 5)
n = 180° − FED
n − DEB
n = 180° − 60° − ε = 120° − ε
CEF
( 4)
et ( 5 ) : 90° +
α
2
− φ = 120° − ε ⇔ ε − φ = 30° −
α
2
( 6)
D’après (3) et (6) : δ − ε = ε − φ ⇔ δ + φ = 2ε ⇔ 2ε = δ + φ
Angles
10)
n
n
QP’P est isocèle de sommet principal Q, donc : QP
' I = QPI
n
n
PQ’Q est isocèle de sommet principal P, donc : PQ
' J = JQP
La somme des angles du triangle PQK vaut 180°, donc :
n + KQP
n = IP
n
n
QPK
' Q + PQ
' J = 180° − 130° = 50°
La somme des angles du quadrilatère SP’KQ’ vaut 360°, donc:
n = 360° − (130° + 50° + 50° ) − IP
n
n
QSP
' Q − PQ
'J
= 360° − 230° − 50°
= 80°
15
Angles
16
11)
G
H
E
G
F
2a
D
C
90° → C
A
B
A
a
B