Optimisation Combinatoire 2A Algorithmes d`Edmonds

Optimisation Combinatoire 2A
Algorithmes d’Edmonds
Zolt´an Szigeti
Ensimag
INP Grenoble
Z. Szigeti (Ensimag) OC 2A 1 / 12

Couplages dans les graphes g´en´eraux
Th´eor`eme de Tutte
Gadmet un couplage parfait ⇐⇒ co(G−X)≤ |X| ∀X⊆V(G).
Th´eor`eme de Berge
Un couplage Mde Gest de cardinal maximum ⇐⇒ il n’existe pas de
chaˆıne M-augmentante.
Probl`eme
Trouver un couplage parfait.
Id´ee 1
1Trouver une chaˆıne augmentante.
2Comme l’algorithme marquage utilise une arborescence pour trouver
un chemin de s`a t,nous allons construire un arbre altern´e.
Z. Szigeti (Ensimag) OC 2A 1 / 12

Arbres
D´efinition : ´ Etant donn´es un graphe Get un couplage Mde G
1arbre M-altern´e :
1un arbre Fdans G,
2un sommet rde Fest M-insatur´e (rest la racine de F),
3dans F,chaque sommet de la distance impaire de rest de degr´e 2,
4la chaˆıne ´el´ementaire unique dans Fde r`a chaque sommet vde Fest
M-altern´ee.
2sommet impair/pair :v∈V(F) tel que distF(r,v) est impair/pair.
3AFet DF: L’ensemble des sommets impairs/pairs de F.
Remarque
|DF|=|AF|+ 1 :
1F−rposs`ede un couplage parfait reliant chaque fois un sommet de
DF`a un sommet de AF,
2rest dans DF.
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Fleurs
Exemple
o`u l’id´ee de construire un arbre altern´e n’est pas suffisante.
D´efinition : ´ Etant donn´es un arbre M-altern´e F
fleur : le cycle impair unique de F+uv o`u uet vsont deux sommets pairs
de F.
Id´ee 2 d’Edmonds
Contracter la fleur.
Remarque
1On aura les pseudo-sommets vC!
2M/Cest un couplage de G/C.
3F/Cest un arbre M/C-altern´e.
4Chaque pseudo sommet est un sommet pair.
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Algorithme de couplage parfait (Edmonds)
Entr´ ee: G= (V,E) un graphe.
Sortie :Un couplage parfait Mde Gou
un ensemble Xqui viole la condition de Tutte.
Etape 0. Initialisation.
M0:= ∅,i:= 0,
G0:= G,j:= 0.
Etape 1. Condition 1 d’arrˆet.
Si tous les sommets de Gsont Mi-satur´es alors arrˆeter avec Mi.
Etape 2. Commencement de la construction d’un arbre altern´e.
Soit run sommet Mi-insatur´e.
F0:= (r,∅),k:= 0.
Etape 3. Condition 2 d’arrˆet.
Si chaque arˆete de Gjsortant d’un sommet Fk-pair entre dans
un sommet Fk-impair alors arrˆeter avec X:= l’ensemble des
sommets Fk-impairs.
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