MAT 311 2013 Analyse réelle et complexe Feuille d’exercices : Topologie. Exercice 1. * Soit E un espace vectoriel normé et soient A, B ⊂ E. On note A + B := {x + y : x ∈ A, y ∈ B}. 1) On suppose que A est ouvert. Montrer que A + B est un ouvert. 2) On suppose que A un fermé et B un compact. Montrer A + B est un fermé. 3) Le résultat du 2) est-il toujours vrai si l’on suppose simplement A et B fermés ? Exercice 2. * On définit sur MN (K) la norme N X kAk := max |aij | , i=1,...,N j=1 si A = (aij )1≤i,j≤N . 1) Montrer que kA Bk ≤ kAk kBk , pour tous A, B ∈ MN (K). 2) Montrer que la norme k k est subordonnée à la norme kxk∞ := maxi=1,...,N |xi | sur KN . 3) Retrouver le résultat de la question 1). 4) Quelle est la norme sur MN (K) subordonnée à la norme kxk1 := N X |xi | ? i=1 Exercice 3. * Soit f : R → R une fonction uniformément continue. Montrer qu’il existe deux constantes C1 , C2 > 0 telles que |f (x)| ≤ C1 + C2 |x|, pour tout x ∈ R. Exercice 4. ** Soit (X, d) un espace métrique et Y ⊂ X. 1) Vérifier que l’application fY : X → R définie par fY (x) := inf d(x, y), y∈Y est continue et qu’elle est en fait 1-lipshitzienne i.e. |fY (x) − fY (x0 )| ≤ d(x, x0 ) pour tous x, x0 ∈ X. 2) Montrer que x ∈ Y (adhérence de Y ) si et seulement si fY (x) = 0. 3) Montrer que les fermés de (X, d) sont les ensembles de zéros des fonctions continues sur X à valeurs réelles. 4) Soient A, B ⊂ X. On suppose que A ∩ B = A ∩ B = ∅. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints U et V tels que A ⊂ U et B ⊂ V . 1 2 Exercice 5. *** (Topologie quotient) On note R/Q le quotient de l’ensemble R par la relation d’équivalence définie par : x ∼ y si et seulement si y − x ∈ Q. On note π la surjection canonique de R dans R/Q. On définit la topologie quotient sur R/Q de la manière suivante : U est un ouvert de R/Q si et seulement si π −1 (U ) est un ouvert de R (pour la topologie usuelle). Déterminer les ouverts de R/Q. Exercice 6. ** Montrer qu’un ouvert connexe U de RN est connexe par arcs. Montrer que l’on peut même joindre deux points de U par une ligne polygonale. Plus généralement, montrer qu’un ouvert connexe d’un K-espace vectoriel normé est connexe par arcs. Exercice 7. *** Construire un sous-ensemble fermé de R2 qui est connexe mais qui n’est pas connexe par arc. Exercice 8. * Soit X un espace métrique. 1) Soit f : X → X une application continue. Montrer que l’ensemble des points fixes de f est fermé. 2) Soient f, g : X → X continues. Montrer que l’ensemble des points x tels que f (x) = g(x) est un fermé. Exercice 9. * Soit X ⊂ Rn un ensemble convexe. Montrer que son intérieur X̊ et son adhérence X sont convexes. Exercice 10. ** Montrer que R et R2 ne sont pas homéomorphes, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’application f : R → R2 qui soit continue, bijective et telle que f −1 soit aussi continue. Exercice 11. ** Soit (E, N ) un espace vectoriel normé de dimension infinie, L : E → R une forme linéaire non nulle et H := Ker L l’hyperplan associé à L. 1) Montrer que deux formes linéaires non nulles définissent les mêmes hyperplans si et seulement si elles sont proportionnelles. 2) Montrer que E − H est dense dans E et que H est connexe. 3) Montrer que L est continue si et seulement si H est fermé dans E. Montrer dans ce cas que E − H a exactement deux composantes connexes. 4) Supposons que L n’est pas continue. a) Montrer que H est dense. b) En déduire que {x ∈ E : L(x) = 1} est dense dans E. c) Montrer que E − H est connexe. Exercice 12. ** Montrer qu’un sous-groupe de (R, +) est soit dense dans R soit de la forme a Z, avec a ∈ R. Exercice 13. ** [Distance de Hausdorff] Étant donnés A, B ⊂ RN , on note ! d(A, B) = max sup inf d(x, y) , sup inf d(x, y) . y∈B x∈A x∈A y∈B Vérifier que d est une distance sur l’ensemble des compacts de RN . Exercice 14. *** Soit f : RN → R une fonction continue. 1) Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes : a) Pour tout M > 0, il existe R > 0 tel que (kxk > R ⇒ |f (x)| > M ). 3 b) L’image réciproque par f d’un borné de R est un borné de RN . c) L’image réciproque par f d’un compact de R est un compact de RN . Si l’une de ces conditions est vérifiée, on dit alors que f est propre. 2) Montrer que si f est propre, alors inf RN |f | est atteint. 3) Montrer qu’un polynôme non constant à une variable est propre 4) Donner un exemple de polynôme à deux variables qui n’est pas propre. Exercice 15. *** Soit T une application d’un espace métrique compact (X, d) dans luimême, telle que d(T (x), T (y)) < d(x, y) pour tout x 6= y 1) Montrer que T possède un unique point fixe, i.e. x ∈ X tel que T (x) = x. 2) Ce résultat est-il toujours vrai si l’on enlève l’hypothèse de compacité de (X, d) ? 3) Montrer que, pour tout x ∈ X la suite (T n (x))n≥0 converge (T n est défini par la récurence T 1 = T et T n = T ◦ T n−1 , pour tout n ≥ 2) 4) Montrer que la suite d’applications (T n )n≥0 converge uniformément sur X. Exercice 16. ** [Critère de complétude pour les espaces vectoriels normés] Montrer qu’un espace vectoriel normé (E, k kE ) est un espace de Banach si et seulement si toute série normalement convergente converge. Exercice 17. ** Montrer que C ([0, 1]; R), muni de la norme N∞ (f ) = supx∈[0,1] |f (x)|, est un espace de Banach alors que le même espace, muni de la norme Z 1 1/2 2 N2 (f ) := |f (t)| dt , 0 ou bien de la norme Z N1 (f ) := 1 |f (t)| dt, 0 n’est pas un espace de Banach. Exercice 18. ** Soit (E, k kE ) un espace de Banach. On note `∞ (N; E) l’espace des suites à valeurs dans E qui sont indexées par N et qui sont bornées. Cet espace vectoriel est muni de la norme naturelle k(xn )n≥0 k∞ := sup kxn kE . n≥0 (`∞ (N; E), k 1) Vérifier que k∞ ) est un espace de Banach. 2) Vérifier que `0 (N; E), l’espace vectoriel des suites réelles qui tendent vers 0 est un sousespace vectoriel fermé de `∞ (N; E). 3) En déduire que `0 (N; E), muni de la norme k k∞ , est un espace de Banach. Exercice 19. ** Soit (E, k k) un espace de Banach, K ≥ 0 et φ ∈ C (E; E) telle que ∀x ∈ E, kφ(x)k ≤ K kxk. Montrer qu’il existe une unique application f ∈ C (E; E) telle que f (0) = 0 et ∀x ∈ E, f (x) − f (x/2) = φ(x). On pourra utiliser la série de fonctions x 7→ ∞ X n=0 φ(2−n x). 4 Exercice 20. ** On note R[X] l’espace des polynômes à coefficients réels. Pour tout P ∈ R[X], on note Z 1 X |P (t)| dt et N2 (P ) := e−j |P (j)|. N1 (P ) := 0 j∈N 1) Vérifier qu’il s’agit là de deux normes sur R[X]. 2) Ces normes sont-elles équivalentes ? 3) R[X], muni d’une de ces normes, est-il complet ? Exercice 21. ** Montrer que X := ] − 1, 1[, muni de la distance x y d(x, y) := − , 1 − x2 1 − y 2 est un espace métrique complet. Exercice 22. *** On note d(x, y) := |x − y| la distance usuelle sur R. Si f : R → R est une fonction strictement croissante, on note df (x, y) := |f (x) − f (y)|. 1) Montrer que df est une distance sur R. 2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour que les topologies associées à d et df soient les mêmes. 3) Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour que les suites de Cauchy associées à d et df soient les mêmes. 4) Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour que (R, df ) soit complet. Exercice 23. ** Soit (xn )n≥0 une suite à valeurs dans RN , N ≥ 2 telle que lim (xn+1 − xn ) = 0. n→+∞ 1) On suppose que de plus la suite (xn )n≥0 est bornée. Soit V l’ensemble des valeurs d’adhérence de (xn )n≥0 dans RN . a) Montrer que V est compact. b) Supposons que V soit la réunion disjointe de deux fermés V1 , V2 . Montrer qu’il existe deux ouverts U1 , U2 de RN contenant V1 , V2 respectivement tels que d(U1 , U2 ) > 0. c) Montrer que pour n assez grand, xn ∈ U1 ∪ U2 . En déduire que V1 ou V2 est vide. d) Montrer que, dans ce cas, V est connexe. 2) On suppose que de plus la suite (xn )n≥0 n’est pas bornée. Soit V l’ensemble des valeurs d’adhérence de (xn )n≥0 dans RN . Donner des exemples pour lesquels V n’est pas compact ou bien n’est pas connexe. Exercice 24. ** Soient (X, d) un espace métrique connexe, (Y, d0 ) un espace métrique compact et soit f : X × Y → R une fonction continue. Montrer que la fonction g: X → x est continue. 7→ R inf f (x, y), y∈Y 5 Exercice 25. ** Soit K un compact, convexe d’un espace vectoriel normé (E, k k) et f : K → K une application 1-lipschitzienne, i.e., pour tous x, y ∈ K kf (x) − f (y)k ≤ kx − yk. 1) Soit a ∈ K. Montrer que, pour tout n ≥ 1, l’application 1 1 fn (x) := a + 1 − f (x), n n admet un point fixe dans K. 2) En déduire que f admet un point fixe dans K. Exercice 26. ** Soit (E, k k) un espace vectoriel réel et f : E → E telle que ∀x, y ∈ E, f (x + y) = f (x) + f (y), et ∀x ∈ Bf (0, 1), kf (x)k ≤ M. 1) Montrer que f est Q-linéaire. 2) Soit x ∈ E. Montrer que pour tout λ ∈ Q tel que λ ≥ kxk, on a kf (x)k ≤ λM . 3) En déduire que f est linéaire et continue. Exercice 27. *** [Lemme d’Urysohn] Soit (X, d) un espace métrique et A, B deux fermés disjoints de (X, d). Construire une fonction continue f : X → [0, 1] telle que f (x) = 1 si x ∈ A et f (x) = 0 si x ∈ B. X Exercice 28. ** Soit (an )n≥0 une suite d’éléments de K telle que la série entière an xn n∈N a un rayon de convergence R > 0 et soit (E, k kE ) un K-espace de Banach. 1) Soit L ∈ L(E, E) telle que kLkL(E,E) < R. Montrer que X an Ln ∈ L(E, E). n≥0 2) Soit L ∈ L(E, E). Montrer que eL := X Ln n≥0 n! définit un élément de L(E, E). 3) Soient L, L̃ ∈ L(E, E) tels que L ◦ L̃ = L̃ ◦ L. Montrer que eL ◦ eL̃ = eL̃ ◦ eL . 4) En déduire que, si L ∈ L(E, E) alors eL est inversible et a pour inverse e−L ∈ L(E, E). Exercice 29. *** Soit L ∈ L(E, E) telle que kLkL(E,E) < 1. Montrer qu’il existe V ∈ L(E, E) telle que V 2 = IE − L. Exercice 30. * Quelques questions sur les suites indexées par N à valeurs dans N. 1) L’ensemble des suites indexées par N, croissantes et à valeurs dans N est-il dénombrable ? 6 2) L’ensemble des suites indexées par N qui sont décroissantes et à valeurs dans N, est-il dénombrable ? Exercice 31. ** Soit p ∈ N∗ fixé. L’ensemble des suites (indexées par N) à valeurs dans Z qui sont définies par une relation de récurrence d’ordre p, linéaire à coefficiens entiers (i.e. les suites pour lesquelles il existe a1 , . . . , ap ∈ Z tels que un+p = a1 un+p−1 +. . .+ap−1 un+1 +ap un pour tout n ≥ 0) est-il dénombrable ? Exercice 32. * Soit I un ensemble et (Ui )i∈I une famille d’ouverts de RN qui sont deux à deux disjoints. Montrer que I est dénombrable. Exercice 33. *** On dit qu’un nombre complexe z ∈ C est algébrique s’il est racine d’un polynôme à coefficients dans Z. Montrer que l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable. Exercice 34. ** Soit f : R → R une fonction croissante. Montrer que l’ensemble des points où f n’est pas continue est dénombrable. Exercice 35. ** Soit (Un )n≥0 une suite dénombrable d’ouverts denses de RN . Montrer que \ U := Un , n∈N n’est pas dénombrable. Exercice 36. ** Est-ce que Q est une intersection dénombrable d’ouverts de R ? Exercice 37. ** Soit f : R → R la fonction (fonction de Weierstrass) définie de la manière suivante : pour tout x ∈ Q − {0}, p si x = , q 1 f (x) = , q où p ∈ Z et q ∈ N − {0} sont premiers entre eux et, pour tout x ∈ R − Q, f (x) = 0, enfin, f (0) = 0. 1) Montrer f est continue en 0 et en tout point de R − Q et qu’elle est discontinue en tout point de Q − {0}. 2) Montrer qu’il n’existe pas de fonction à valeurs réelles qui soit continue en tout point de Q et discontinue en tout point de R − Q. Exercice 38. tels que *** Soit (E, d) un espace métrique complet et (Fn )n≥0 une suite de fermés E= [ Fn . n≥0 1) On note G := E − [ F̊n , n≥0 Montrer que, pour tout n ≥ 0, G ∩ Fn est un fermé d’intérieur vide. 7 2) En déduire que [ F̊n , n≥0 est dense dans E. 3) Soit f : R → R une fonction dérivable. Pour tout n ≥ 0, on note fn (x) := n f (x + n1 ) − f (x) . Pour tout entier n ≥ 0 et pour tout entier p > 0, on note o \ n Fn,p := x ∈ R : |fn (x) − fm (x)| ≤ p1 . m≥n Montrer que \ [ p≥1 F̊n,p , n≥0 est un ouvert dense. 4) On note f 0 la dérivée de la fonction f . Montrer que l’ensemble des points où la fonction f 0 est continue est dense dans R. Exercice 39. x > 0, *** Soit f : [0, ∞[ → R une fonction continue. On suppose que, pour tout lim f (nx) = 0. n→+∞ Pour tout > 0 et pour tout n ≥ 0, on note \ Fn := { x ≥ 0 : |f (px)| ≤ }. p≥n 1) Montrer qu’il existe n0 ≥ 0 et 0 < x < y, tels que ]x, y[ ∈ Fn0 . 2) Montrer que, pour n assez grand [ ]px, py[ = ]nx, +∞[. p≥n 3) Montrer que lim f (x) = 0. x→+∞ Exercice 40. ** Soit k k une norme sur R[X]. On note En le sous-espace de R[X] constitué des polynômes de degré ≤ n. 1) Montrer que En est fermé et que E̊n , l’intérieur de En , est vide. 2) Montrer que R[X] muni de la norme k k n’est pas un espace de Banach.