Licence L3, Anneaux et arithmétique (ANAR) Année 2008-2009 Examen juin 2009, durée 2 heures Justifiez toutes vos réponses ! ! ! Les documents et les calculatrices ne sont pas autorisés Le barème envisagé est entre parenthèses et est donné à titre indicatif. Exercice 1. (3 points) Soit (A; +, ·) un anneau unitaire idempotent (c’est-à-dire tout élément a ∈ A vérifie a · a = a). 1. Montrer 1 = −1 dans A et que A est commutatif. 2. Montrer que ab(a + b) = 0 pour tous a et b dans A. 3. Montrer que si A n’a pas de diviseur de zéro et n’est pas réduit à {0}, alors A est le corps à deux éléments. Exercice 2. (4 points) Le polynôme suivant f ∈ Q[X, Y ] est-il irréductible ? Ä ä f = Y X 4 − Y X 3 + Y 3 + 1 X 2 − 2 Y 3X + Y 5 + Y 3 − 1 Ä ä Ä ä = Y 5 + X2 − 2 X + 1 Y 3 + X4 − X3 Y + X2 − 1 Exercice 3. (5 points) On considère les idéaux (2X), (X, Y ) et (X, Y, 2) de Z[X, Y ]. Lesquels sont premiers ? Lesquels sont maximaux ? Exercice 4. (8 points) Soit f = X 3 + X 2 + X − 1 ∈ F5 [X]. On note K = F5 [X]/(f ), K ∗ le groupe multiplicatif de K et α l’image de X par le morphisme canonique π : F5 [X] → K. 1. Montrer que K est un corps. Quelle est sa caractéristique ? Son cardinal ? Donner une base du F5 -espace vectoriel K. 2. Quel est l’inverse de α2 + 2 dans K ? 3. Quels sont les ordres multiplicatifs possibles des éléments du groupe K ∗ ? 4. Déterminer l’ordre de α dans le groupe K ∗ , en déduire un élément primitif (générateurs du groupe K ∗ ). 5. Déterminer le polynôme minimal de 2α2 sur F5 .