Restitution par les élèves, évaluation : pistes de réflexion

Restitution par les élèves, évaluation : pistes de réflexion
1. L'existant : l'algorithmique dans l'option mathématiques en série L
a) Extrait du BO définissant le programme de l'option mathématiques en 1ère L :
Activités algorithmiques
Le programme donne aux élèves diverses occasions de rencontrer des algorithmes.
Ce paragraphe ne doit pas faire l’objet d’un exposé théorique isolé.
Ces notions sont à travailler progressivement et à mobiliser dans toutes les parties du programme sur l’ensemble du cycle
terminal.
Les élèves seront entraînés :
- à décrire des algorithmes en français ;
- à en réaliser quelques-uns parmi les plus simples, à l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice (ce qui permettra de les
contrôler) ;
- à interpréter des algorithmes plus complexes (c’est-à-dire à identifier ce qu’ils « produisent »).
Compétences attendues des élèves :
- identifier le résultat mathématique sur lequel s’appuie l’algorithme ;
- savoir se restreindre à n’utiliser que les opérations autorisées ;
- déclarer un format d’entrée, un format de sortie, une boucle, un test logique.
L’utilisation des fonctions logiques du tableur est l’occasion de compléter le travail fait dans le domaine de la logique. On
évoquera les problèmes de vitesse et de pertinence des réponses, rencontrés notamment avec les algorithmes très
complexes utilisés par les moteurs de recherche sur Internet.
Le programme de l'option mathématiques en terminale L complète :
L'utilisation des fonctions logiques du tableur est l'occasion de compléter le travail fait dans le domaine de la logique.
On constate les similitudes avec le nouveau programme de seconde. En particulier, il ne s'agit pas
d'enseigner l'algorithmique pour elle-même; les compétences en jeu sont très simples. Par ailleurs, le lien
avec la logique est souligné.
Cependant on peut noter une différence de taille : en série L, il est demandé de savoir « identifier le résultat
mathématique sur lequel s'appuie l'algorithme », alors qu'en seconde, l'algorithme ne peut se concevoir que
comme appui à l'étude d'un problème mathématique.
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b) Deux exemples d'épreuve du baccalauréat L, option mathématiques :
Ou une manière d'évaluer l'algorithmique dans un devoir, après deux ans de pratique (1ere et terminale).
–Liban, 2009 :
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–Métropole, 2007 :
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2. Exercices en classe
Le travail en classe permet une réflexion collective, et par conséquent des comparaisons de diverses
solutions algorithmiques à un problème donné. Ainsi l'on peut :
a) Analyser un algorithme, le faire tourner, et… l'améliorer :
–compteurs de nombre d'étapes;
–affichages plus clairs : légender la sortie des données;
Ceci en gardant l'objectif de résoudre un problème mathématique. Les compteurs peuvent être réutilisés
dans une exploitation statistique des résultats, un affichage clair entraine à la rédaction.
Comprendre la décomposition des fonctions peut aussi mener à :
–simplification des variables : réduire leur nombre (quand cela est possible), utiliser la même variable
pour stocker plusieurs informations successives (composition de fonctions).
b) Créer des algorithmes et les adapter à la calculatrice, à un logiciel type Algobox ou XCAS.
Dans tous les cas, le support papier est essentiel, la difficulté étant de faire prendre des notes aux élèves
alors qu'ils travaillent sur machine. Des comptes-rendus écrits de travaux de groupes sont envisageables.
3. Exercices et devoirs à la maison
–« Faire tourner » un algorithme donné sur des valeurs numériques, et à la main; corriger une erreur.
Chaque élève peut choisir une valeur de départ différente.
–Construire un algorithme, l'écrire sur Algobox ou autre, remise par mail ou sur partage réseau :
nécessité d'individualisation des exercices; même structure, mais contexte de l'exercice différent.
Piste : calcul d'images de fonctions, les fonctions étant à inventer; calcul de termes de suite, sur
contexte d'évolution à inventer.
Là encore, la trace écrite (manuscrite ou imprimée et commentée) est essentielle concernant la structure de
l'algorithme. On ne peut espérer qu'un fichier enregistré chez l'élève sera relu lors de révisions.
Exemple 1 :
1. Choisir trois nombres strictement positifs a, b, c.
2. La fonction f est définie par :
f(x)=-(x-b)2+1 si x<b f(x)=c(x-b)2+1 si
x≥b
Établir un algorithme permettant de calculer l'image d'un nombre x par f.
Exemple 2 :
1. Choisir trois nombres x, y et a. Dans un repère orthonormé,
placer le point A(x;y).
2. L'algorithme ci-contre crée deux nouveaux points dans le repère,
que l'on notera B et C. Placer ces points dans votre repère.
3. Calculer les coordonnées des vecteurs
AB
et
BC
.
4. Ces vecteurs dépendent-ils du point A choisi ? Quelle
transformation est-elle réalisée par cet algorithme ?
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4. Évaluation
a) Quelles questions poser dans un devoir ?
Rappel des compétences exigibles :
Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie).
Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables :
• d’écrire une formule permettant un calcul ;
• d’écrire un programme calculant et donnant la valeur d’une fonction ;
ainsi que les instructions d’entrées et sorties nécessaires au traitement.
Boucle et itérateur, instruction conditionnelle
Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables :
• de programmer un calcul itératif, le nombre d’itérations étant donné ;
• de programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucle
conditionnelle.
Dans un devoir sur table, quelles questions poser impliquant un algorithme, sans pour autant l'étudier en
soi ?
–Que fait cet algorithme ? Effet sur des nombres déterminés ? Sur la variable x, et évolution vers une
fonction ?
–Réciproquement : décomposer une fonction en une suite d'opérations logiques; écrire cette
décomposition sous la forme d'un algorithme. Donner éventuellement la partie de l'algorithme
consacrée à la déclaration des variables. Évolution : étude des variations de la fonction (fonctions de
référence).
–Algorithmes incomplets : qu'y a-t-il dans une condition de test pour obtenir tel résultat ? Quelle est la
condition requise par un « tant que » ? (travail de la logique et du raisonnement mathématique.)
Les dangers :
–Sortir du cadre du programme : algorithme trop subtil, complexité des vérifications de faisabilité...
–L'exercice doit mener à la résolution d'un problème mathématique. La non résolution des questions
portant sur l'algorithmique ne doit donc pas bloquer l'élève.
–Les domaines du programme menant à un calcul itératif ne sont pas si nombreux : fonctions (mais il
existe les tableurs intégrés aux calculatrices, les traceurs), simulation...
b) Des épreuves spécifiques
–Épreuves pratiques façon terminale S : organisation à définir (durée, nombre d'élèves évalués
simultanément...)
Pour mémoire, extrait du protocole définissant l'épreuve pratique en terminale S (2008) :
Les examinateurs sont les professeurs de mathématiques de l’établissement enseignant à tout
niveau du lycée, convoqués par le chef d’établissement. Les professeurs convoqués
s’approprient les sujets proposés, se concertent pour assurer le bon déroulement de
l’évaluation et en fixent les dates en accord avec le proviseur.
Deux professeurs examinateurs, au moins, sont présents dans la salle où a lieu l’évaluation.
Un examinateur évalue au maximum quatre élèves qui ne sont pas ses élèves de l’année de
classe terminale en cours. Ceux-ci peuvent composer sur un même sujet.
–Épreuve orale courte.
Exemple : une interrogation orale d'un élève par heure de cours. Un algorithme a dû être préparé à la
maison, toujours dans le cadre de la séquence mathématique courante. L'élève doit l'expliquer au
reste de la classe, ou le faire fonctionner sur Algobox. Durée : 10 à 15 minutes maximum.
Objectif : expliquer un raisonnement structuré, travail de la logique. L'élève a le temps de chercher et
le choix des aides; l'intérêt est qu'il doit exposer sa production.
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